立體幾何單元復習課

【摘要】本文通過一節案例課的思路分析，將立體幾何中的最短距離問題通過劃歸的方式與平面解析幾何聯系到一起.學生通過感受動態幾何中展開平面、證明全等、還原長度關系、求解線段長度的流程感受到數學中不同模塊的聯系，深化數形結合的數學思想.

【關鍵詞】立體幾何；最短距離；解題技巧

1教學內容分析

立體幾何是高中數學的重要章節之一，到此階段高三學生已經完成了一輪復習，對高中整體內容有了一定的認知.在此節點，借助“最短距離”問題使學生回顧和建構完整的立體幾何知識體系，以具體的棱柱、棱錐、旋轉體構建點、線、面間位置框架，進行熟練的轉化和遷移.

立體幾何中的“距離”問題是定量分析空間幾何元素（點、線、面）間位置關系的重要幾何量.在研究距離問題時，常將空間問題轉化為平面問題處理，這是化歸思想在立體幾何中的具體應用.在求解空間距離的相關問題時，一般包括三個部分：求作、論證和計算，這三部分是不可分割的整體.通過這一章節內容的學習，學生回顧之前與旋轉體有關的表面積問題的求解思路，同時也掌握在展開過程中分類討論的精確性和還原截面的方法.

2學情分析

高三學生在之前的立體幾何學習中已經學習了點到面、線到面、線到線、面到面這四種距離問題，其中多以垂直為主，其實這已經初步滲透了“最短距離”的思考模式.在后段的學習過程中，比如圓柱和圓錐的表面積求法中，學生了解了展開的思維.

雖有所涉及，但學生在此階段剛剛完成立體幾何的第一輪學習，因此借助此節課的內容，通過“最短距離”多種問題的變換應用，強化學生“想圖、畫圖、識圖、解圖”的能力，重視圖形語言、文字語言、符號語言相互轉化的訓練.尤其重視對所畫的立體圖形、三視圖與真實圖形思維理解上的一致性.

3教學目標

（1）知識與技能：通過求解最短距離掌握“展開”的立體幾何距離問題基本解法.

（2）過程與方法：在展開過程中明確分類討論的思想以及截面還原精確性的把控，達成實際圖形和斜二測圖象的統一.

（3）情感態度與價值觀：通過最短距離的不同解法培養學生善于分析題意，富于聯想，以提高學生的空間想象能力，強化主動探索問題的精神和科學理性的思維方法.

4教學過程

4.1借典引入，提升興趣

其實早在1903年，就已經有相應的數學謎題開始流傳，也就是著名的蜘蛛抓蒼蠅的故事.杜登尼（Dudeney，1857—1930）是19世紀英國知名的謎題創作者．“蜘蛛和蒼蠅”問題最早出現在1903年的英國報紙上，是杜登尼最有名的謎題之一．它對全世界難題愛好者的挑戰，長達四分之三個世紀．

4.2分類討論思想的滲透

問題現在我們把剛剛的數學謎題簡化，蜘蛛在點A處，蒼蠅在C1處.長方體棱長分別是a，b，c（其中a＞b＞c），如圖1，求蜘蛛抓到蒼蠅，需爬行的距離的最大值.

題目分析通過此題提出展開的一大重點——分類討論.為了和之后的問題產生對應，引導學生從經過棱的角度進行分類.

通過觀察，我們可以發現蜘蛛所經過的棱共有6種可能，而其中兩兩具有對應關系.因此最后歸類為如下3種，如圖2.

立體問題平面化，將立體幾何的距離問題變為求出三個矩形對角線長短進行比較的問題.

4.3截面還原，手腦統一

問題如圖3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形∠ACB=90°，AC=4，BC=CC1=2，P是BC1上一動點，則CP+PA的最小值是.

題目分析在這道題中，學生不需要像上題一樣討論棱的分類問題，已經確定為BC1，難點設置在了是哪兩個面的展開上，由于圖象不如上道題完整，所以需要學生自己將截面進行補全，從而回顧立體幾何中公理三的推論——直線和直線外一點確定一個平面.

展開后，得到兩個三角形BC1A1和三角形BC1C，為了確定截面的具體形狀，從而算出每個三角形的三條邊長，明確特殊的角度，從斜二測畫法中還原為實際圖象后，再通過平面幾何求出線段距離.

4.4二維與三維的類比

問題如圖4，正方體ABCD-A1B1C1D1中棱長為a，點E為AA1的中點，在對角面BB1D1D上取點M，使AM+ME最小，其最小值為.

題目分析在之前的解析幾何中，學生學習過二維平面中求距離最短的方法——對稱.因此在本題中，進行二維到三維的遞進，根據圖形的對稱性，把AM+ME轉化為CM+ME，然后利用兩點之間線段最短求最小值.

解由對稱性可知AM=CM，

所以AM+ME=CM+ME，

觀察圖形，可知當E，M，C三點共線時，CM+ME即AM+ME取得最小值，

最小值為CE=2a2+（a2）2=32a.

5結語

在這節課中，希望學生借助立體幾何中的最短距離問題，體會數學“轉化與化歸”的思想，把看似不相關的兩個問題聯系在一起，便能夠“最”有應得.