從一道模擬題談拋物線的對稱美

【摘要】圓錐曲線中的綜合問題是高考的難點，由于題型比較靈活，學(xué)生往往難以突破，究其原因是沒有很好的把握圓錐曲線的性質(zhì)和特點.圓錐曲線具有很好的對稱性，特別是在定點、定值等命題中有很好地體現(xiàn)，也是命題者在命題中喜歡深度挖掘的問題.如果我們能夠探索其中的規(guī)律，就能夠很好的突破難點.本文從一道模擬題出發(fā)，探索拋物線中的定點、定值和最值等問題，體現(xiàn)拋物線的對稱美，還體現(xiàn)由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；定點；定值；高中數(shù)學(xué)

1題目及解析

例在平面直角坐標系內(nèi)，點F1，0，過點P作直線l：x=m的垂線，垂足為M，MF的中點H在y軸上，且PM+PF·FM=0.設(shè)點P的軌跡為曲線Q.

（1）求曲線Q的方程;

（2）已知點D－1，0，A為曲線Q上一點，直線AD交曲線于另一點B，且點A在線段BD上，直線AF交曲線Q于另一點C，△BCD內(nèi)切圓的半徑是否存在最小值？若存在，求出最小值.若不存在，請說明理由.

分析本題第（2）問需要證明當(dāng)點D與拋物線相切時，△BCD內(nèi)切圓的半徑達到最小值.但是當(dāng)點D與拋物線相交時，由幾何法可以證明隨著直線的傾斜角變小，△BCD內(nèi)切圓的半徑越來越大.所以當(dāng)相切時內(nèi)切圓的半徑取不到最小值.

解（1）y2=4x.

（2）如圖1所示，過點D作拋物線y2=4x的兩條切線，設(shè)切點分別為Cx1，y1，Bx2，y2.

直線CD的方程為：y=k1（x+1）（k1>0），

設(shè)直線BD的方程為：y=k2（x+1）（k2<0）.

聯(lián)立方程組y=k1x+1，y2=4x，

得：k1y2－4y+4k1=0.

因為直線CD與拋物線相切，

所以Δ=16-16k2=0，

所以k1=1，

所以y2－4y+4=0，y1=2，

同理得k2=－1，y2=－2，

所以k1k2=－1，x1=x2=1，BD⊥CD，B，C關(guān)于x軸對稱且線段BC過焦點F，

所以△BCD為等腰直角三角形，

CD=BD=22+22=22，BC=4，

此時r=2S△BCDC△BCD=2×12×22×2222+22+4=22－1.

如圖2所示，已知點D－1，0，A為曲線Q上一點，直線AD交曲線于另一點B，且點A在線段BD上，直線AF交曲線Q于另一點C，設(shè)Ax1，y1，Cx2，y2，Bx3，y3，直線AF的方程為：x=my+1，直線AD的方程為：x=ny－1，

聯(lián)立方程組x=my+1，y2=4x，

得：y2－4my－4=0，

所以y1y2=－4，

同理聯(lián)立x=ny－1，y2=4x，

得：y2－4ny+4=0，

所以y1y3=4，

所以y2=－y3，即B，C關(guān)于x軸對稱.

設(shè)BC交x軸于點E，CE=m，△BCD內(nèi)切圓的圓心為M，半徑為r，

設(shè)∠MCE=α，

則∠CDE=π2－2α，r=m·tanα.

當(dāng)∠CDE越小，則α越大，tanα越大，m越大，易知r=m·tanα越大.

故當(dāng)BD、CD與拋物線相交時，r>22－1，即△BCD內(nèi)切圓的半徑r不存在最小值.

2一般結(jié)論的推導(dǎo)

筆者思考是否可以把題目中的拋物線和相關(guān)的點進行一般化，并做了嘗試，證明得到了以下的結(jié)論.

結(jié)論1在平面直角坐標系內(nèi)，點Fp2，0，過點P作直線l：x=m的垂線，垂足為M，MF的中點H在y軸上，且PM+PF·FM=0.設(shè)點P的軌跡為曲線Q.

（1）求曲線Q的方程;

（2）已知點D－p2，0，A為曲線Q上一點，直線AD交曲線于另一點B，且點A在線段BD上，直線AF交曲線Q于另一點C，△BCD內(nèi)切圓的半徑是否存在最小值？若存在，求出最小值.若不存在，請說明理由.

解如圖1所示，過點D作拋物線y2=2px的兩條切線，設(shè)切點分別為Cx1，y1，Bx2，y2.

設(shè)直線CD的方程為：

y=k1x+p2k1>0.

設(shè)直線BD的方程為：

y=k2x+p2k2<0.

聯(lián)立方程組y=k1x+p2，y2=2px，

得：k1y2－2py+k1p2=0.

因為直線CD與拋物線相切，

所以Δ=4p2-4k12p2=0，

所以k1=1，

所以y2－2py+p2=0，故y1=p，

同理：得k2=－1，y2=－p，

所以k1k2=－1，x1=x2=p2，BD⊥CD，B，C關(guān)于x軸對稱且線段BC過焦點F，

所以△BCD為等腰直角三角形，

CD=BD=p2+p2=2p，BC=2p，

此時r=2S△BCDC△BCD=2×12×2p×2p2p+2p+2p

=p2－1.

如圖2所示，已知點D－p2，0，A為曲線Q上一點，直線AD交曲線于另一點B，且點A在線段BD上，直線AF交曲線Q于另一點C，

設(shè)Ax1，y1，Cx2，y2，Bx3，y3，

直線AF的方程為：x=my+p2，

直線AD的方程為：x=ny－p2，

聯(lián)立方程組x=my+p2，y2=4x，

得y2－2pmy－p2=0，

所以y1y2=－p2，

同理聯(lián)立x=ny－p2，y2=4x，

得：y2－2pny+p2=0，

所以y1y3=p2，

所以y2=－y3，即B，C關(guān)于x軸對稱，

設(shè)BC交x軸于點E，CE=m，△BCD內(nèi)切圓的圓心為M，半徑為r，

設(shè)∠MCE=α，則∠CDE=π2－2α，

r=m·tanα，

當(dāng)∠CDE越小，則α越大，tanα越大，m越大，易知r=m·tanα越大.

故當(dāng)BD、CD與拋物線相交時，r>p2－1，即△BCD內(nèi)切圓的半徑r不存在最小值.

參考文獻：

[1]龍宇.構(gòu)造斜率方程妙解定值問題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2018（07）：21-23.

[2]楊侖元.拋物線焦點弦的一組性質(zhì)在高考中的應(yīng)用[J].課程教育研究（學(xué)法教法研究），2017（14）：195.

[3]秦江銘.淺談拋物線中的定點、定值問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（15）：39-40.

[4]楊松松，王東偉.一道拋物線中定點定值試題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2022（13）：32-33.