概率與統計問題中常見的模型及解題方法

【摘要】概率和統計是高考數學中的常考點，這一領域的分析技巧與計數緊密相關.隨機變量的分布列依賴于隨機變量的可能值及其對應的概率.將隨機變量的取值視為隨機事件，是使用計數方法計算概率的基礎.概率統計問題的難點主要在于兩個方面：一是正確識別和分析概率模型，即確定隨機變量遵循的特定概率規律；二是在構建分布列時，將隨機變量的取值轉換為隨機事件的概率，這一步驟往往涉及復雜的計數技巧.

【關鍵詞】高中數學；概率；解題方法

1超幾何分布類

超幾何分布的適用情形一般為當試驗次數固定，每次試驗只有兩種可能結果（成功或失敗），且每次試驗的成功概率不變.具體解題步驟為：確定超幾何分布的三個關鍵參數：總體大小（N）、總體中“成功”的項目數（M）、樣本大小（n）；使用組合數公式計算從“成功”項目中抽取k個的組合數和從“失敗”項目中抽取n－k個的組合數；應用超幾何分布的公式P（X=k）=CkMCn－kN－MCnN計算恰好抽取k個“成功”項目的概率；最后，如果需要計算至少抽取k個“成功”項目的概率，可以計算其補事件的概率，即至少抽取k個“成功”項目的概率等于1減去至多抽取k－1個“成功”項目的概率.需要注意的是超幾何分布的概率之和等于1，其次確保N，M，n都是正整數，且M和n的值小于N.

例1為了緩解電價壓力，確保電力穩定供應，推動綠色能源發展，并促進能源節約，某省份引入了階梯電價政策.該政策將年度用電量分為三個階段，以適應不同用戶的用電需求和能力.具體來說，年用電量在2160度及以下的家庭將享受第一檔電價，即每度0.5653元；年用電量在2161度至4200度的家庭，超出2160度的部分將按第二檔電價，即每度0.6153元計費；而年用電量超過4200度的家庭，超出的部分則按第三檔電價，即每度0.8653元計費.

在某一城市，電力公司從當地用戶中隨機選擇了10戶，并記錄了他們同一年度的用電數據.

（1）計算表中編號為10的用戶該年應交的電費；

（2）現在需要從這10戶家庭中隨機選擇4戶，對其用電狀況進行深入分析.求取在這4戶家庭中達到第二階梯用電量的戶數的分布求取列.

分析（1）按照階梯電價的規定，分段計算用戶編號10一年的用電費用，計算結果即為所求答案；（2）統計達到第二階梯用電量的用戶數量，設達到第二階梯用電量的用戶數為X，確定X的可能值，應用超幾何分布的概率計算方法，可以計算出每個可能值的概率，進而構建出X的分布列.

解（1）因為第二檔的電價比第一檔的電價每度多0.05元，

第三檔的電價比第一檔的電價每度多0.3元，

編號為10的用戶一年的用電量是4600度，

所以該戶該年應交電費為

4600×0.5653+（4200－2160）×0.05+（4600－4200）×0.3=2822.38（元）．

（2）設取到第二階梯的戶數為X，

易知第二階梯共有4戶，故X的所有可能取值為0，1，2，3，4.

PX=0=C04C46C410=114，

PX=1=C14C36C410=821，

Px=2=C24C26C410=37，

PX=3=C34C16C410=435，

PX=4=C44C06C410=1210，

故X的分布列為：

2二項分布類

二項分布模型反映了在特定次數的連續獨立試驗中，每次試驗只有兩種可能的結果：成功或失敗，并且每次試驗的成功概率保持恒定.具體解題步驟為：確定二項分布的三個關鍵參數，試驗次數n、每次試驗的成功概率p和規定的成功次數k；應用二項分布的公式PX=k=Cknpkqn－k來計算恰好成功k次的概率；如果需要計算至少成功k次或至多成功k次的概率，可以計算其補事件的概率，即至少成功k次或至多成功k次的概率等于1減去至多成功k-1次或至少成功k+1次的概率.但需要注意的是當n很大而p相對較小時，二項分布近似于正態分布，可以考慮使用正態分布公式進行估算.

例2一位短視頻博主專注于展示鄉村生活，包括趕集、進城、捕魚和養雞等內容，這些充滿活力的農村生活場景吸引了大量觀眾.該博主通過直播銷售家鄉的農產品，進行了五次試銷，并記錄了銷量y（單位：百萬盒）和單價x（單位：元/盒）的數據.

問：從眾多顧客中隨機選取一定數量（數量較大）的客戶參與滿意度調查，其中一半的顧客表示“非常滿意”，“滿意”和“不滿意”的顧客各占四分之一.之后，從所有顧客中再次隨機抽取8位顧客作為幸運者，贈送禮品.這里，我們關注的是在這8位幸運顧客中，“非常滿意”體驗的顧客人數，將其定義為一個隨機變量η，求η的分布列和均值.

分析根據二項分布的定義可得到η～B8，12，我們可以使用二項分布的概率公式來計算每個可能結果的概率，從而構建出完整的分布列；由二項分布數學期望公式可求得均值.

解由題意知，從所有顧客中隨機抽取1人，則抽取的1人的問卷結果為“非常滿意”的概率為12，所以η～B8，12.

則η所有可能的取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，

所以Pη=0=128=1256；

Pη=1=C18×12×127=8256=132；

Pη=2=C28×122×126=28256=764；

Pη=3=C38×123×125=56256=732；

Pη=4=C48×124×124=70256=35128；

Pη=5=C58×125×123=56256=732；

Pη=6=C68×126×122=28256=764；

Pη=7=C78×127×12=8256=132；

Pη=8=128=1256.

所以η的分布列為：

所以均值Eη=8×12=4.

3結語

掌握概率與統計問題中的各種題型，對于提升解題能力、深化對概率統計的理解具有重要意義.學生在學習過程中，應不斷練習，熟練掌握每種分布模型的運用，并培養良好的數學思維習慣.打牢概率統計基礎，對于高中學生的數學學習和科學研究都具有深遠的影響.