絕對(duì)值函數(shù)的探究與應(yīng)用

【摘要】本文主要對(duì)函數(shù)fx=|ax+b|±|cx+d|的解析式、圖象、性質(zhì)等進(jìn)行探究，將函數(shù)fx=ax+b±cx+d分為四類(lèi)，總結(jié)每一類(lèi)的函數(shù)性質(zhì)，借助幾何畫(huà)板繪制每一類(lèi)函數(shù)的圖象，接著運(yùn)用性質(zhì)及圖象解決問(wèn)題．運(yùn)用本文的內(nèi)容，不需要分類(lèi)討論去絕對(duì)值就可解決問(wèn)題，這樣有效的避免了去絕對(duì)值帶來(lái)的麻煩.通過(guò)本文探究，對(duì)函數(shù)fx=ax+b±cx+d有一個(gè)宏觀的把握，這些函數(shù)性質(zhì)能夠快速準(zhǔn)確的解決雙絕對(duì)值不等式相關(guān)題型．

【關(guān)鍵詞】隔點(diǎn)；函數(shù)；雙絕對(duì)值；高中數(shù)學(xué)

1隔點(diǎn)的定義

對(duì)于ax+b，其中a≠0，我們把a(bǔ)x+b=0的實(shí)數(shù)x叫做隔點(diǎn).

如函數(shù)fx=ax+b±cx+d（a≠0，c≠0）中有2個(gè)隔點(diǎn)，分別為x1=－ba，x2=－dc.

2將函數(shù)fx=ax+b±cx+d分為四類(lèi)進(jìn)行探究

2.1同系數(shù)雙絕對(duì)值的和fx=ax+b+ax+d，其中a≠0，b≠d

證明函數(shù)fx=ax+b+ax+d中有2個(gè)隔點(diǎn)，分別為x1=－ba，x2=－da.

不妨設(shè)a>0，x1<x2，則

fx=－2ax－b－d， x<x1b－d， x1≤x≤x22ax+b+d， x>x2

由分段函數(shù)畫(huà)出fx=ax+b+|ax+d|的圖象形狀為圖1.

（1）函數(shù)fx=ax+b+ax+d有對(duì)稱軸x=x1+x22=－b+d2a.

（2）當(dāng)x0∈x1，x2時(shí)，fxmin=fx0=fx1=fx2.

例1（2008年山東高考題） fx=x+1+x－a關(guān)于x=1對(duì)稱，求a的值.

解由上述結(jié)論可知fx=x+1+x－a的對(duì)稱軸為x=a－12，即a－12=1；解得a=3.

例2（2013年重慶卷第16題）若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式x－5+x+3<a無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

解在了解fx=x－5+x+3圖象的基礎(chǔ)上，易知：fxmin=f5=8，即a≤8.

2.2同系數(shù)雙絕對(duì)值的差fx=|ax+b|－|ax+d|，其中a≠0，b≠d.

證明函數(shù)fx=ax+b－ax+d中有2個(gè)隔點(diǎn)，分別為x1=－ba，x2=－da.

情形1不妨設(shè)a>0，x1<x2，即b>d，則

fx=－（b－d）， x<x12ax+b+d， x1≤x≤x2b－d， x>x2 .

由分段函數(shù)畫(huà)出fx=ax+b－ax+d的圖象為圖2.

此時(shí)，函數(shù)fx=ax+b－ax+d的圖象關(guān)于點(diǎn)x1+x22，0對(duì)稱，

函數(shù)fx=ax+b－ax+d的最小值為fx1=f－ba=－b－d，

函數(shù)fx=ax+b－ax+d的最大值為fx2=f－da=b－d.

情形2不妨設(shè)a>0，x1>x2，即b<d，則

fx=－（b－d）， x<x2－2ax－b－d，x2≤x≤x1.b－d，x>x1

由分段函數(shù)畫(huà)出fx=ax+b－|ax+d|的圖象形狀為圖3.

此時(shí)，函數(shù)fx=ax+b－ax+d的圖象關(guān)于點(diǎn)x1+x22，0對(duì)稱，

函數(shù)fx=ax+b－ax+d的最小值為fx1=f－ba=b－d，

函數(shù)fx=ax+b－ax+d的最大值為fx2=f－da=－b－d.

綜上可知：fx=ax+b－ax+d中依次求隔點(diǎn)x1，x2

（1）當(dāng)x1<x2時(shí)，fx=ax+b－ax+d的圖象形狀為圖2.

（2）當(dāng)x1>x2時(shí)，fx=ax+b－ax+d的圖象形狀為圖3.

2.3不同系數(shù)雙絕對(duì)值的和fx=ax+b+cx+d有最小值，且最小值在系數(shù)大的隔點(diǎn)處取到.

證明函數(shù)fx=ax+b+cx+d中有2個(gè)隔點(diǎn)，分別為x1=－ba，x2=－dc.

情形1不妨設(shè)a>c>0，x1<x2，則

fx=－（a+c）x－b－d，x<x1（a－c）x+b－d，x1≤x≤x2.（a+c）x+b+d，x>x2

由分段函數(shù)畫(huà)出fx=ax+b+|cx+d|的圖象為圖4.

可知函數(shù)fx=ax+b+cx+d在－∞，x1上為減函數(shù)；在x1，+∞上為增函數(shù).

所以函數(shù)fx=ax+b+cx+d有最小值fx1=f－ba=－bca+d.

情形2不妨設(shè)a>c>0，x1>x2，則

fx=－（a+c）x－b－d，x<x2（c－a）x－b+d，x2≤x≤x1.（a+c）x+b+d，x>x1

由分段函數(shù)畫(huà)出fx=|ax+b|+|cx+d|的圖象為圖5.

可知函數(shù)fx=ax+b+cx+d在－∞，x1上為減函數(shù)；在x1，+∞上為增函數(shù).

所以函數(shù)fx=ax+b+cx+d有最小值fx1=f－ba=－bca+d.

例3（2014年重慶卷第16題）若不等式2x－1+x+2≥a2+12a+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解由上述結(jié)論可知fx=2x－1+x+2的最小值為fxmin=f12=52.

即a2+12a+2≤52，解得：－1≤a≤12.

例4（2015年重慶卷第16題）若函數(shù)fx=x+1+2x－a的最小值為5，則實(shí)數(shù)a=.

解由上述結(jié)論可知fx=x+1+2x－a的最小值為fxmin=f（a）=|a+1|=5.

解得a=4或－6.

2.4不同系數(shù)雙絕對(duì)值的差fx=|ax+b|－|cx+d|有最大值或最小值

2.4.1fx=ax+b－cx+d若系數(shù)大的絕對(duì)值前為正，則有最小值，且在系數(shù)大的隔點(diǎn)處取到.

證明函數(shù)fx=ax+b－cx+d中有2個(gè)隔點(diǎn)，分別為x1=－ba，x2=－dc.

不妨設(shè)a>c>0，x1<x2，

則fx=－（a－c）x－b+d，x<x1（a+c）x+b+d，x1≤x≤x2.（a－c）x+b－d，x>x2

由分段函數(shù)畫(huà)出fx=ax+b－|cx+d|的圖象為圖6.

可知函數(shù)fx=ax+b－cx+d在－∞，x1上為減函數(shù)；在x1，+∞上為增函數(shù).

所以函數(shù)fx=ax+b－cx+d有最小值fx1=f－ba=－－bca+d.

同理可證，當(dāng)a>c>0，x1>x2時(shí)，函數(shù)fx=ax+b－cx+d有最小值fx1=f－ba=－－bca+d.

2.4.2fx=ax+b－cx+d若系數(shù)大的絕對(duì)值前為負(fù)，則有最大值，且在系數(shù)大的隔點(diǎn)處取到.

證明函數(shù)fx=ax+b－cx+d中有2個(gè)隔點(diǎn)，分別為x1=－ba，x2=－dc.

不妨設(shè)c>a>0，x1<x2，則

fx=（c－a）x－b+d，x<x1（a+c）x+b+d，x1≤x≤x2.（a－c）x+b－d，x>x2

由分段函數(shù)畫(huà)出fx=ax+b－cx+d的圖象為圖7.

可知函數(shù)fx=ax+b－cx+d在－∞，x2上為增函數(shù)；在x2，+∞上為減函數(shù).

所以函7498bcd02f265c827dce0bc7f1e3ba9c數(shù)fx=ax+b－cx+d有最大值fx2=f－dc=－adc+b.

同理可證，當(dāng)c>a>0，x1>x2時(shí)，函數(shù)fx=ax+b－cx+d有最大值fx2=f－dc=－adc+b.

例5（2022年浙江卷第9題）已知a，b∈R，若對(duì)任意x∈R，a|x－b|+|x－4|－|2x－5|≥0，則（）

（A）a≤1，b≥3.（B）a≤1，b≤3．

（C）a≥1，b≥3．（D）a≥1，b≤3．

解特殊值法處理此題.

①取a=0，fx=x－4－2x－5有最大值fxmax=f52=32，值域?yàn)椋蓿?2，不符合題意，排除（A）（B）選項(xiàng).

②取a=1，b=4，fx=2|x－4|－|2x－5|隔點(diǎn)依次為x1=4，x2=52.此時(shí)fxmin=f4=－3，不符合題意，排除（C）選項(xiàng).故答案為（D）.

例6解不等式x－5－2x+3<1.

解令fx=x－5－2x+3，

由2.4.2可快速畫(huà)出函數(shù)大致圖象，如圖8.

隔點(diǎn)依次為x1=5，x2=－32，fxmax=f－32=132>1，f5=－13<1，所以fx=1有兩個(gè)根，分別為－7，13.結(jié)合圖象可知不等式的解集為－∞，－7∪13，+∞.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紹學(xué).數(shù)學(xué)選修4-5[M].北京：人民教育出版社，2007：8-14.

[2]杜志建.金考卷特快專遞. 2022年數(shù)學(xué)理科（第一期），2022：6.