例析高階思維結(jié)構(gòu)圖在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘要】高中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常會遇到復(fù)雜題型，題干信息內(nèi)容較多、題目碎片化，學(xué)生難以直接找到關(guān)鍵點(diǎn)，為了有效地解決這一問題，就需要教師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方法，采用逆向、發(fā)散、組合等多種形式，實(shí)現(xiàn)對題干信息的整理、選擇合適的高階思維結(jié)構(gòu)圖構(gòu)建新的思維過程，在這期間，需要遵循整體性、啟發(fā)性、生成性原則，通過分析、評價和創(chuàng)造，完成題目的整合與可視化，以深入理解題干信息，降低解題難度，促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】思維結(jié)構(gòu)圖；高中數(shù)學(xué)；解題

1前言

高階思維結(jié)構(gòu)圖作為一種思維工具，基于分析、評價、創(chuàng)造等高層次思維，輔助學(xué)生形成數(shù)學(xué)解題技巧、認(rèn)知思路，這種結(jié)構(gòu)圖的方式可以通過圖文結(jié)合的形式直觀地呈現(xiàn)出思考路徑，有助于完善學(xué)生的認(rèn)知情況，加深個人記憶理解.以高中數(shù)學(xué)解題為例，需要在應(yīng)用中遵循“整體性—啟發(fā)性—生成性”原則，鼓勵學(xué)生結(jié)合問題，分析知識點(diǎn)內(nèi)容，將零散的信息分類、整合，以快速把握主要內(nèi)容，在縱橫對比中，多角度分析題目條件、結(jié)論關(guān)系，選擇最優(yōu)解題路徑.啟發(fā)性原則要求教師遵循由淺入深、循序漸進(jìn)的方式引導(dǎo)學(xué)生自主思考，通過“問題導(dǎo)向、探究交流”輔助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，逐層剖析數(shù)學(xué)模型，逐步加深個人對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知，提升學(xué)生的思考能力.通過構(gòu)建結(jié)構(gòu)圖，讓學(xué)生把握問題本質(zhì)、探尋解題規(guī)律，因而形成了“學(xué)習(xí)方法—嘗試解題—理解問題—舉一反三”的思考路徑，助推創(chuàng)新，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，發(fā)散思維、拓寬視野，實(shí)現(xiàn)知識的遷移與應(yīng)用.

2高階思維結(jié)構(gòu)圖的應(yīng)用方法

高階思維結(jié)構(gòu)圖的繪制可以歸納為五個步驟，即理—選—繪—驗(yàn)—修.在這5個步驟中，不同環(huán)節(jié)體現(xiàn)的高階思維內(nèi)容有所差異，以“理”“繪”為例，主要培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、信息收集能力以及結(jié)構(gòu)的繪制能力，“驗(yàn)”則表示的是評價能力，確保繪制結(jié)構(gòu)的邏輯性與準(zhǔn)確性，在這5個步驟中充分地展現(xiàn)出了數(shù)學(xué)解題本質(zhì)即“逐步接近結(jié)果目標(biāo)”，這期間可以逆推、正推，只要找到已知條件與所求問題之間的聯(lián)系，就可以梳理出清晰的思維結(jié)構(gòu)圖，并由此找到解決復(fù)雜問題的方法.

例題已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=35，且滿足an+1=3an2an+1.

（1）求證：數(shù)列1an－1為等比數(shù)列；

（2）設(shè)bn=n1an－1，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn，并證明：23≤Tn<32.

理本題目是在考查學(xué)生對比例知識以及反證法與放縮法的應(yīng)用能力，需要先找到通項(xiàng)公式，發(fā)現(xiàn)無法直接利用通項(xiàng)公式進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的求解，需要對其進(jìn)行適當(dāng)放縮，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解出函數(shù)最值.對第（1）問，若想要證明其是等比數(shù)列，通常情況下數(shù)列中的任意兩個相鄰項(xiàng)的比值相等（等比數(shù)列的概念），再結(jié)合第（1）問的結(jié)論，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及題干信息解第（2）問.

選為此可以采用雙向推理的方式將題干中的信息（已知條件）和結(jié)論進(jìn)行系統(tǒng)的呈現(xiàn)，輔助學(xué)生梳理解題細(xì)節(jié)，初步整理情況如下（見圖1）.

繪結(jié)合等比數(shù)例通項(xiàng)公式以及題干條件，采用錯位相減的方式計(jì)算得出Tn的數(shù)值后，再使用放縮法和函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可以計(jì)算得出1an－1是“以1a1－1=23為首項(xiàng)，以13為公比”的等比數(shù)列，后由（1）的結(jié)論有1an－1=23·13n－1=23n，可以得出bn=2n3n，使用錯位相減法：

Tn=231+432+633+…+2（n－1）3n－1+2n3n①，

13Tn=232+433+634+…+2（n－1）3n+2n3n+1②，

①-②得23Tn=231+232+233+…+23n－1+23n－2n3n+1=1－2n+33n+1，

因此Tn=321－2n+33n+1.

對其進(jìn)行縮放.

驗(yàn)對數(shù)列中縮放結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證的時候，Tn=321－2n+33n+1＜32×（1－0）=32.

修在本題目中需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性展開，才能計(jì)算出函數(shù)的最值，進(jìn)而去驗(yàn)證23≤Tn＜32，若不能直接利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析，我們要如何展開討論呢？這就需要我們對其進(jìn)行完善，因?yàn)閎n=2n3n＞0，所以Tn為遞增數(shù)列，所以Tn≥b1=23.