整體視角下初高中函數概念銜接教學微探

一、問題的提出

函數無疑是中學數學的一個難點。學生在八年級上學期初學函數時會遇到各種各樣的困難，特別是難以理解函數概念，難以從“形”中獲取“數”等。顯然，函數概念的建立無疑是八年級數學的最大教學難點。當學生遇到難處或出現錯誤時，教師常常通過收集錯誤、歸類分析、變式訓練、反復講解等方式“亡羊補牢”，但效果不佳。許多教師忽視了建立函數概念是一個“螺旋式上升”的過程，即沒有從整體視角去幫助學生建立函數概念。實際上，函數概念蘊含在小學和初中的教材中。因此，整體建構函數概念，將函數概念的教學貫穿于初中三年的教學中，甚至與高中接軌，可以較好地幫助學生順利建立函數概念，而且能很好地突出函數本質。

二、函數概念的整體建構

整體建構，要求教師善于整體把握教學內容，引導并幫助學生學會用整體的觀念自主完善認知結構，其核心是促進學生的思維發展，使學生的思維由淺表走向深入，從感性轉向理性，由低階邁向高階，從無序走向有序。為此，對函數概念的整體建構就要求教師站在整個中學數學體系的高度，準確把握“函數”的知識結構，在整體觀的指導下分解函數的教學目標，明確每個階段做什么、怎么做、能做到什么程度。

現有研究成果表明，學生建構函數概念需要經歷六個認知層次，分別是認識變量、突出關系、區別函數與算式、掌握“對應”、把握形式化描述、形成函數對象。當前蘇科版教材在七年級就多次滲透函數（第一次是“代數式的值”），再從八（上）初遇函數概念到中考，至少又安排5次函數內容，分別是函數概念起始課、反比例函數、二次函數、三角函數、中考函數專題復習。將這些內容對應起來，筆者認為滲透的教學任務應當是認識簡單實例中的數量關系和變化規律，認識變量，并在此基礎上初步體會變量之間的相互關系。函數概念第1課時的教學任務是體會變量之間的相互關系并抽象出函數概念，從第２課時開始到其后4次具體函數的學習，則是在進一步體會變量之間關系的基礎上，讓學生學會用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系（主要從“數”與“形”兩個方面），并且努力促成不同表示方法之間的實質性聯系（數形結合）。在中考復習的時候，有必要跳出具體對象帶來的認知局限，從更一般的高度概括函數概念。基于這樣對函數概念的整體認識，筆者探索出整體建構函數概念的教學體系，即初中階段適當滲透、有效實施、有機深化三個層次，以較好地幫助學生建立函數概念。

1. 基于學情，適當滲透

七年級教材中存在很多滲透函數概念的教學點。在“代數式的值”“一元一次方程”“二元一次方程組”“一元一次不等式”等教學點中巧妙而適當地滲透“函數”，不僅能為突破“函數概念”這一學習難點做準備，而且能使學生的思維由淺表走向深入，從感性轉向理性。

如在“代數式的值”中適時滲透函數。蘇科版數學教材通過“用火柴棒按一定的方式搭小魚”引入代數式的值的概念，教師可以這樣引導學生初步感受變量和函數概念：“火柴棒的根數隨著小魚條數的變化而變化，只要知道小魚的條數，就能確定火柴棒的根數嗎？小魚條數分別為1、2、3、4、5條時，火柴棒分別有幾根？”“要知道搭100、1000條小魚用的火柴棒根數，僅靠數數是不行的，如何表示其中的變化規律呢？”此時想到，搭n條小魚，用的火柴棒的根數為8+6（n-1），只要用具體的數字代替字母n，就能計算出搭不同條數小魚所需火柴棒的根數了，即8+6（n-1）表示小魚條數和火柴棒根數之間的變化規律。如果給定小魚條數n的值，那么火柴棒根數8+6（n-1）的值也就唯一確定了。

這樣，不僅得到代數式的值的概念，而且滲透了變量和函數概念，同時讓學生明確了在求代數式的值時必須有條件“當……時”。接著讓學生按程序填表（表略），感受代數式求值可以理解為一個轉換過程或某種算法，當具體輸入字母x的值時，就能輸出唯一確定的結果；一個代數式表示一種變化規律，代數式的值隨字母值的變化而變化，當給定字母的一個值時，代數式都有唯一確定的值與之對應。隨后討論：（1）隨著x值的增大，代數式的值怎樣變化？你能用一種適當的統計圖來描述這種變化趨勢嗎？（2）x取何值時，代數式2x-1和x2的值相等？（3）隨著x值的增大，代數式2x-1和x2中，哪個代數式的值先超過100？為什么？還有什么方法能知道這個結果？（4）當x非常大時，代數式[2x-1x2]的值接近什么數？

在這樣的過程中，不僅適當地滲透了函數概念中的三要素“某個變化過程”“兩個變量”“單值對應”，而且滲透了函數圖象及其變化趨勢。無疑，學生的思維由淺表走向深入，由低階邁向高階。我們還可以在“用一元一次方程解決實際問題”“二元一次方程（組）”中滲透函數概念，限于篇幅，這里不再贅述。這樣的適時滲透，關鍵在于教師能真正理清前后知識之間的聯系，在尊重學生認知基礎的前提下，從整體的視角，用發展的觀點，把學生的“最近發展區”向深處拓展，不僅給學生“樹木”，還給予學生一片函數“森林”的影子。

2. 關注起點，有效實施

有了前面大量對函數概念的滲透，函數起始課中對函數概念的教學不再高不可攀。教師可以從三個層面有效實施，進一步使學生的思維完成由“靜”到“動”的轉換，使學生進一步感受變量之間的依存關系，充分認識事物之間的普遍聯系與相互作用，從而抽象概括出函數概念。

第一層，通過實例，引導學生分析探索熟知的實際問題中的數量關系和變化規律，自主構建常量和變量的概念，并通過行程問題的兩個方面（一是勻速運動時，路程和時間是變量；二是路程不變時，速度和時間是變量），領悟“常量不常”的意思，同時滲透函數“在某個變化過程中，兩個變量單值對應”的實質，為概括函數定義奠定基礎。

第二層，通過三個不同背景（分別是表達式、表格和圖象三種不同的表示形式）的實際問題，抓住函數三要素，引導學生形成對函數較全面的認識，為學習三種函數的表示形式進行必要的準備。

第三層，通過師生從正反兩方面舉例，引導學生分析研究實際問題中的變量之間是否存在函數關系，突出函數概念中的三要素，拓展函數概念的外延，深化對函數本質的認識。同時引導學生在從文字、表格、圖象中獲取信息的過程中，發展觀察、比較、分析、歸納和概括等能力。這樣，學生對函數本質的認識就從感性轉向理性，從無序走向有序。

3. 抓牢本質，有機深化

有了前面對“函數概念”的適當滲透、有效實施，并不代表學生對函數概念實質有了深刻的認識。教師應在后續相關知識的教學中深化函數概念，幫助學生對函數的認識真正逐步走向深刻。

在“函數”這一節中，“函數的圖象”是函數概念之后的一節內容。但在實際教學中，教師常常忽視，僅僅把重點放在讀圖、識圖上。讀圖、識圖固然重要，但經歷畫圖的過程同樣重要，同樣可以強化函數三要素，而且能為研究一次函數的圖象和性質做好知識和思維上的準備。為此，在教授“函數的圖象”這一內容時，教師可以通過以下三個步驟較好地深化函數概念，幫助學生加深對函數概念的理解：

（1）由某地冬季某一天的氣溫Ｔ隨時間t變化的圖（或其他實例），揭示氣溫Ｔ與時間t之間的函數關系，強化函數概念，由此得出“函數的圖象”的概念；在此基礎上用描點法畫出函數y=x2 的圖象（并總結畫函數圖象的基本步驟），直觀感受函數圖象表示的變量之間單值對應關系，進一步深化函數概念。

（2）讓學生充分經歷讀圖、識圖的過程，不僅加強學生對“函數的圖象”意義的了解，而且使學生進一步認識到函數圖象可以直觀形象地反映函數的變化趨勢，對函數進行更深入的理解。

（3）再次讓學生用描點法畫出函數圖象（如畫y=[2x]的圖象）。與第一步不同的是不能讓學生直接列表、描點、連線，而是要求其分別就表達式、表格，猜想并逐步驗證函數的圖象，最后描點連線，感受圖象是刻畫變量的變化規律和變化趨勢的重要表示方法。這樣學生用數形結合解決問題的能力也得到提升，對函數的理解更加深刻。

在后續“一次函數”“反比例函數”和“二次函數”的教學中，很多教師急功近利，為了以最快的速度得到各種函數模型，往往忽視對函數概念的深化。實際上在這三個函數模型建立之前，可以先讓學生判斷實例中的一個變量是否為另一個變量的函數并追問原因，以此做好新函數的學習鋪墊，同時進一步深化對函數內涵的理解和掌握。另外，在探究這些函數圖象時，不能采用傳統的方法，而是要先分析“式”，得到“數”（自變量和函數的取值范圍），并預測“形”（圖象的特點）；再用“數”（即表格中的數據，列表時要考慮表中數據的取值及其原因）驗證前面的猜想來預測“形”；最后用傳統的方法得出結論。這種研究方法把重點放在強化“數形結合”思想上，便于學生在“式、數、形”之間不斷切換，感悟“數形統一”。

“銳角三角函數”被很多初中教師排除在“函數”之外。用函數的視角學習與審視“銳角三角函數”，不僅能深化對函數概念的理解，而且能讓學生從整體上建構“銳角三角函數”的概念。為此，教師可以在教學中通過創設情境讓學生感受：在直角三角形中，當某個銳角大小不變時，直角三角形的三邊可以變，但是任意兩邊之比卻不變，這些比值隨著該銳角大小的變化而變化。在此基礎上引導學生理解：在Rt[△]ABC中（∠C=90°），[ac]、[bc]、[ab]、[ba]是∠A的函數，并自主建構銳角三角函數的定義。后續在“函數”的相關復習中，教師可以以實際問題或綜合題為背景，強化學生對函數本質的理解。

4. 站在高位，立足素養

高中“函數的概念”是一節關于函數的概念課。在學生已有基礎上，讓學生學會用集合與對應的語言來刻畫函數的概念，體會函數是描述客觀世界中變量間依賴關系的重要模型是教學重點。教學難點是函數概念及對符號y=f（x）的理解。函數的概念比較抽象，但函數現象大量存在于學生身邊。高一的學生處于以感性思維為主的年齡階段，教材中的設計符合他們的認知規律，化抽象為直觀，學生更容易理解。學生仿照例題，嘗試用集合與對應的語言去描述兩個變量之間的關系，學會數學表達和交流，抽象概括出函數的概念，經歷了直觀感知、觀察分析、歸納類比、抽象概括等思維過程，進一步提高了數學思維能力。

總之，我們完全可以跳出具體對象帶來的認識局限性，從更高位去認識函數的本質，并通過與高中函數概念（從集合與映射的角度定義函數）接軌，滲透集合與對應的函數本質，從而將函數概念從中學數學的高度架起一個整體結構。

本文系江蘇省教育學會“十四五”教育科研規劃課題“核心素養視角下初中數學‘整體建構’研究”（編號：21A06SXSZ118）、江蘇省蘇州市教育科學“十四五”規劃重點課題“指向學科育人的初中數學學材整體建構研究”（編號：2021/C/01/004/05）階段性研究成果。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區實驗初級中學）