含有解析遞推式的抽象函數模型探究

【摘要】抽象函數問題可以充分考查學生的抽象思維能力、閱讀推理能力，是實現試卷區分度的經典題型，題目形式廣泛，難度層次分明.本文重點介紹含有解析遞推式的基本題型.

【關鍵詞】抽象函數；解析遞推式；高中數學

抽象函數是一類特殊的函數，抽象函數問題往往沒有給出具體的函數表達式，只是給出了一些函數的特性，對函數的特點和性質進行了部分描述.而抽象函數的形式也是多種多樣的，其中有一類比較常見，就是題中給出了關于函數的特定解析遞推式，由此可獲知函數關系的運算規則，據此可類比出滿足性質的初等函數，從而可以找到滿足其條件的特殊函數模型.在解決相關問題時，可以根據這個函數模型所具有的性質，探求問題中抽象函數的對應性質，這樣就可以洞察問題的實質，迅速找到解決問題的突破口.下面對幾個典型形式進行探究，并分析配套例題的解法，只為研究解題策略，探索具體解題方法.

1一次函數模型：f（a+b）=f（a）+f（b）+c

例1已知函數f（x）的定義域為R，且滿足f（a+b）=f（a）+f（b）.又知當x>0時，f（x）<0，若f（－1）=3，求f（x）在區間［－2，2］上的值域.

分析由于函數f（x）滿足f（a+b）=f（a）+f（b），與一次函數f（x）=kx+b（k≠0）變換規律相同，根據一次函數的性質，此類函數是單調函數，故應探究函數f（x）的單調性.設－2≤a<b≤2，則b－a>0，根據題意得f（b－a）<0，由于f（b）－f（a）=f［（b－a）+a］－f（a）=f（b－a）+f（a）－f（a）=f（b－a）<0，即有f（b）<f（a），所以f（x）是－2，2上的單調遞減函數.令a=b=0，則有f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），即f（0）=0；再令b=－a，則f（0）=f（a）+f（－a），即f（－a）=－f（a），故f（x）是－2，2上的奇函數，所以函數 f（x）的最大值為f（－2）=f［（－1）+（－1）］=2f（－1）=6；由奇函數性質知，f（x）的最小值為f（2）=－f（－2）=－2f（－1）=－6.

點評對給出的條件式進行類比分析，判斷出此抽象函數與哪個初等函數相似，就知道此抽象函數的基本性質，從而就能找到求抽象函數的最大值和最小值的方法.

2指數函數模型：f（a+b）=f（a）·f（b）

例2已知函數f（x）的定義域是R，對任意實數a，b均有f（a+b）=f（a）·f（b），且當a>0時，0<f（a）<1，判斷函數f（x）在R上的單調性，并解不等式f（x+2）<f（x2+2x）.

分析因為函數f（x）滿足f（a+b）=f（a）·f（b），這與指數函數f（x）=mx的運算規律相似，由于指數函數是單調函數，故必須探究這個抽象函數的單調性.設a<b，則b－a>0，根據題意知0<f（b－a）<1，又對任意a∈R，都有f（a）=fa2+a2=fa2·fa2=f2a2>0，所以f（b）－f（a）=f［（b－a）+a］－f（a）=f（b－a）·f（a）－f（a）=f（a）［f（b－a）－1］<0，則f（a）－f（b）>0，所以f（x）在R上是單調減函數.故由f（x+2）<f（x2+2x），可得：x2+x－2<0，解此不等式可得－2<x<1 .

點評根據題設中給出的解析遞推式，再研究此類函數的特征可知與指數函數相似，故而明確了解題方向，即先證明函數的單調性，再解不等式，其中判斷函數值為正數非常重要且提示明顯.

3對數函數模型：f（ab）=f（a）+f（b）（a>0，b>0）

例3已知定義在（0，+∞）的函數f（x），對任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，若當x>1時，f（x）>0，且f（2）=1，求當x∈12，8時，函數f（x）的值域.

分析（1）=1*GB2由于函數f（x）對任意m，n∈（0，+∞）滿足f（mn）=f（m）+f（n），這與對數函數的運算規則相似，又對數函數具有單調性，所以欲求函數值域，必須先判斷函數的單調性.設0<m<n，則nm>1，依題意有fnm>0，所以f（n）－f（m）=fnm·m－f（m）=fnm+f（m）－f（m）=fnm>0，即有f（m）<f（n），所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增.根據定義f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0，又f（1）=f2×12=f（2）+f12，且f（2）=1，所以f12=－1；又f（4）=f（2×2）=f（2）+ f（2）=2，則f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=3.所以當x∈12，8時，函數f（x）的值域為［－1，3］.

點評用定義法證明推理是判斷抽象函數單調性的首選方法，這樣能夠順利解決函數的值域問題，而根據所給的關系式用特殊值進行代換轉化是解決相關函數值的一種有效措施.

4冪函數模型：f（a·b）=f（a）·f（b）

例4已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），且f（x）>0，對于a，b∈（0，+∞），恒有f（a·b）=f（a）·f（b），如果當x>1時，f（x）>1，并且f（2）=2，求不等式f（x2－3x）>2的解集.

分析由于函數f（x）滿足f（a·b）=f（a）·f（b），經特殊值驗算，與冪函數的運算規則相似，由于冪函數的指數的不同，其函數的單調性也不同，故要解此抽象函數的不等式，必須判斷出此函數的單調性.下面用函數單調性的定義證明.設0<a<b，則ba>1，由題設得fba>1，由于f（a）－f（b）=f（a）－f（ba·a=f（a）－fba·f（a）=f（a）1－fba，由于f（a）>0，1－fba<0，所以f（a）<f（b），即f（x）在（0，+∞）上單調遞增.因為f（4）=f（2×2）=f2·f2=2，故不等式f（x2－3x）>2=f（4），所以x2－3x>4x2－3x>0，因此該不等式的解集為{x|x>4}.

點評對于抽象函數不等式f（a）>f（b），需要“脫去”函數符號“f”才能解決，所以判斷出抽象函數的單調性是勢在必行的，在用定義證明單調性時，對已給條件式進行適當配湊是必須的.

5結語

在一些含有解析遞推式的抽象函數問題中，尋找對應的常規函數模型是一個重要的解題技巧，在猜測到函數的基本性質后，根據題目需要，對此函數的相關性質進行有針對性的推導證明.需要注意的是，不能直接引用模型函數的圖象和性質解題.