聯想法在高中數學解題訓練中的應用

【摘要】高中階段數學課程包含許多知識點，每個知識點之間有一定的關聯性，而高中數學試題往往涉及諸多知識內容，考查學生的思維邏輯、運算能力、數學能力．學生不但要有過硬的學習基礎，還要把每個知識點相互串聯起來，找到解決問題的訣竅，提高自身的問題解決能力．聯想法作為有效的解決手段，把問題與知識相互連接，在腦海中形成聯想，進而理清解題思路，提高學生的解題正確率．

【關鍵詞】聯想法；高中數學；解題方法

在高中數學教學策劃中，解題訓練往往占據主導地位，解題方法并不固定，不同的解題方式可應對不同題型．在高中數學解題訓練指導中，聯想法的運用較為常見，具體指通過聯想將基礎知識、解題經驗有效利用，以此找到解決問題的訣竅，使難題迎刃而解的一種手段．高中數學教師組織學生進行解題訓練時，應引導學生有效運用聯想法，讓學生通過聯想，快速建立問題與知識的內在聯系，以便提升學生的解題效率與正確率，夯實學生的數學學習基礎．

1聯想法的直接運用

聯想法，顧名思義，就是把學生所掌握的知識和未知知識相互融合[1]，利用自身所了解的領域或學科，進行推理、探索，以便找出解決問題的關鍵．高中數學教師在解題訓練策劃中，由于涵蓋的知識內容眾多，習題類型變化萬千，一旦遇到難度比較大的習題，教師可引導學生圍繞問題中的公式與已知條件，通過直接聯想的方式，梳理解題思路，以便將難題化繁為簡，提高學生的解題效率．

例1假設集合A為{-4，2a-1，a2}，B為{-5，1-a，9}，A∩B為{9}，求a的值.

解析在解題訓練中，教師指導學生針對問題的重要條件進行直接聯想，這一問題中的重要條件為“A∩B為{9}”，學生認為9∈A，得出2a-1=9或a2=9，直接將a值求出來，隨后進行分類討論，逐一進行分析、驗證、求解，得出正確答案．學生依照題意得出2a-1=9或a2=9，判定出a為5或a為3或a為-3，分為三種情況進行分類討論．（1）在a為5的情況下，集合A為{-4，9，25}，集合B為{0，-4，9}，此時A∩B為{-4，9}，和題意相互矛盾，直接排除．（2）在a為3的情況下，集合A為{-4，5，9}，集合B為{-2，-2，9}，學生發現集合B有問題，直接排除．（3）在a為-3的情況下，集合A為{-4，-7，9}，集合B為{-8，4，9}，此時A∩B為{9}，此種情況成立.說明a為-3．

2抽象聯想法的運用

相較于小學、初中階段，高中數學試題難度更高，許多習題不會為學生提供概念、公式[2]，甚至直接給出相對抽象的條件．對于此類習題，高中數學教師應讓學生反復閱讀問題，對于問題中的已知條件，進行二次利用與加工，運用抽象聯想法，找出不同問題條件的內在關聯性，進而把復雜問題簡單化，降低解題難度，提高數學問題的解決效率．

例2已知函數y=f（x）對任意x，y∈R，全部滿足f（x+y）=f（x）+f（x）－1，在x＞0的情況下，f（x）＞1，假設f（3）為4，請問f（x）位于[1，2]的最值是多少？

解析在解決此類問題時，教師要讓學生明確函數的基本性質，對函數f（x）的單調性進行客觀判定，隨后通過抽象聯想方法，使x與y處于特殊情況下進行問題求證．學生根據題意，在R上隨意取x1、x2，使x1＜x2，發現f（x1）－f（x2）=f（x1）－f（x2－x1+x1）=f（x1）－f（x2－x1）－f（x1）+1，因x2-x1＞0，說明f（x2－x1）＞1，f（x1）－f（x2）＜0，進一步判定為f（x1）＜f（x2），由此證實函數f（x）在R上單調遞增．隨后使x=y=1，推算出f（2）=2f（1）－1；使x為2，y為1，計算出f（3）=f（1）+f（2）-1=4，3f（1）－2=4，說明f（1）為2，f（2）為3．按照單調增函數的基本性質，可知f（x）處于[1，2]時最小值f（1）=2，最大值f（2）為3．

3接近聯想法的運用

接近聯想法主要為在高中數學解題訓練時，聯想至相同問題的關聯性、較為類似的知識點和思路的一種解題手段[3]，此種解題方法要基于學生現有數學知識和解題經驗的條件下才能運用.盡管接近聯想法相對簡單，但是離不開高中數學教師的有效引導，讓學生反復閱讀習題，從問題中的已知條件入手，聯想到與其相關的數學定理、數學公式、數學概念等知識點，以便將這些知識點運用于解題之中，明確解題思路，提高解題效率．

例3向量a=（3，1），向量b=（0，－1），向量c=（t，3），同時a－2b和c共線，則t的值為（）

（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.

解析想要解決此類問題，依照題目中的關鍵條件“a－2b和c共線”，可以發現這一內容與平面向量共線定理相類似，通過接近聯想法，可以得出相應的重要等式，進行系數對比，便可把t的值直接提出來，此問題就迎刃而解．依照已知條件，學生得出a－2b=（3，3），由于a－2b和c相互共線，根據平面向量共線定理，有t3=33，3t=3×3，計算可得t=1.選項（A）正確．

4逆向聯想法的運用

在高中數學解題訓練活動組織中，想要解決數學問題，應按照相應的順序與層次，對問題展開深層剖析，但是部分問題運用正向思維無法找到解題思緒，此時教師應讓學生基于逆向思維，從問題的反面進行思考．簡單來講，利用逆向聯想法，把問題中的相關條件當成結論，根據已知條件，對結論加以論證，以便梳理解題思緒，找到解決問題的關鍵點．

例4實數A、B，符合A-B=8，AB+16=0，證明：A+B=0．

解析指導學生分析題意，盡管該問題看似是證明題，但是想要運用證明的思想解決這一問題難度比較大，教師可指導學生運用逆向聯想法，把問題中A-B=8逆向化，得出A+（-B）=8，同時根據已知條件，學生可列出一元二次方程，即X2-8X+16=0，證實A+B=0．

5結語

綜上所述，聯想法在高中數學解題訓練中的運用非常關鍵，教師要為學生講授聯想法的解題方法、解題要點，突破學生的思維局限，才能使學生靈活運用、融會貫通，根據問題中的已知條件，從多個層面入手，將問題與知識點相互結合，以便找到解決問題的關鍵點，提高學生的問題解決能力．

參考文獻：

[1]胡長才.淺談高中數學解題訓練中化歸思想的巧妙運用[J].數理天地：高中版，2023（15）：29-30.

[2]彭翠平.數形結合思想在高中數學解題中的應用[J].中華活頁文選：高中版，2022（17）：0169-0171.

[3]樸健麗.變式訓練教學模式在高中數學解題中的應用研究[J].數理化解題研究，2023（18）：20-22.