仿射變換在橢圓試題中的應用

【摘要】橢圓經過仿射變換可變成圓.根據仿射變換中的性質，可以將橢圓問題轉化為圓的問題來處理.本文先介紹仿射變換的性質，然后結合例題給出仿射變換在橢圓試題中的應用，旨在為讀者提供解決橢圓試題的新思路.

【關鍵詞】仿射變換；橢圓；圓；解題

圓具有很強的對稱性，圓的問題也相對容易處理.經過仿射變換可將橢圓變為圓，這樣就可以把橢圓問題轉化為圓的問題來處理.把圓的問題解決了之后，再根據仿射變換的性質，橢圓問題即可得到解決.利用仿射變換處理橢圓問題，簡化了運算、降低了難度.

1仿射變換的性質

仿射變換有如下性質：

（1）同素性：在經過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；

（2）結合性：在經過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；

（3）其他不變關系．

我們以橢圓為例闡述上述性質．

橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0，經過仿射變換x′=xy′=aby后，橢圓變為了圓x′2+y′2=a2，并且變換過程有如下對應關系：

（1）點P（x0，y0）變為P′x0，aby0；

（2）直線斜率k變為k′=abk，對應直線的斜率比不變；

（3）圖形面積S變為S′=abS，對應圖形面積比不變；

（4）點、線、面位置不變（平形直線還是平形直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等）；

（5）弦長關系滿足A′B′AB=1+k′21+k2，因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比不變.

總結可得表1.

2仿射變換的應用

例1曲線C經過變換x′=2xy′=13y后變為橢圓x′24+y′2=1，求曲線C的方程.

解析因為x′=2xy′=13y，

所以將其代入方程x′24+y2=1，

得2x24+13y2=1，

即x2+y29=1.

故曲線C的方程為x2+y29=1.

例2求橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的面積.

解析橢圓C按x′=x，y′=aby作仿射變換，

得到圓C′：x′2+y′2=a2.

設橢圓C的面積為S，因為圓C′的面積S′=πa2，

所以S′S=abS=πab.

例3過橢圓x24+y2=1內一點P1，12作一直線與橢圓相交于A、B兩點，則△AOB的面積的最大值為．

解析橢圓x24+y2=1經過仿射變換x′=xy′=2y后變換為x′2+y′2=4，P1，12變換為P′1，1，如圖1所示，

所以S′△A′O′B′=12×2r2－d2·d=4－d2·d≤4－d2+d22=2.

而S′△A′O′B′=2S△AOB，

所以S△AOB≤1，即△AOB的最大面積為1．

3結語

在仿射變換中保持不變的量，稱為仿射不變量.掌握橢圓的仿射變換、熟悉橢圓的仿射不變量，是利用仿射變換解決橢圓問題的關鍵.一般地，如果橢圓中涉及面積的最值或者點、線之間的關系，則可考慮利用仿射變換，將橢圓問題變為圓的問題來處理.在處理好圓的問題后，再根據仿射不變量的性質，返回到橢圓中，這樣橢圓的問題即可順利解決.

參考文獻：

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