圓錐曲線中定值定點問題的探究與總結

【摘要】圓錐曲線在高中數學中占據重要地位，作為解析幾何的一部分，不僅是高考的常考內容，同時也是學生進一步學習高等數學的基礎.在圓錐曲線的學習中，定值定點問題尤為重要，涉及橢圓、雙曲線、拋物線等知識點，是培養學生綜合運用數學知識、邏輯推理能力的重要題型.本文通過對高考真題中定值定點問題的研究和總結，旨在幫助學生更好地理解和掌握這一類問題的解題思路與方法，提高解決實際問題的能力.

【關鍵詞】圓錐曲線；定值定點；高中數學

1題型總結

1.1無參數定值

例1（2011四川理科高考卷第21題節選）在一個橢圓上，已知存在兩個頂點，分別用A與B來表示，其中，點A的坐標為（－1，0），點B的坐標為（1，0），此時有一條直線l過橢圓焦點F（0，1），并與橢圓相交，交點分別為點C與點D，另外，該直線l和x軸相交于點P處，用Q表示直線AC和直線BD的交點.

（2）如果點P與A，B兩點不同，那么請證明：OP·OQ是定值.

解（2）當直線l和x軸表現為垂直關系之時，不符合題意.

設l為y=kx+1（k≠0且k≠±1），

因此P－1k，0，

設C（x1，y1），D（x2，y2），

可知x1+x2=－2kk2+2，x1·x2

=－1k2+2，

直線AC為y=y1x1+1（x+1），

直線BD為y=y2x2－1（x－1），

聯立，消去y得x+1x－1=y2（x1+1）y1（x2－1），

因為-1< x1<1，-1<x2 < 1，

所以x+1x－1與y2y1異號，

x+1x－12=k－1k+12，

y1y2=－2（1+k）2k2+2·k－1k+1，

y1y與k－1k+1異號，x+1x－1與k－1k+1同號，

所以x+1x－1=k－1k+1，

解得x=－k，因此Q（－k，y0），

OP·OQ=－1k，0·（－k，y0）=1，故OP·OQ為定值.

1.2含參數定值

例2（2015年四川卷文科高考第20題節選）如圖2所示，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是22，P（1，0）在短軸CD上，且PC·PD=－1.

（2）此處設O是坐標原點，有一條動直線經過點P，并和橢圓分別在A，B兩點處相交，請問此時是否有常數λ存在，令OA·OB+λPA·PB的結果為定值？如果確實存在該常數λ，請對其值進行求解；如果不存在該常數λ，請說出不存在的原因.

解可求得橢圓E方程為x24+y22=1，

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，

設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立x24+y22=1，y=kx+1，

得（2k2+1）x2+4kx－2=0，

Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，

則x1+x2=－4k2k2+1，x1·x2=－22k2+1.

OA·OB+λPA·PB=x1·x2+y1·y2+λx1·x2+（y1－1）（y2－1）=－λ－12k2+1－λ－2.

當λ=1時，－λ－12k2+1－λ－2=－3，

此時，OA·OB+λPA·PB=－3為定值，

當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，此時OA·OB+λPA·PB=－3.

故存在常數λ=1，使得OA·OB+λPA·PB為定值-3.

分析當λ取某一特殊值時OA·OB+λPA·PB為定值，即我們/c7XaOBvfsDDIO4JVuhqkw==要讓λ－12k2+1中的k消失.將參變量λ轉化了視角將其看做一個定量常數，k作為了一個變量.

1.3無參數定點

例3（2017年全國課標1卷高考第20題節選）已知有一個橢圓C用x2a2+y2b2=1（a>b>0）來表示，另外，有四個點P1，P2，P3，P4，其坐標分別為（1，1），（0，1），－1，32，1，32，在這四個點中，正好有三個點位于橢圓C之上.

（2）有直線 l，該直線并不經過點P2（0，1），并和橢圓C在A，B兩個點處相交，如果此時由點A，B，P2組成的兩條直線P2A與P2B滿足條件：斜率之和為-1，請證明直線l過定點.

解（2）可求得橢圓C方程為x24+y2=1，

①當斜率不存在時，設l：x=m，A（m，yA），B（m，－yA），kP2A+kP2B=－1，得m=2無兩個交點，與條件不符.

②當斜率存在時.設l：y=kx+b（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），聯立y=kx+b，x2+4y2－4=0，整理得（1+4k2）x2+8kbx+4b2－4=0，x1+x2=－8kb4k2+1，x1·x2=4b2－44k2+1，kP2A+kP2B=－1，b×1=－2k－1，可得Δ=－64k，k滿足Δ>0，

直線l：y=kx－2k－1，令x=2，對應地有y=－1，最終可以判斷，直線l經過定點（2，－1）.

分析直線的斜率有兩種類型，對于y=kx－2k－1過定點，此時需要將x與y看做定值，k看做是變量.

2策略研究

兩根之和與兩根之差可以建立點的坐標與直線解析式之間的關系.當一個代數式中含有多個字母時，我們將哪個字母看作是常數，哪個字母看做是變量牽扯到我們需要的代數結構，其中結構與表示變量的字母對應.

參考文獻：

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