由圖象及性質求三角函數解析式的教學反思

【摘要】三角函數是高中數學的重點內容之一，求三角函數解析式是三角函數章節中的基本問題.本文主要研究由函數y=Asinωx+φ的部分圖象及性質求解析式中初相φ的問題，結合常規教學過程中出現的問題及易錯點對求解函數y=Asinωx+φ解析式中的初相φ的幾種方法進行探討，從而對今后的教學工作進行改進.

【關鍵詞】三角函數；圖象性質；初相φ

在批改學生作業時，教師經常發現學生在求解函數y=Asinωx+φ解析式中的初相φ時出現問題，尤其是所給圖象中不是五點法中的最值點而是零點時，學生經常弄不清楚是上升零點還是下降零點.以及在后期講解解三角形中給值求角這一類型題目中，學生經常遺漏角的范圍，直至高三也會有部分學生忘記，結合這兩類問題教師對教學方法進行改進.

1利用最值法及整體思想求初相φ

例1已知函數y=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）的部分圖象如圖1所示，求函數解析式.

解由圖知，A=2，T=π，則W=2.

由圖象過點π3，2

2sin2×2π3+φ=2，

所以2π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，

因為φ<π2，所以φ=-π6，

所以函數的解析式為y=2sin2x－π6.

由最值法求初相φ，根據圖象中存在的最值點，我們對應五點法中相應的最值點代入即可，但不存在最值點時學生易出現如下例題中的問題.

2利用零點及整體思想求初相φ

例2已知函數y=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）的部分圖象如圖2所示，求函數解析式．

解由圖知A=3，T=π.則W=2.

學生1由圖可知點π12，3在函數圖象上，根據最值法可求φ=π3，所以y=3sin2x+π3.

學生2因為點－π6，0在函數圖象上，所以－2π6+φ=2kπ，k∈Z，所以φ=π3+2kπ，k∈Z，又由φ<π2，得φ=π3.

學生3因為點π3，0在函數圖象上，所以π3×2+φ=2kπ，k∈Z，所以φ=－2π3+2kπ，k∈Z，又因為φ<π2，然后寫不下去了.

學生4因為點π3，0在函數圖象上，所以π3×2+φ=kπ，k∈Z，所以φ=－2π3+kπ，k∈Z，又因為φ<π2，得φ=π3.

學生1相對靈活，發現圖象中沒有最值點，但可根據相鄰兩個零點坐標.求出最大值點坐標代入求解.學生2、3都是利用零點法求解φ，所求答案卻不同.學生2代入的是圖象中的上升零點，從而求解出φ.學生3代入的是圖象中的下降零點，即是五點法中的第三個點，所以應該是2π3+φ=π+2kπ，k∈Z，所以φ=π3+2kπ，k∈Z，又因為φ<π2，所以φ=π3，所以y=3sin2x+π3.學生4雖然答案沒問題，但是過程并不精準.

在解題過程中要密切注意圖象中的零點是上升零點還是下降零點，代入零點求解初相φ時容易書寫錯誤導致失分.教學時為了避免上述錯誤往往讓學生代入最值點.

3利用平移變換法求初相φ

例3已知函數fx=sinωx+φω>0，

φ<π2的部分圖象如圖3所示，求f（x）的解析式.

解由圖象可知T=2π，則ω=1，所以f（x）=sin（x+φ），其圖象可由y=sinx的圖象向右平移π6個單位長度得到，所以f（x）=sinx－π6.

對于例2也可由平移變換法得到.

當圖象可明顯看出是由y=Asinωx平移得到，運用逆向思維的方法，先確定函數的基本解析式y＝Asinωx，再根據圖象平移規律“左加右減”求出φ．此方法對于解決小題目是非常好的方法，但當圖象平移不明顯，沒有圖象只是從性質出發求解析式時，此方法就很受局限性.如下例題.

4限定范圍及數形結合思想求初相φ

例4（2023年蘇州市高一期末試卷的19題第一問）已知函數f（x）=2sin（ωx+φ） （ω>0，0<φ<π2）的圖象過點π4，1，且相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2．求函數y=f（x）圖象的所有對稱軸方程.

解由題知f（x）的最小正周期為T=π，由ω>0，得ω=2．

由f（x）過點π4，1，得sinπ2+φ=22，

又因為π2<φ+π2<π，

所以φ+π2=3π4，即φ=π4，

所以f（x）=2sin2x+π4．

令2x+π4=kπ+π2（k∈Z），

得x=kπ2+π8（k∈Z），

從成績上看學生對sinπ2+φ=22的解決并不是很理想，優等生利用誘導公式將其轉化成了cosφ=22，根據φ的范圍得到φ=π4.基礎相對薄弱的學生往往卡在這，更別提第二問的書寫.若是先限定φ+π2的范圍畫出圖象找出在區間π2，π上正弦值等于22的值，求解即可.例1、例2、例3都可以用此法解決.

5結語

綜上所述，在求解函數y=Asinωx+φ解析式時教師可給出上述四種解法，在學生實踐出錯的過程中不斷優化其解法.由于第四種方法既可以避免學生因分不清上升零點和下降零點所帶來的困擾，又可解決非最值點帶來的慌亂，也可為后面解三角形中求解角的問題做鋪墊，因此對基礎較薄弱的學生或者文科生來說可以側重第四種方法的教學.

參考文獻：

[1]肖桂榮.高一學生數學解題中的幾類典型錯誤的教學反思[J].數學天地（高中版），2024（03）：18-19.

[2]沈江.求正弦型函數解析式的方法[J].新課程學習（中），2011（04）：152-153.