高中數學解析幾何定點定值問題的難點剖析與突破

【摘要】本文旨在深入剖析高中數學解析幾何中定點定值問題的難點，并重點分析齊次化、賦值法（點乘雙根法）、極點極線等方法在處理這類問題時的應用.通過結合具體例題進行說明，幫助學生更好地理解這些方法的原理和使用技巧，從而提高解題能力.

【關鍵詞】高中數學；定點定值；解題方法

1引言

高中數學中的解析幾何定點定值問題因深度和廣度而成為學習挑戰.這些問題涉及圓錐曲線的復雜特性，需要學生掌握向量、坐標、方程等代數知識.學生在解題中常感困惑，因此尋找高效解題方法至關重要，對學生的學習發展意義重大.

2齊次化法

齊次化法處理解析幾何定點定值問題有效.通過平移坐標系或代數變換，轉化為齊次方程求解.適用于斜率之和或積為定值的解析幾何問題.

例1已知橢圓C：x24+y23=1過點A1，32，E，F是橢圓上的兩個動點.

（1）如果直線AE的斜率與AF的斜率之和為2，證明直線EF恒過定點；

（2）如果直線AE的斜率與AF的斜率之積為2，證明直線EF恒過定點．

解析（1）首先完成（平移構造+齊次化）平移坐標系．

平移坐標系，使得坐標原點和點A1，32重合，則x=x′+1，y=y′+32，得新坐標系x′Oy′，在新坐標系中，

橢圓方程為（x′+1）24+y′+3223=1，

化簡得3x′2+4y′2+6x′+12y′=0①=1*GB3，

直線EF平移后變為E′F′，其方程不妨設為mx′+ny′=1.

代入①=1*GB3中構建齊次式得3x′2+4y′2+6x′（mx′+ny′）+12y′（mx′+ny′）=0，

化簡得（4+12n）y′x′2+（6n+12m）y′x′+（3+6m）=0②=2*GB3，

易知kAE′和kAF′是方程②=2*GB3的兩個根，由韋達定理得kAE′+kAF′=－6n+12m4+12n=2，

化簡得n=－615m－415，

代入直線mx′+ny′=1，

得mx′+－615m－415y′=1，

整理得mx′－615y′－415y′－1=0，

直線E′F′恒過x′－615y′=0和直線－415y′－1=0的交點－32，－154，

直線EF恒定過點－12，－94．

（2）kAE′·kAF′=3+6m4+12n=2，即m=4n+56，

直線E′F′的方程為n（4x′+y′）+56x′－1=0，

直線E′F′恒過4x′+y′=0和直線56x′－1=0的交點65，－245，

則直線EF恒定過點115，－3310．

3賦值法（點乘雙根法）

賦值法（點乘雙根法）簡化解析幾何問題，利用二次函數與其根的關系，設定值或表達式確定條件，快速找到解題關鍵點.

例2已知橢圓C：x24+y23=1，若直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以直線AB為直徑的圓恒過橢圓C的右頂點．求證：直線l恒過定點，并求出該點的坐標．

解析聯立方程，構建雙根式.設橢圓的右頂點為E（2，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

所以EA·EB=（x1－2）（x2－2）+y1y2=0，

聯立x24+y23=1，y=kx+m，

化簡得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2－3）=0，

又因為x1，x2是方程（3+4k2）x2+8mkx+4（m2－3）=0的兩個根，

所以（3+4k2）x2+8mkx+4（m2－3）=（3+4k2）（x－x1）（x－x2）①=1*GB3.

點乘雙根法賦值目的是對目標EA·EB=（x1－2）（x2－2）+y1y2=0中的（x1－2）（x2－2）和y1y2進行整體代換以達到簡化計算的目的，故對雙根式①=1*GB3中的x進行賦值x=2，

再整體代入EA·EB=（x1－2）（x2－2）+y1y2=0，

即4k2+16mk+7m2=0，

分解因式得（7m+2k）（m+2k）=0，

所以m=－27k或m=－2k.

當m=－2k時，直線l：y=kx+m=kx－2，故直線恒過定點2，0，與直線不過橢圓頂點矛盾，舍去；

當m=－27k時，直線l：y=kx+m=kx－27，故直線恒過定點27，0．

4極點極線法

極點極線法是指通過選極點，將幾何關系簡化為數學表達式，簡化計算.適用于圓錐曲線定點定值問題.

例3如圖1，已知橢圓G：x24+y22=1.點P是直線l：y=－12x+2上的一個動點，過點P向橢圓G引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當MT=TN時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.

解析判斷直線l與橢圓G的位置關系為點P在橢圓G外.

根據極點P求極線方程.又PM，PN都與橢圓G相切，因此點P和直線MN是橢圓G的一對極點和極線，對于橢圓x24+y22=1，與點P（x0，y0）對應的極線方程為x0x4+y0y2=1.

求出定點T：將y0=－12x0+2代入x0x4+y0y2=1，整理得x0x－y+4y－4=0，

顯然定點T的坐標與x0的取值無關，即有x－y=0，4y－4=0，解得x=1，y=1，所以存在定點T（1，1）恒在直線MN上.設M（x1，y1），N（x2，y2） ，

代入橢圓G：x124+y122=1x224+y222=1，兩式相減，

化簡得：y1－y2x1－x2=－12.

故直線MN的方程為：y=－12x+32.

5結語

通過對典型例題的深入剖析，我們洞察到極點極線法、齊次化法和點乘雙根法在解決定點定值問題時的優勢.這些方法突破了傳統解題難點，幫助學生高效解題，深化對圓錐曲線性質的理解，提升解題技巧和數學素養.系統學習這些方法，對學生數學能力發展具有深遠意義.

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