探究導數不等式恒成立的判定方法及其數學原理

【摘要】本文探究導數不等式恒成立的判定方法及其數學原理.主要采用分類討論的思想、參數隔離法以及等價轉化和函數構造法等方法，通過具體例題分析說明判斷導數不等式恒成立的參數范圍的求解過程.利用分類討論思想可將復雜的參數范圍求解問題簡化，通過參數隔離法可確定參數取值區間，應用等價轉化和函數構造則法可將不等式問題轉化為函數單調性問題從而確定參數范圍.

【關鍵詞】高中數學；導數不等式；解題

1引言

在高中數學教學中解答導數不等式時常常感到困惑，究其原因主要在于對導數不等式恒成立條件的判定方法掌握不夠全面深入.探究導數不等式恒成立的判定方法及其數學原理對提高學生解題能力和數學素養具有重要意義.本文將從分類討論、參數隔離以及等價轉化和函數構造三個角度通過實例分析闡述導數不等式恒成立的判定方法，以期為高中數學教學提供一些新的思路和啟示.

2利用分類討論的思想求參數范圍

例1現有f（x）=x－1·lnx－2－a（x－3），a∈R.試求：

（1）當a=1時，函數f（x）=x－1·lnx－2－ax－3的單調性；

（2）若x>3時，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

解析（1）f（x）的定義域為（2，+∞）.

若a=1，

則f（x）=x－1·lnx－2－x－3，

故f′（x）=lnx－2+x－1x－2－1=ln（x－2）+1x－2.

令h（x）=lnx－2+1x－2，

則h′（x）=1x－2－1（x－2）2=x－3（x－2）2.

令h′（x）=0，可得x=3.

所以當x∈2，3時，h′（x）<0，h（x）單調遞減；

當x∈3，+∞時，h′（x）>0，h（x）單調遞增.

故h（x）min=h（3）=1>0，

則當x>2時，h（x）=f′（x）>0恒成立.

因為f（x）的定義域為2，+∞，

故當a=1時，f（x）僅有單調遞增區間2，+∞.

（2）若x>3時，f（x）>0恒成立可等價為lnx－2－a（x－3）x－1>0在3，+∞恒成立.

令g（x）=lnx－2－a（x－3）x－1，x>3，

則g′（x）=1x－2－2a（x－1）2

=x2－2（a+1）x+4a+1（x－2）（x－1）2.

令φ（x）=x2－2（a+1）x+4a+1，x>3，

則當a≤2時，a+1≤3，故φ（x）在區間3，+∞上單調遞增.

φ（x）>φ（3）=4－2a≥0，即g′（x）≥0，故g（x）在3，+∞上單調遞增.

令g（x）=0，

解得x=3，

所以g（x）>0，在3，+∞上恒成立.

當a>2時，a+1>3，φ（3）=4－2a<0，故φ（x）=0的兩個實數根分別為x1，x2，故x1<3<x2.

x∈（3，x2）時，φ（x）<0，g′（x）<0，在（3，x2）上g（x）單調遞增.

因為g（3）=0，故當x∈（3，x2）時g（x）<g（3）=0，故在（3，x2）上g（x）>0不恒成立.

故a的取值范圍為（－∞，2］.

3利用參數隔離法確定參數取值區間

例2現有f（x）=ex+ax－1．若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，試求a的取值范圍.

解析由題意可得f（x）=ex+ax－1≥x2，

得a≥1+x2－exx，

令g（x）=x+1－exx，

所以g′（x）=（2x－ex）x－（1+x2－ex）x2=（x+1－ex）（x－1）x2

令h（x）=x+1－ex，x∈（0，1），

則h′（x）=1－ex，

又因為x∈（0，1），

所以h′（x）=1－ex<0，

所以在區間（0，1）上h（x）=x+1－ex單調遞減.

故對于x∈（0，1），有h（x）<h（0）=0.

又因為x－1<0，x2>0，

所以g′（x）=（x+1－ex）（x－1）x2>0，故在區間（0，1）上，g（x）單調遞增.

g（x）<g（1）=2－e，

故a的取值范圍為［2－e，+∞）.

4通過等價轉化和函數構造確定參數范圍

例3現有f（x）=aeax－lnx，已知當x>1時，f（x）≥0恒成立．試求a的取值范圍.

解析因為當a≤0時，f（x）<0不符題意.

當a>0時，有aeax≥lnx.axax≥xlnxeaxlneax≥xlnx.

令h（x）=xlnx，x>1.h′（x）=lnx+1>0恒成立，所以在（1，+∞）上h（x）單調遞增.

因為x>1，a>0，

故eax>1.又axeax≥xlnx，

也即h（eax）>h（x），

故eax≥x，ax≥lnx，a≥lnxx.

令g（x）=lnxx，x>1，

則h′（x）=1－lnxx2.

令g′（x）>0，得1<x<e，g（x）在（1，e）上單調遞增；

令g′（x）<0，得x>e，g（x）在（e，+∞）上單調遞減.

g（x）max=g（e）=1e，

故a的取值范圍為1e，+∞.

5結語

判定導數不等式恒成立的方法主要有分類討論、參數隔離法、等價轉化和函數構造法等，每種方法都有其獨特的優勢和適用范圍.在實際解題過程中，應根據題目的具體情況靈活選擇和綜合運用這些方法，這樣才能更高效、準確地求解出參數的取值范圍.同時，深入理解這些方法背后的數學原理，對于培養學生的數學思維能力和創新意識也有著重要的促進作用.

參考文獻：

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