常見函數(shù)解析式的求解方法

【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.函數(shù)問題具有涉及范圍廣、知識(shí)點(diǎn)多、聯(lián)系密切的特點(diǎn).函數(shù)解析式是建立不同變量之間聯(lián)系的紐帶，函數(shù)變量之間的具體關(guān)系大部分通過解析式體現(xiàn).函數(shù)解析式是解答綜合性函數(shù)問題的基礎(chǔ)，因此掌握求解函數(shù)解析式的方法和策略尤為重要.本文介紹四種求解函數(shù)解析式的方法，以期幫助學(xué)生掌握求解函數(shù)解析式的技巧，正確求出函數(shù)的具體解析式.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)解析式；高中數(shù)學(xué)；解題方法

1消元法

消元法是結(jié)合已知關(guān)系式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造與自變量有關(guān)的方程式，在運(yùn)算過程中消去其他與自變量無關(guān)的變量，從而得到具體函數(shù)解析式的方法.消元法適用于已知多變量關(guān)系等式求解析式的問題，具體解題思路為：（1）結(jié)合所給關(guān)系等式，確定所求函數(shù)變量與其他變量之間關(guān)系；（2）構(gòu)造得到其他等價(jià)的關(guān)系等式，使其能通過基本運(yùn)算消去與自變量無關(guān)的其他變量；（3）通過等式之間的運(yùn)算，得到與x或fx的表達(dá)式，即為函數(shù)解析式.

例1已知3fx+2f1x=4x，求解函數(shù)fx的解析式.

分析在已知的關(guān)系等式中x與1x互為倒數(shù)，故可以采取消元方法求解函數(shù)fx的具體解析式.用1x代替x可得另一個(gè)等式3f1x+2fx=4x，聯(lián)系問題中所給的關(guān)系等式消去f1x后，即可得到函數(shù)fx的解析式.

解由題意可得3fx+2f1x=4x①，

令x=1x，

可得3f1x+2fx=4x②，

聯(lián)立①②，3×①－2×②，

得5fx=12x－8x，

故函數(shù)fx的解析式為：

fx=125x－85x.

變式已知定義在R上的函數(shù)fx滿足3f2－x－2fx=x2－2x，求函數(shù)fx.

分析需要將已知等式3f2－x－2fx=x2－2x，消去其他變量f2－x后得到函數(shù)解析式，消元過程中應(yīng)構(gòu)造等價(jià)的關(guān)系等式，聯(lián)合不同等式求函數(shù)解析式.

解因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足3f（2－x）－2f（x）=x2－2x①，

將2－x替代x，

可得3fx－2f2－x=2－x2－2（2－x）=x2－2x②，

聯(lián)立①②，可得fx=x2－2x.

2待定系數(shù)法

待定系數(shù)法適用于求解已知函數(shù)類型的解析式問題，通過已知條件列出含未知系數(shù)的函數(shù)解析式，將具體值代入其中得到方程組求解，可得具體解析式.運(yùn)用該方法解題的具體思路為：（1）根據(jù)問題已知條件，假設(shè)已知類型的含未知系數(shù)的函數(shù)解析式；（2）結(jié)合所給條件，列出與未知系數(shù)有關(guān)的方程組；（3）求解方程組，即可得到函數(shù)f（x）的具體解析式.

例2已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2x+1）=4x2－6x+5，則函數(shù)f（x）的解析式為.

剖析已知所求函數(shù)是一元二次函數(shù)，假設(shè)對(duì)應(yīng)的含系數(shù)的解析式為f（x）=ax2+bx+c，然后結(jié)合已知條件f（2x+1）=4x2－6x+5，可列出有關(guān)于未知系數(shù)a，b，c的方程式組，解答求出a，b，c的具體值，即可得到函數(shù)f（x）的具體解析式.

解析根據(jù)題意可知f（x）為二次函數(shù)，

所以假設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

所以f（2x+1）=a（2x+1）2+b（2x+1）+c=4ax2+（4a+2b）x+a+b+c.

因?yàn)閒（2x+1）=4x2－6x+5，

所以由系數(shù)相同可得4a=4，4a+2b=－6a+b+c=5，，

解得a=1，b=－5，c=9，

故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x2－5x+9.

變式已知二次函數(shù)fx滿足f0=2，且fx+1－fx=2x，求函數(shù)fx的解析式.

分析首先函數(shù)是二次函數(shù)，未知系數(shù)包括a，b，c，需要分析已知條件列出與a，b，c有關(guān)的方程組，并運(yùn)算求解，才能得到函數(shù)解析式.

解設(shè)fx=ax2+bx+c，

則有f0=c=2，

因?yàn)閒x+1－fx=ax+12+bx+1－ax2－bx=2ax+a+b=2x，

所以2a=2，a+b=0，解得a=1，b=－1，

所以fx=x2－x+2.

3換元法

換元法適用于已知解析式與所求函數(shù)存在一定聯(lián)系的問題.運(yùn)用換元法求解函數(shù)解析式的具體思路為：（1）根據(jù)所給條件，明確已知的函數(shù)解析式與所求函數(shù)f（x）之間的聯(lián)系；（2）引入變量t，用t表示已知的函數(shù)解析式；（3）由于f（x）與f（t）兩者的自變量意義相同，故所求f（t）的解析式等價(jià)于問題所求f（x）的解析式.

例3若函數(shù)f（x）滿足f（2x+2）=4x2－6x+5，求函數(shù)f（x）的解析式.

分析已知的解析式與所求函數(shù)f（x）存在一定聯(lián)系，可引入變量t將2x+2進(jìn)行替換，求出用t表達(dá)的等價(jià)函數(shù)解析式，此時(shí)f（x）與f（t）兩者的自變量意義相同，故f（t）的解析式即為問題所求f（x）的具體解析式.

解設(shè)2x+2=t，

x=t－22，

所以f（t）=（t－2）2－3（t－2）+5=t2－10t+15，由于f（x）中x與f（t）中t意義相同，

故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x2－10x+15.

4配湊法

配湊法與其他方法不同，具體在于增減具體項(xiàng)使原關(guān)系式能等價(jià)轉(zhuǎn)化為同一個(gè)變量表示的關(guān)系等式，這種方法適用于已知自變量非所求函數(shù)的函數(shù)解析式，如已知f2x解析式求fx，應(yīng)將已知等式用2x表示，根據(jù)定義可知fx解析式.具體解題步驟為：（1）用已知解析式中對(duì)應(yīng)變量表示等式，配湊得到類似fmx－n=amx－n2的等式；（2）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式定義，由fmx－n=amx－n2可對(duì)應(yīng)得到函數(shù)fx=ax2，此時(shí)可求得函數(shù)解析式.

例4已知fx+1=2x－3，求fx.

分析首先將2x－3配湊成用x+1表示的等價(jià)表達(dá)式，此時(shí)fx+1與所求函數(shù)fx意義相同，可知fx對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.

解由題意可得，fx+1=2x2－3=2x+1－12－3

=2x+1－12－4x+1－1，

所以fx=2x2－4x－1，x≥1.

5結(jié)語(yǔ)

通過上述例題和解題思路的具體分析，可以發(fā)現(xiàn)不同方法有著對(duì)應(yīng)的適用范圍.求解函數(shù)解析式的問題是解答函數(shù)問題的基礎(chǔ)，也是通往函數(shù)其他性質(zhì)的大門.因此，學(xué)生們一定要熟悉掌握不同題型的函數(shù)解析式的求解方法.值得注意的是，不論哪一種方法的運(yùn)用，定義域是不容忽視的細(xì)節(jié).

參考文獻(xiàn)：

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