利用導(dǎo)數(shù)作函數(shù)圖象的方法與策略

【摘要】高考改革的最終目的是打破墨守成規(guī)，形成反套路和反刷題.在之前的高考函數(shù)題目中考查數(shù)形結(jié)合時(shí)，所涉及的函數(shù)會(huì)是一些常規(guī)函數(shù)，函數(shù)圖象形狀固定，可以直接畫出草圖，但新高考背景下，所涉及的函數(shù)不一定是常規(guī)函數(shù).本文就對(duì)不是常規(guī)函數(shù)的情況下，因解題需要，如何作出函數(shù)的草圖進(jìn)行探究，并提出方法與處理策略.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；解題策略

高中數(shù)學(xué)解題過程中，遇到函數(shù)零點(diǎn)、方程根和函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題時(shí)，解答或者分析的最好方法是數(shù)形結(jié)合.在以往的這類題型中，所涉及的函數(shù)都是常規(guī)函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，這些函數(shù)圖象形狀都是固定的，可以直接畫出草圖，但是在新高考背景下，所遇到的函數(shù)可能不是常規(guī)函數(shù)，針對(duì)這個(gè)問題，本文從非常規(guī)函數(shù)作圖技巧和確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)方面展開探究，以供參考.

1非常規(guī)函數(shù)作圖技巧

根據(jù)常規(guī)函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特征分析不難發(fā)現(xiàn)：要畫一個(gè)函數(shù)圖象的草圖，只要確定其單調(diào)性和極值點(diǎn)以及極值即可.所以要想確定一個(gè)非常規(guī)函數(shù)圖象形狀，得先確定函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)以及極值，再結(jié)合符號(hào)情況即可作出函數(shù)的大致圖象.

例1作出函數(shù)fx=xexx≤0lnx－1x>0的大致圖象.

解析當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)fx=xex.求導(dǎo)得f′x=ex+xex=exx+1.令f ′x>0，即exx+1>0，解得x>－1.所以此時(shí)函數(shù)fx在區(qū)間－1，0上單調(diào)遞增，在區(qū)間－∞，－1上單調(diào)遞減.所以函數(shù)fx此時(shí)有一個(gè)極小值點(diǎn)-1，一個(gè)極小值－1e，無(wú)極大值點(diǎn)和極大值.又因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí)，fx=xex≤0，且f0=0，故此時(shí)函數(shù)fx的大致圖象如圖1所示.

當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)fx=lnx－1.其圖象由函數(shù)fx=lnx的圖象先將在x軸下方圖象沿x軸翻折上去，再整體向下平移一個(gè)單位即可.

綜上所述，函數(shù)fx=xexx≤0lnx－1x>0的大致圖象如圖2所示.

評(píng)注該題是為了體現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)作圖思想而設(shè)計(jì)，在考試中，目前還未直接出現(xiàn)這類題型.作圖時(shí)根據(jù)分段函數(shù)特征，進(jìn)行分段處理.當(dāng)x>0時(shí)，可以由對(duì)數(shù)函數(shù)fx=lnx的圖象進(jìn)行變換得到. 當(dāng)x≤0時(shí)，則通過求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性找極值點(diǎn)和極值，然后分析符號(hào)變化以及特殊位置，即可確定函數(shù)圖象形狀.

2確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、方程根的個(gè)數(shù)問題和兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合是最好的解答或分析的方法之一.在前文已經(jīng)探究了非常規(guī)函數(shù)圖象形狀的情況，接下來具體談?wù)劺眠@種思路解答求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

例2已知函數(shù)fx=lnx+14x2－2x，若方程fx=－12x+b在1，4上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解析因?yàn)楹瘮?shù)fx=lnx+14x2－2x，所以lnx+14x2－2x=－12x+b，變形得lnx+14x2－32x=b.設(shè)函數(shù)mx=lnx+14x2－32x，nx=b.由已知，函數(shù)mx=lnx+14x2－32x的定義域?yàn)?，+∞.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得m ′x=1x+x2－32=x2－3x+22x.令m ′x>0，即x2－3x+2>0，解得x<1或x>2.因?yàn)閤∈1，4，所以函數(shù)mx在區(qū)間1，2上單調(diào)遞減，在區(qū)間2，4上單調(diào)遞增.故函數(shù)mx在1，4上有一個(gè)極大值m2=ln2+1－3=ln2－2.又因?yàn)閙1=－54，m4=2ln2+4－6=2ln2－2，所以函數(shù)mx的大致圖象如圖3所示.因?yàn)楹瘮?shù)nx=b的圖象是平行x軸的直線，所以方程fx=－12x+b在1，4上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍為［ln2-2，2ln2-2］.

評(píng)注該題是方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的情況下，求參數(shù)的取值范圍，而涉及的函數(shù)mx=lnx+14x2－32x是非常規(guī)函數(shù)，方法則選擇了數(shù)形結(jié)合.解題思路為：一是分離參變量，一般情況下，是把自變量x放到方程一邊，參數(shù)放到方程的另一邊；二是設(shè)新的函數(shù)，一般是含自變量一邊為一個(gè)函數(shù)，含參數(shù)一邊為另外一個(gè)函數(shù)；三是對(duì)含自變量x的函數(shù)求導(dǎo)；四是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以確定單調(diào)性；五是根據(jù)單調(diào)性確定極值，并求出區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，則可得到函數(shù)大致圖象；六是畫出含參數(shù)函數(shù)圖象，尋找滿足已知條件的取值范圍即可.

3結(jié)語(yǔ)

本文探究了如何作非常規(guī)函數(shù)的大致圖象.通過探究常規(guī)函數(shù)，如三角函數(shù)的圖象形狀是固定的，需要時(shí)直接畫即可，但是非常規(guī)函數(shù)，如fx=xlnx的圖象則需要通過求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)來確定其單調(diào)性，進(jìn)而得到極值，再結(jié)合符號(hào)及特殊位置如原點(diǎn)，就可以確定函數(shù)圖象的形狀.這一探究不光為解題提供了非常大的便利，同時(shí)為數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)情境問題的應(yīng)用又拓寬了范圍.也就是說，凡是可以通過求導(dǎo)判定單調(diào)性的函數(shù)，在涉及零點(diǎn)問題時(shí)，都可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決.值得注意的是，數(shù)形結(jié)合思想用來解決數(shù)學(xué)客觀題時(shí)，可以放心大膽地使用，但是解答題就要謹(jǐn)慎應(yīng)用了，因?yàn)榻獯痤}重在過程，則不能太過于依賴圖象來說明問題，要有必要的文字和數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言.

參考文獻(xiàn)：

[1]朱印明.例說數(shù)形結(jié)合[J].考試周刊，2012（70）：60-61.

[2]葉穎.淺談函數(shù)圖象的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2017，31（31）：73-75.

[3]畢暢淵.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用[J].中國(guó)科技投資，2018（2）：376.

[4]劉義才.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用[J].考試周刊，2012（28）：66-67.

[5]王慧.巧用導(dǎo)數(shù)求解含參函數(shù)零點(diǎn)問題[J].數(shù)理化解題研究，2024（10）：68-70.