中職數學解題中數形結合方法的應用與實踐

【摘要】本文通過例題探討中職數學解題過程中數形結合方法的應用，分別從解不等式、解析幾何、函數和三角函數四個方面，展示數形結合思想在解題中的運用方式.通過恰當的假設和坐標系建立將抽象的數學問題轉化為直觀的幾何圖形，利用圖形的性質和位置關系簡化計算并得出結論，這種解題方法有助于培養學生的數學思維能力，提高解題效率.

【關鍵詞】中職數學；數形結合；解題方法

1引言

中職階段的數學題目相對抽象，很多問題單純依靠數字計算和邏輯推理難以解決.將數學問題與幾何圖形相結合，建立數形對應關系可擴寬解題思路.這種方法不僅能將復雜抽象的數學概念形象化，還能揭示問題的本質，為解題提供新的切入點.在中職數學教學中，教師應注重培養學生的數形結合思維，引導學生靈活運用這一解題策略，提高數學綜合素養.

2數形結合解不等式

例1解不等式3－x>x－1.

解析令y=3－x，有y2=－（x－3）（y>0），為拋物線在y軸之上的部分.

令y=x－1，表示直線，作圖如圖1所示.

解方程組y=x－1y2=－（x－3），

得x=2或x=－1（不符合題意故舍去）.

根據圖象可知當x<2時，不等式3－x>x－1成立.

綜上，不等式3－x>x－1的解集為x|x<2.

3數形結合在解析幾何中的應用

例2若實數x、y滿足等式（x－2）2+y2=3，試求yx的最大值．

解析如圖2所示，在直角坐標系中（x－2）2+y2=3可表示以（2，0）為圓心，3為半徑的圓.

設切線方程為y=kx，

當OP與圓相切時，|2k－0|k2+1=3，k=±3，

故yx的最大值為3.

4數形結合在函數中的應用

例3已知函數f（x）=x|x|－2x，則下列結論正確的是（）

（A）f（x）是偶函數，單調遞增區間是（0，+∞）.

（B）f（x）是偶函數，單調遞減區間是（－∞，1）.

（C）f（x）是奇函數，單調遞減區間是（－1，1）.

（D）f（x）是奇函數，單調遞增區間是（－∞，0）.

解析由題意得，f（x）=x|x|－2x=x2－2x，x≥0－x2－2x，x<0.

畫出函數f（x）的圖象，如圖3所示.

可知f（x）關于原點對稱，所以f（x）為奇函數，且在（－1，1）上單調遞減.

5數形結合思想解三角函數

例4若sinα+cosα=tanα0<α<π2，則α∈（）

（A）0，π6.（B）π6，π4.

（C）π4，π3. （D）π3，π2.

解析令f（x）=sinα+cosα=2sinx+π4，g（x）=tanx.

畫出兩函數圖象如圖4所示，由圖象得點P的橫坐標xP>π4.

令α=π3，

則sinπ3+cosπ3=1+32≈1.366.

tanπ3=3=1.732>sinπ3+cosπ3，

由圖象得xP<π3.選（C）.

6結語

數形結合是一種重要的數學思想方法.這種方法通過圖形直觀展現數量關系，簡化了問題的求解過程，培養了學生的數學直覺和創新意識.在教學實踐中，教師應重視引導學生運用數形結合思想分析問題，鼓勵學生多角度、多方法地探索解題策略.教師還應注重學生思維能力的培養，提高學生的數學素養.

參考文獻：

[1]陳梅英.數形結合思想在高中數學解題教學中的妙用[J].高中數理化，2023（S1）：17-18.

[2]高英凱.數形結合在初中數學解題中的應用[J].數理化解題研究，2023（35）：20-22.

[3]潘慧穎.依托數形結合思想實現初中數學高效教學[J].數理化解題研究，2023（35）：32-34.

[4]邱曉昇.例析數形結合思想在解答高中數學問題中的應用[J].數理天地（高中版），2022（24）：16-17.