感受方法普適性的課堂對話研究

【摘要】在探究數學對象性質的過程中體會探究數學對象的一般方法.探究數學對象的性質，一方面可以更深入認識這個對象，另一方面能更好地解決與其相關的數學與現實問題.教學設計要有意識地關注邏輯連貫，思想一致，方法普適.

【關鍵詞】 高中數學;邏輯推理;課堂教學

教學中要豐富數學內容所蘊含的數學思想和方法，使學生體會研究的內容、過程和方法一脈相承，體悟具有普適性的數學思想和方法，逐步形成數學思維方式，落實數學學科核心素養.本文以選擇性必修三“二項式系數的性質”為例，談一談想法.

人腦對規律有先天的敏感性，善于發現并總結規律.在組合數的兩個性質的基礎上，預感a+bn的展開式的二項式系數C0n，C1n，C2n，…，Ckn，…，Cnn有很多值得探究的性質.類比函數性質、數列性質的學習經驗，從特殊到一般地對二項式系數進行研究.通過一個個數學對象的探究，讓普適性的數學方法根植于學生的潛意識中.

填寫表1，觀察表格.

問題1通過觀察圖表的結構，你發現了什么規律？能否與已學過的知識相聯系？

學生A通過觀察結構，發現其中系數排列具有對稱性，增減性.通過運算也可以發現規律.

設計意圖學生直觀感知代數中研究問題的基本方法，也是數學學習中經常使用的思維方法.

教師類比函數奇偶性的學習經驗，函數圖象能直觀地展示數量關系.自然地，用聯系的觀點將a+bn的展開式的二項式系數C0n，C1n，C2n，…，Ckn，…，Cnn，Crn可看成以r為自變量的函數fr，其定義域是0，1，2，…，n.

問題2對于確定的n，比如n=6時，你能畫出fr=Crn，r∈0，1，2，3，4，5，6的圖象嗎？

如圖2，示范用數形結合的方法直觀展示n=6時，二項式系數排列具有的規律.

探究2請你分別畫出n=7，8，9時函數fr=Crn的圖象，你發現了什么規律？

學生B當n為偶數時，有奇數n+1項，中間那一項取得最大值；當n為奇數時，有偶數n+1項，中間兩項相等，且同時取得最大值.

教師結合這些具體例子進行數學表達.

（1）對稱性.文字描述：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等.

數學符號語言理論推導：由Cmn=Cn－mn得到.

從n個不同元素中取出m個元素后，剩下（n－m）個元素，即從n個不同元素中取出m個元素的組合數與剩下（n－m）個元素的組合數相等.

圖象：直線r=n2將函數fr=Crn的圖象分成對稱的兩部分.

（2）增減性與最大值.

文字描述：函數fr=Crn的圖象在直線r=n2的左側部分，Ckn隨k的增加而增大；結合對稱性知，在直線r=n2的右側部分，Ckn隨k的增加而減小.

問題3你能證明這一性質嗎？

由于組合數Ckn，Ck－1n均為正整數，于是CknCk－1n=nn－1…n－k+1k！nn－1…n－k+2n－k+1k－1！=n－k+1k，當n－k+1k>1時，即k<n+12時，Ckn隨k的增加而增大；當k>n+12時，Ckn隨k的增加而減小.

當n為偶數時，最中間那一項Cn2n取得最大值；

當n為奇數時，展開式有偶數n+1項，中間兩項Cn－12n與Cn+12n相等，且同時取得最大值.

設計意圖動手動腦中學生的思維走向所學知識的本質.形成數學思考結構的系統性、普適性.

問題4運算是發現規律的有效途徑，算一算圖1中每一行數的和，你發現了什么規律？

學生C第n行數的和為2n.

教師按照特殊到一般的研究思路，我們猜想C0n+C1n+C2n+…+Ckn+…+Cnn=2n.

追問由 1+xn=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cknxk+…+Cnnxn，你能證明這一性質嗎？

可具體化、特殊化，令x=1，得2n=C0n+C1n+C2n+…+Ckn+…+Cnn，即a+bn展開式的各二項式系數和等于2n.

問題5更進一步，算一算圖1中每一行數的奇數項的和，以及偶數項的和，你發現了什么規律？

學生D每行奇數項的和等于偶數項的和.

例題求證：在a+bn的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和.

分析奇數項的二項式系數的和為C0n+C2n+C4n+…，

偶數項的二項式系數的和為C1n+C3n+C5n+….

由a+bn=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cnnbn，令a=1，b=－1可證明結論.

進一步追問C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…等于多少？

分析C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n2=2n-1.

設計意圖體會發現規律的一般方法，構建研究數學對象的基本路徑.感受數學研究對象在變，但研究的思想方法不變.

結語

當學生獲得了方法，養成了習慣，就會自發地去探究.研究方法上，應在實際教學過程中加強通過代數運算和圖象直觀揭示性質的引導和明示.構建從具體到抽象、從特殊到一般的過程，從而歸納概括出精確刻畫性質的方法，從而提升素養.讓重要的數學概念、思想、方法得到反復理解的機會.

【福建省課題《人工智能賦能中學數學課堂對話質量優化研究》立項批準號Fjxczx23-120】

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建躍.章建躍數學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.