證明不等式恒成立問(wèn)題的解題技巧分析

【摘要】不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)和重點(diǎn)，占有十分重要的地位.縱觀近幾年全國(guó)各地的考題，該知識(shí)點(diǎn)常以解答題的形式出現(xiàn)，涉及分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想等.本文主要介紹不等式證明過(guò)程中常用的幾種方法，并對(duì)其相應(yīng)的解題思路進(jìn)行分析，以便幫助學(xué)生更加深刻地理解和掌握對(duì)應(yīng)的解題方法．

【關(guān)鍵詞】不等式恒成立；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

1比較法

比較法的應(yīng)用可以有兩種思路，即作差比較法和作商比較法.比較法是指通過(guò)作差或者作商方式，通過(guò)差值或商值比較大小，從而證明不等式成立．對(duì)于多項(xiàng)式類和分式類常用作差比較法進(jìn)行證明，常常把差值與零進(jìn)行比較；對(duì)于含有冪指數(shù)類的實(shí)數(shù)的不等式就用作商思路進(jìn)行證明，通常與常數(shù)1比較大小．在實(shí)際解決問(wèn)題過(guò)程中，需要結(jié)合不等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選用相應(yīng)方法解題．

例1已知x>0，y>0，求證：y2x+x2y≥x+y.

思考本題已知兩自變量均大于零，故而求證的這個(gè)不等式兩邊也均比零大，因此作差比較法、作商比較法均適用于本題．當(dāng)運(yùn)用作差比較法時(shí)，有x－y≤0→x≤y；在同一個(gè)證明問(wèn)題中同時(shí)運(yùn)用兩種證明方法，有助于學(xué)生靈活運(yùn)用比較法．

證明作差比較法：y2x+x2y－x+y=x3+y3－xyx+yxy=x－y2x+yxy≥0．

作商比較法：y2x+x2yx+y=x2－xy+y2xy≥2xy－xyxy=1.

變式已知a，b，c為三角形的三邊，若c≥b≥a，求證：3a3+b3+3c3+a3＜a+b+c.

思考首先該題的解答可以憑a，b，c的大小關(guān)系，通過(guò)作差方式對(duì)3a3+b3，3c3+a3部分進(jìn)行放縮，作差比較大小和放縮思路同時(shí)應(yīng)用在不等式中，可達(dá)到證明目的．

證明因?yàn)閏≥b≥a，

所以a2+b3－a3+b3=－78a3+34a2b+32ab2≥－78a3+34a3+32a3=118a3＞0，

所以a2+b＞3a3+b3，

同理可得a2+c＞3a3+c3，

所以3a3+b3+3c3+a3＜a2+b+a2+c=a+b+c.

2換元法

換元法是證明不等式的有效方法之一.在證明不等式的過(guò)程中，根據(jù)實(shí)際需要將不等式中的變量進(jìn)行代換，即為換元.換元法能使不等式證明更加方便．“代數(shù)換元法”和“三角換元法”是最常用的換元手段．其中常用的三角換元的公式包括sin2θ+cos2θ=1，a=Rsinφ，b=Rcosφ，等等．換元法證明不等式的主要思路就是首先通過(guò)換元將原式化繁為簡(jiǎn)，然后利用相關(guān)公式等對(duì)原式轉(zhuǎn)化，繼而證明不等式成立．

例2已知x2+y2≤1，證明：（x2－2xy－y2）2≤2.

思考本題可以將已知條件x2+y2≤1轉(zhuǎn)化為圓的取值范圍，則其等價(jià)于{（x，y）|x2+y2≤1}，則可得x=Rsinφ，y=cosφ（0<R<1，0<φ<2π）．不難看出，當(dāng)已知其中含有“x2+y2≤R”時(shí)，就可以思考“sinφ，cosφ”的代換，再代換時(shí)也要注意新變量的取值范圍．

證明因?yàn)閤2+y2≤1，

所以令x=Rsinφ，y=Rcosφ（0<R<1，0<φ<2π），

所以x2－2xy－y22=（R2sinφ－2Rsinφcosφ－R2cos2φ）=R4（cos2φ+sin2φ）2=2R4sin22（φ+45°）≤2．

變式已知x，y∈R，x+y=1，

求證：x+1xy+1y≥254.

思考運(yùn)用換元法解題，還可以選擇配湊換元思路，即運(yùn)用一個(gè)變量和已知等式同步替換題中多個(gè)變量的思路，該題結(jié)合x(chóng)+y=1換元得到x=12+t，y=12－t，此時(shí)使所證不等式轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)變量的不等式，進(jìn)一步放縮，可達(dá)到證明目的．

證明設(shè)x=12+t，

y=12－t－12＜t＜12，

則x+1xy+1y=x2+1y2+1xy=t4+32t2+251614－t2≥251614=254，

故不等式x+1xy+1y≥254成立.

3構(gòu)造函數(shù)法

將待證不等式構(gòu)造成一個(gè)函數(shù)，通過(guò)分析這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而分析不等式是否成立的方法叫做構(gòu)造函數(shù)法．構(gòu)造函數(shù)法，顧名思義，需要構(gòu)造一個(gè)不等式函數(shù)，如何構(gòu)造這個(gè)函數(shù)即為此法的一個(gè)難點(diǎn)所在，因?yàn)樾枰C明不等式成立，因此這個(gè)函數(shù)必須是單調(diào)函數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，是以待證的不等式的特征為依據(jù)，并利用這些特征構(gòu)造函數(shù)．

例3已知實(shí)數(shù)a，b，c，且0&lt;a<1，0<b<1，0<c<1，求證：a1－b+b1－c+c1－a<1.

思考對(duì)于本題的證明，需要首先將a作為變量構(gòu)造函數(shù)f（a），結(jié)合變量a的系數(shù)的取值范圍將－1<1－b－c<0，1－b－c=0和0<1－b－c<1這三種情況進(jìn)行分類討論即可.

證明構(gòu)造函數(shù)f（a）=a（1－b）+b（1－c）+c（1－a），

整理為以a為自變量的函數(shù)可得：

f（a）=（1－b－c）a+（b+c－bc），0<a<1，因?yàn)?<a<1，0<b<1，0<c<1，

所以－1<1－b－c<1．

（1）當(dāng)－1<1－b－c<0時(shí)，f（a）在0，1上是單調(diào)遞減函數(shù)，

所以f（a）<f（0）=b+c－bc=1－（1－b）（1－c）<1．

（2）當(dāng)0<1－b－c<1時(shí)，f（a）在0，1上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以f（a）<f（1）=1－bc<1．

（3）當(dāng)1－b－c=0時(shí)，f（a）=（1－b－c）a+（b+c－bc）=b+c－bc=1－bc．

綜上可得，原不等式a1－b+b1－c+c1－a<1成立.

變式若a≥－1，x≥0，證明：2ex－sinx+alnx+1－2≥0.

思考可以將x看做變量，結(jié)合已知的參數(shù)a的范圍，構(gòu)造與所證不等式存在一定聯(lián)系的函數(shù)解析式，求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性和極值大小，可對(duì)不等式進(jìn)行進(jìn)一步證明．

證明因?yàn)閤≥0，

所以lnx+1≥0，

因?yàn)?a≥－1，

所以alnx+1≥－lnx+1，

故2ex－sinx+alnx+1－2≥2ex－sinx－lnx+1－2，

設(shè)fx=2ex－sinx－ln（x+1）－2（x≥0），

則f′x=2ex－cosx－1x+1≥2－1－1x+1=xx+1≥0，

所以fx在0，+∞上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒0=0，

所以fx≥0恒成立，

因?yàn)?ex－sinx+alnx+1－2≥fx，

所以2ex－sinx+alnx+1－2≥0.

4結(jié)語(yǔ)

本文簡(jiǎn)要介紹了不等式證明過(guò)程中的幾種常用方法，而在實(shí)際的不等式證明中，還有更多的技巧和方法，因此在證明不等式時(shí)，學(xué)生要充分觀察待證不等式的特點(diǎn)，充分運(yùn)用不等式的性質(zhì)和基本不等式進(jìn)行解題．

參考文獻(xiàn)：

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