深度探究定義，牢抓“Δx”平衡

【摘要】函數(shù)在某一處的導(dǎo)數(shù)定義是非常抽象的，以致于學(xué)生在處理函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義問題時，很容易出錯.本文就這一問題，從函數(shù)在某一處的導(dǎo)數(shù)定義的深度認(rèn)識、難點突破和靈活應(yīng)用，三個方面展開探究.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；極限；高中數(shù)學(xué)

在高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)是非常重要的知識點之一.在引入函數(shù)導(dǎo)函數(shù)時，通常是提出函數(shù)在某一處的導(dǎo)數(shù)概念，這一概念是在極限情境中提出.很多學(xué)生對這一概念不理解，認(rèn)為就是一個公式而已，所以不會靈活應(yīng)用.針對這樣的問題，本文將從函數(shù)在某一處的導(dǎo)數(shù)定義的深度認(rèn)識、難點突破和靈活應(yīng)用，三個方面展開探究.下面一一展開.

1函數(shù)在某一處的導(dǎo)數(shù)定義的深度認(rèn)識

函數(shù)在某一處的導(dǎo)數(shù)的定義是基于極限，即函數(shù)圖象上的一個點無限靠近一定點，用數(shù)學(xué)語言表示為：兩點Ax0，y0和Bx1，y1是函數(shù)y=fx圖象上的點，Δx=x1－x0，則函數(shù)y=fx在x0處的導(dǎo)數(shù)為f′x0=limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx.這個概念是一個動態(tài)過程，它不是公式.

例1已知函數(shù)fx=x3－2x+3，利用定義求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù).

解析由函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)定義可得：

f′1=limΔx→0f1－f1－ΔxΔx

=limΔx→01－2+3－1－Δx3+21－Δx－3Δx

=limΔx→02－1+3Δx+3Δx2+Δx3+2－2Δx－3Δx

=limΔx→0Δx+3Δx2+Δx3Δx

=limΔx→01+3Δx+Δx2=1

所以利用定義求得函數(shù)fx=x3－2x+3在x=1處的導(dǎo)數(shù)為1.

評注該題明確指出“利用定義求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)”.思路非常明確，根據(jù)定義有f′1=limΔx→0f1－f1－ΔxΔx，將f1和f1－Δx代入函數(shù)解析式fx=x3－2x+3表示出來，代入f′1=limΔx→0f1－f1－ΔxΔx，化簡即可.

2函數(shù)在某一處的導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用的難點突破

根據(jù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義，

有f′x0=limΔx→0fx0+Δx－fx0Δx

=limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx.

要是f′x0=limΔx→0fx0+Δx－fx0ΔxlimΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx學(xué)生還能理解，但是limΔx→0fx0+Δx－fx0Δx=limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx學(xué)生就不懂，此處的依據(jù)是一點向另外一點無限靠近，即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)以同樣的速度靠近，故

f′x0=limΔx→0fx0+Δx－fx0Δx

=limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx

=limΔx→0fx0+nΔx－fx0－mΔxn+mΔx.

例2已知函數(shù)y=fx在x=2處可導(dǎo)，且f′2=5，求limΔ5m0+3IqZyz1H2ikgsVNC8A==x→0f2－f2+2ΔxΔx的值.

解析從limΔx→0f2－f2+2ΔxΔx可以看到，在函數(shù)y=fx圖象上，從橫向和縱向靠近點2，f2的速度不一樣，或者說橫向和縱向角度看Δx不相等，分子是2－2+2Δx=－2Δx，而分母是Δx.所以為了能利用函數(shù)y=fx在x=2處的導(dǎo)數(shù)，對f2－f2+2ΔxΔx分子和分母同時乘以-2，

limΔx→0f2－f2+2ΔxΔx

=limΔx→0－2f2－f2+2Δx－2Δx

=－2limΔx→0f2－f2+2Δx－2Δx

=－2f′2=－10.

評注該題是對函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義的應(yīng)用，根據(jù)題目發(fā)現(xiàn)limΔx→0f2－f2+2ΔxΔx≠f′2.這類題型的關(guān)鍵是根據(jù)一點向另外一點無限靠近是要求橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)以同樣的速度靠近，即不管從橫向還是縱向角度看，橫向的增量Δx應(yīng)該保持一致，通俗來說，就是f′x0=limΔx→0fx0+nΔx－fx0－mΔxn+mΔx不管形式怎么樣，必須保持分子和分母的增量Δx平衡.

3函數(shù)在某一處的導(dǎo)數(shù)定義的靈活應(yīng)用

只要清楚函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義，以及點的變化情況和f′x0=limΔx→0

fx0+nΔx－fx0－mΔxn+mΔx含義，

則可以輕松解決函數(shù)在x=x0的導(dǎo)數(shù)的定義應(yīng)用問題.

例3函數(shù)y=fx在x=3處可導(dǎo)，已知limΔx→0f3－f3－4ΔxΔx=12，

計算limΔx→0f3－2Δx－f3+5ΔxΔx的值.

解析已知函數(shù)y=fx在x=3處可導(dǎo)，且已知limΔx→0f3－f3－4ΔxΔx=12，

所以limΔx→0f3－f3－4ΔxΔx

=limΔx→04f3－f3－4Δx4Δx=4f′3=12，

所以f ′3=3.

則limΔx→0f3－2Δx－f3+5ΔxΔx

=limΔx→0－7f3－2Δx－f3+5Δx－7Δx

=－7f′3=－21.

評注題目已知limΔx→0f3－f3－4ΔxΔx=12，通過函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義，可以求出函數(shù)y=fx在x=3處的導(dǎo)數(shù)，再通過函數(shù)

y=fx在x=3處的導(dǎo)數(shù)計算

limΔx→0f3－2Δx－f3+5ΔxΔx的值，

這一過程是對函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)定義的靈活應(yīng)用.

4結(jié)語

本文對函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)定義，函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用的難點突破，以及函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)定義的靈活應(yīng)用三個方面進(jìn)行了分析；具體從導(dǎo)數(shù)的深度認(rèn)識、易錯點分析和處理策略三個方面對函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用題型進(jìn)行了探討.其實質(zhì)是：在解答對函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用題型時，突破口是f′x0=limΔx→0fx0+nΔx－fx0－mΔxn+mΔx中，保持分子和分母的增量Δx平衡.

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