基于一道試題的解后反思

【摘要】近幾年高考全國卷中出現了探究原函數和導函數對稱性的試題，這些試題新穎抽象，研究內容具有前沿性，不僅考查了學生嚴謹的邏輯推理論證，還考查了學生分析問題和解決問題的能力，體現了高考“基礎性、綜合性、應用性和創新性”的“四翼”考查要求.根據高考試題，近期的高三試卷中也出現了相關題型.本文由一道模擬試題引發的解后反思，進一步探究一些一般性結論，以供參考.

【關鍵詞】原函數與導函數；高中數學；解題技巧

1題目展示

例設定義在R上的函數fx與gx的導數分別為f′x與g′x，已知fx=g3－x－1，f′x+1=g′x，且f′x關于直線x=1對稱，則下列結論一定成立的是（）

（A）fx+f2－x=0.

（B）f′2=0.

（C）g1－x=g1+x.

（D）g′x+g′2－x=0.

這是江蘇省泰興中學2024屆高三4月學情調研考試中的一道多項選擇題，該題的全年級平均得分僅有0.52分，屬于較難題.這道題主要是考查原函數和導函數的對稱性問題，具有前沿性，也是熱點題型.借助本題，本文探究原函數和導函數對稱性的一般性結論，以期對今后的學習拋磚引玉.

2分析思考

解析對于（A）選項，選（A）項的學生高達82.7%，就其錯誤原因分析如下.

因為f′x的圖象關于直線x=1對稱，所以f′x=f′2－x，由這個式子很多學生得出等式fx=－f2－x，從而認為（A）選項正確.

事實上，由f′x=f′2－x我們應該得出fx=－f2－x+t（t為常數），也就是說若導函數圖象關于直線x=1對稱，那么原函數圖象關于1，t2中心對稱，而不一定關于1，0中心對稱.例如函數fx=cosπ2x+1，其導函數f′x=－π2sinπ2x，f′x的圖象關于直線x=1對稱，而原函數圖象關于1，1中心對稱.

對于（B）選項，由f′x關于直線x=1對稱，且f′x+1=g′x，得g′x的圖象關于直線x=0對稱，即g′x為偶函數；由fx=g3－x－1兩邊求導可得f′x=－g′3－x，再由f′x+1=g′x得f′x=g′x－1，所以g′x－1=－g′3－x.所以g′x=－g′2－x，g′x的圖象關于1，0中心對稱.

由f′x=g′x－1得f′x的圖象關于2，0中心對稱，所以f′x=－f′4－x①=1*GB3*MERGEFORMAT，在①=1*GB3*MERGEFORMAT中令x=2，得f′2=－f′2.所以f′2=0，故（B）選項正確.

對于（C）選項，由于g′x的圖象關于1，0中心對稱，所以g′x=－g′2－x，所以gx=g2－x+t②=2*GB3*MERGEFORMAT，在②=2*GB3*MERGEFORMAT中令x=1，得t=0，所以gx=g2－x，所以g1+x=g1－x，故（C）選項正確.

對于（D）選項，由于g′x的圖象關于1，0中心對稱，所以g′x=－g′2－x，所以g′x+g′2－x=0，所以（D）選項正確.

故選（B）（C）（D）.

思考1本題主要考查原函數和導函數的對稱性問題，我們比較熟悉的根據原函數的對稱性可以推導出其導函數的對稱性，相關結論如下.

結論1對于定義在R上的可導函數fx，其導函數為f′x，若fx的圖象關于直線x=m對稱，則f′x的圖象關于點m，0對稱.

證明因為fx的圖象關于直線x=m對稱，

所以fx=f2m－x.

兩邊求導得：f′x=－f′2m－x，所以f′x的圖象關于點m，0對稱.

結論2對于定義在R上的可導函數fx，其導函數為f′x，若fx的圖象關于點a，b對稱，則f′x的圖象關于直線x=a軸對稱.

證明因為fx的圖象關于點a，b對稱，

所以fx=2b－f2a－x.

兩邊求導得：f′x=f′2a－x，所以f′x的圖象關于直線x=a軸對稱.

思考2下面探究已知導函數的對稱性，那么原函數的對稱性如何.根據本調研試題分析得到如下結論.

結論3對于定義在R上的可導函數fx，其導函數為f′x，若f′x的圖象關于直線x=m對稱，則fx的圖象關于點m，fx0+f2m－x02

（x0為定義域內任意一個值）中心對稱.

證明因為f′x的圖象關于直線x=m對稱，

所以f′x=f′2m－x，

∫f′xdx=∫f′2m－xdx，

故fx+c=－f2m－x+d，

即fx=d－c－f2m－x.所以fx的圖象關于點m，d－c2中心對稱.

其中d－c2=fx0+f2m－x02（x0為定義域內任意一個值），所以fx的圖象關于點m，fx0+f2m－x02中心對稱.

結論4對于定義在R上的可導函數fx，其導函數為f′x，若f′x的圖象關于點t，0中心對稱，則原函數fx的圖象關于直線x=t軸對稱.

證明因為f′x的圖象關于點t，0中心對稱，

所以f′x=－f′2t－x，

∫f′xdx=∫－f′2t－xdx.

故fx+c=f2t－x+d，

fx=f2t－x+d－c③=3*GB3*MERGEFORMAT.

在③=3*GB3*MERGEFORMAT中令x=t，得ft=ft+d－c，所以d－c=0.

所以fx=f2t－x，fx的圖象關于直線x=t軸對稱.

3結語

在近三年全國高考試卷中涉及原函數與導函數的對稱性的試題有2021年新高考II=2*ROMAN*MERGEFORMAT卷第8題和2022年新高考I卷第12題，這些試題的出現改變了以往單一的考查微分思想，逐步滲透到由導函數探究原函數的積分領域，這不僅為后續學習微積分做了鋪墊，更體現了新高考考查要求：基礎性、綜合性、應用性和創新性的“四翼”要求.

【本文系江蘇省泰州市教育科學“十四五”規劃2021年度重點立項課題《基于UbD理論的高中數學逆向教學設計》研究成果；課題編號：tjkzd2021-080】

參考文獻：

[1]鄧啟龍.函數與導函數的圖象的對稱性[J].數理化解題研究，2023（16）：5-10.

[2]胡芳舉.導函數與原函數的奇偶性、對稱性、周期性的關系[J].中學生數學，2023（17）：3-5.

[3]劉海濤.探析導函數與原函數間的對稱性關系[J].中學生數學，2021（07）：8-9.