“三新”背景下高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法探索

【摘要】隨著新課程改革的深入，新的教學(xué)理念、新的教學(xué)模式和新的教材內(nèi)容逐漸滲透到了高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.在“三新”背景下，高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)更加強(qiáng)調(diào)解題思路的多元化，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】 “三新”背景；高中函數(shù)；解題技巧

隨著“三新”教育改革的深入推進(jìn)，即新課程標(biāo)準(zhǔn)、新高考制度和新教學(xué)方法的提出，高中數(shù)學(xué)教育正面臨著前所未有的挑戰(zhàn)與機(jī)遇.其中，函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，其解題思路的多元化更是受到廣大師生的廣泛關(guān)注.本文旨在探討在“三新”背景下，高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法，并進(jìn)行具體分析.

新高考制度注重對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的考查，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的考查.在函數(shù)部分，高考題目往往涉及實(shí)際問(wèn)題的建模和求解.因此，學(xué)生在掌握函數(shù)基本解題方法的基礎(chǔ)上，還應(yīng)注重培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力.例如，通過(guò)解決與函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，理解函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用；通過(guò)探究函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)新的解題思路和方法，以2024年數(shù)學(xué)高考第18題為例.

1經(jīng)典例題

已知函數(shù)f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（1）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值；

（2）證明：曲線y=f（x）是中心對(duì)稱圖形；

（3）若f（x）>－2，當(dāng)且僅當(dāng)1<x<2，求b的取值范圍.

解析（1）第1步：求函數(shù)f（x）的定義域，

f（x）的定義域?yàn)椋?，2）.

第2步：求解f′（x），

若b=0，

則f（x）=lnx2－x+ax，

f′（x）=2－xx·（2－x）+x（2－x）2+a=2x（2－x）+a.

第3步：根據(jù)f′（x）≥0求a的最小值，

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，

x（2－x）∈0，1，

f′（x）min=2+a≥0，

則a≥－2，

故a的最小值為－2.

（2）第1步：求解f（2－x）與f（x）的關(guān)系式，

f（2－x）=ln2－xx+a（2－x）+b（1－x）3=－ln2－xx－ax－b（x－1）3+2a=－f（x）+2a；

第2步：得出曲線y=f（x）的對(duì)稱中心，

故曲線y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，a）中心對(duì)稱.

（3）第1步：求a的值，

由題知f（1）=a=－2.

第2步：求解f′（x）并變形整理，

此時(shí)f（x）=lnx2－x+2x+b（x－1）3，

f′（x）=2－xx·（2－x）+x（2－x）2+2+3b（x－1）2

=2x（2－x）－2+3b（x－1）2

=（x－1）22x（2－x）+3b.

第3步：分類討論，研究fx的單調(diào)性，并判斷是否符合題意，

記g（x）=2x（2－x）+3b，x∈（0，2），

易知g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，g（1）=2+3b，

當(dāng)b≥－23時(shí)，g（x）≥0，

f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，又f（1）=－2，故符合題意.

當(dāng)b<－23時(shí)，g（1）<0，

g（x）=2x（2－x）+3b=－3bx2+6bx+2x（2－x），

令g（x）=0，

得x=1±1+23b，

因?yàn)閎<－23，

所以1+23b∈（0，1），

故1+1+23b∈（1，2），

1－1+23b∈（－1，0），

所以當(dāng)x∈1，1+1+23b時(shí)，g（x）<0，f′（x）<0，

f（x）在1，1+1+23b上單調(diào)遞減，

故f1+1+23b<f（1）=－2，不符合題意.

第4步：得出b的取值范圍，

綜上，b的取值范圍為-23，+∝.

點(diǎn)評(píng)本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)，深入考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，其中第（2）問(wèn)考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性這一幾何性質(zhì)的代數(shù)表示，第（3）問(wèn)的設(shè)問(wèn)方式相對(duì)新穎，需要學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而解決問(wèn)題.“三新”教育強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)和創(chuàng)新能力，需要教師通過(guò)知識(shí)點(diǎn)及例題的講解去貫徹實(shí)施.

2結(jié)語(yǔ)

在“三新”背景下，高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路的多元化是必然趨勢(shì).通過(guò)采用多種教學(xué)方法和手段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力；通過(guò)引入實(shí)際問(wèn)題和新的解題思路和方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性；通過(guò)注重學(xué)生的主體地位和自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和能力.因此，在函數(shù)教學(xué)中，我們應(yīng)注重解題思路的多元化和解題方法的創(chuàng)新應(yīng)用，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和未來(lái)的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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