高中數學函數零點問題的題型分類及解題思路分析

【摘要】函數零點問題是一類常見的高中數學函數問題，既可以考查函數相關知識點，也可以了解學生解題綜合能力情況.函數零點問題按側重內容可分為常見的三類：零點個數求解、零點大小比較和已知零點求參.本文以具體例題為例，幫助學生理解零點問題，提高解題準確度.

【關鍵詞】高中數學；函數零點；解題技巧

1零點個數問題

零點個數問題是最常見的一類函數零點相關問題.一般題目會給出具體解析式或具體性質，要求根據已知條件分析得到零點個數.主要的解題思路是可以將求零點個數問題轉化為解方程或轉化為求函數導數單調性問題，也可以結合函數圖象求解，都是需要熟練掌握的內容.

例1已知函數fx+1是R上的偶函數，且fx+2+f2－x=0，當x∈0，1時，fx=log2－2x+52，函數fx在區間－3，3的零點個數為.

分析該函數在區間－3，3的零點需要結合具體圖象求解，函數圖象需要結合相關性質畫出，結合函數具體圖象，可以得到規定區間內零點的個數.

解因為函數fx+1是R上的偶函數，

所以f－x+1=fx+1，

所以fx關于直線x=1對稱，

因為fx+2+f2－x=0，

x=2時，f4=－f0，

由fx+2+f2－x=0，

當x=0時，f2+f2=0，

故f2=0，

又因為fx關于直線x=1對稱，

所以f0=0，

f－2=f4=－f0=0，

由對稱性可得fx在－3，3上的大致圖象如圖1所示，

則fx在區間－3，3的零點個數為9.

2比較大小問題

比較大小問題主要是求解函數零點之間的大小關系.函數可能存在一個以上的零點個數時，有的題目會要求比較零點之間的大小關系.這類問題一般需要運用數形結合思路解題，分析大致圖象，可得交點大致范圍，即可解答問題.

例2已知2a+a=log2b+b=log3c+c=kk＜1，則a，b，c從小到大的關系是.

分析首先對等式和問題進行分析，可知a，b，c是不同函數解析式與函數y=－x+k的交點，需要結合具體函數圖象來判斷a，b，c的大小，故根據函數解析式畫出圖象，解答問題.

解由2a+a=log2b+b=log3c+c=k（k＜1），

可得2a=－a+k，log2b=－b+k，

log3c=－c+k，且k＜1，

分別畫出函數y=2x，y=log2x，y=log3x和y=－x+k圖象，如圖2所示，

觀察圖象可知，a＜c＜b.

3參數范圍問題

參數范圍問題通常會給出具體函數零點個數或和積范圍，要求結合問題條件求其中未知參數的取值范圍.解答這類問題，要結合零點定理或等價轉化思路求解.零點定理在已知單個零點范圍情況下使用，等價轉化思路則將函數零點看做不同函數交點，結合導數分析單調性，繼而得到相關范圍.

例3若函數fx=sin2x+π6，函數gx=2f2x－3fx－a+1在區間π4，5π6內有零點，則實數a的取值范圍為.

分析不清楚零點個數的情況下，并不能直接運用零點定理求解，先將參數分離，求解函數hx=2f2x－3fx+1與y=a存在交點的情況，可得到具體范圍.求導分析函數的單調性，即可得到參數的取值范圍.

解由x∈π4，5π6，

則2x+π6∈2π3，11π6，

所以fx=sin2x+π6∈－1，32，

令t=fx，則t∈－1，32，

故函數gx=2f2x－3fx－a+1在區間π4，5π6內有零點等價于2t2－3t－a+1=0在區間－1，32上有解，

由ht=2t2－3t+1=2t－342－18，

可知htmin=h34=－18，

htmax=h－1=6，

所以實數a的取值范圍為－18，6.

變式已知函數fx=x，x≤0，alnx，x＞0，gx=fx－f－x，若函數gx有5個零點，則實數a的取值范圍是.

分析已知函數解析式可求出gx解析式，分別分析在不同區間對應的零點個數，然后結合函數值域分析實數a的具體取值范圍.

解若函數gx有5個零點，則結合對稱性可得，

當x＞0時，gx需要有2個零點，即關于x的方程－x=alnx有兩個不相等的實數根，x=1顯然不是－x=alnx的根，

令hx=－xlnx，其定義域為0，1∪1，+∞，則h′x=1－lnxlnx2，

令h′x=0，可得x=e，

當0＜x＜1時，h′x＞0，hx單調遞增；

當1＜x＜e時，h′x＞0，hx單調遞增；

當x＞e時，h′x＜0，hx單調遞減.

所以hx=－xlnx在x=e處取得極大值，h（e）=－e，

當0＜x＜1時，hx=－xlnx＞0恒成立；

當x＞1時，hx≤－e.

只有滿足a∈－∞，－e，直線y=a才與曲線hx=－xlnx有2個交點，從而函數gx有5個零點，故實數a的取值范圍為－∞，－e.

4結語

上述分別對函數零點問題的常見考查題型和解題思路進行總結和分析，不同的函數零點問題有對應不同的解題思路，需要掌握對應內容并靈活應用.零點個數問題解題思路較多，根據不同解析式采取對應思路；函數零點大小問題結合圖象解題較為常見；函數零點求參問題需要分離參數，再進一步轉化求解.

參考文獻：

[1]郭文峰.高中數學函數零點問題及解題策略探究[J].數理化解題研究，2023（10）：36-38.

[2]朱黛詩.優化高中數學函數零點復習課的有效策略[J].試題與研究（教學論壇），2021（02）：113.