淺析數(shù)學(xué)建模在平面幾何最值問題中的研究

【摘要】平面幾何中的最值問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點之一.針對這類問題，本文將對幾種常考的題型進行歸類總結(jié)：（1）利用圓的方程建立三角函數(shù)模型；（2）利用余弦定理建立三角函數(shù)模型；（3）利用平行四邊形性質(zhì)建立函數(shù)模型.三角函數(shù)模型利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行求最值，一般的函數(shù)模型利用不等式、二次函數(shù)求最值.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；最值；解題技巧

新課標(biāo)指出，最值是高中數(shù)學(xué)中重點考查的性質(zhì)之一，要求學(xué)生能用符號語言表述平面幾何中的表達式從而求最值，并理解平面幾何最值在實際生產(chǎn)與生活中的作用與實際意義.與此同時，數(shù)學(xué)建模也是高中數(shù)學(xué)重點內(nèi)容之一，將平面幾何中的邊、周長、面積等表述成表達式的過程即是建模的過程，然而數(shù)學(xué)建模涉及平面向量、三角函數(shù)、正余弦定理、不等式、二次函數(shù)等內(nèi)容，是學(xué)生比較薄弱的板塊，因而數(shù)學(xué)建模在平面幾何中的最值問題難度無疑加大.因此，本文以平面幾何最值問題為研究載體，研究此類問題的通法通解.

1利用圓的方程建立三角函數(shù)模型

此類題目的特點為圓或圓的一部分扇形上有一個動點，且其余點都是固定的點，可利用圓的方程x2+y2=r2，設(shè)動點為（rcosθ，rsinθ），具體如下.

例1如圖1，點C是半徑為1的扇形圓弧AB上一點，OA·OB=0，OA=OB=1，若OC=xOA+yOB，則2x+y的最小值是.

詳解由題，以O(shè)為原點建立直角坐標(biāo)系，點C是半徑為1的扇形圓弧AB上一點，則滿足x2+y2=1，

可設(shè)C（cosθ，sinθ），θ∈0，π2，

又OC=xOA+yOB，

則（cosθ，sinθ）=x（1，0）+y（0，1）=（x，y），

則2x+y=sinθ+2cosθ=5sin（θ+φ），sinφ=25，cosφ=15，φ∈0，π2.

又因為θ∈0，π2，φ≤θ+φ≤π2+φ，sin（θ+φ）先增大后減小，

所以sin（θ+φ）的最小值為sinφ，sinπ2+φ的較小值，

sinπ2+φ=cosφ=15，即sin（θ+φ）的最小值為15，

所以2x+y=5sin（θ+φ）的最小值為1.

2利用余弦定理建立三角函數(shù)模型

此類題目背景為有多個未知的點，已知一邊和對角，求面積最值.可設(shè)兩邊，利用余弦定理，建立起關(guān)系式，進而建立模型利用基本不等式求最值.

例2如圖3，已知扇形OAB的半徑為2，∠AOB=π3，P是AB上的動點，M是線段OA上的一點，且∠OMP=2π3．求△OMP的面積最大值．

詳解設(shè)OM=x，PM=y，則在△OMP中，由余弦定理得

4=x2+y2+xy≥2xy+xy=3xy，

所以xy≤43，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=233時取等號，

所以S△OMP=12·OM·MP·sin∠OMP= 12·x·y·32=34xy≤33，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=233時取等號，即△OMP的面積最大值為33．

3利用平行四邊形性質(zhì)建立二次函數(shù)模型

此類題目在平行四邊形的背景下，可以利用其性質(zhì)以及構(gòu)建直角三角形進行建模，接著利用二次函數(shù)求最值.

例3如圖4，在扇形OAB中，半徑OA=4，∠AOB=90°，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是．

詳解設(shè)OC=x，則BC=4－x，

由BCDE，得DE=BC=4－x，

顯然0<x<4，

連接OE，由DE//BC，

∠AOB=∠ODE=90°，

OD2=OE2－DE2=8x－x2，

BE=CD=OD2+OC2=22x，

因此BCDE的周長l=2BC+2CD=8－2x+42x=－（2x－2）2+12，

顯然0<2x<22，

當(dāng)2x=2，即x=2時，lmax=12，

而x=0時，l=8，所以BCDE的周長的取值范圍是（8，12］.

4結(jié)語

針對平面幾何最值問題，如式子的范圍、周長、面積的最值等典型最值問題，本文提出了基于圓的方程、余弦定理、平行四邊形性質(zhì)等建立模型，將問題式子化，接著針對不同的情況，利用三角函數(shù)單調(diào)性、基本不等式或二次函數(shù)求最值.從上述例題的分析中不難得知，這幾種類型的題目解題策略都要靈活運用恒等變換公式、輔助角公式以及一些常見關(guān)系等式.熟悉并掌握這些不同題型的解題策略，是學(xué)生提升解題正確率的重要前提，也是拓展學(xué)生解題思路的重要內(nèi)容，應(yīng)得到一定程度的關(guān)注與重視.

參考文獻：

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