函數(shù)零點知識在數(shù)學解題中的應用

【摘要】在高中數(shù)學中，函數(shù)和方程之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，其中最重要的一種聯(lián)系就是函數(shù)的零點.利用函數(shù)零點的定義，可以實現(xiàn)方程和函數(shù)之間的相互轉化，進而將函數(shù)的零點問題轉變?yōu)榍蠼夥匠痰母膯栴}，且求解方程的根的問題又轉變?yōu)榍蠼鈱瘮?shù)的零點問題.函數(shù)的零點問題在解答高中數(shù)學題中有很重要的作用，本文運用函數(shù)的零點知識分析和解決高中數(shù)學中常見的三類題型，希望能夠幫助學生拓展新思路.

【關鍵詞】函數(shù)零點；高中數(shù)學；解題方法

1判斷方程存在實根

運用函數(shù)零點的知識判斷方程是否存在實根，指的是當對應題目中的方程f（x）=0時，很難直接求出此方程的實根時，就可以通過分析此方程對應的連續(xù)函數(shù)y=f（x）的圖象與橫坐標軸是否存在交點，在圖象上找出兩個點，當這兩個點滿足一個點在橫坐標上方，另一個點在橫坐標下方即可判斷方程在已知范圍內存在實根.

例1已知方程x3－x2+1=0，那么在定義域－1，0內方程是否存在實根？并嘗試說明理由.

解令f（x）=8c6bf7b1074fa99dd4e22a918bb60b36x3－x2+1，且函數(shù)f（x）是一條連續(xù)的曲線，

當x=－1時，f（－1）=（－1）3－（－1）2+1=－1<0；

當x=0時，f（0）=03－02+1=1>0，

因此，f（－1）·f（0）<0成立，

即等價于在定義域－1，0內，函數(shù)f（x）存在零點，

綜上，方程x3－x2+1=0在區(qū)間－1，0內有實根.

2研究方程根的個數(shù)

運用函數(shù)零點的知識判斷方程根的個數(shù)，指的是先將對應題目中的方程問題轉變?yōu)楹瘮?shù)問題，再利用函數(shù)的零點知識，即在已知區(qū)間內，函數(shù)y=f（x）存在f（a）·f（b）<0時，函數(shù)在區(qū)間內只有一個零點，然后利用函數(shù)的單調性即可判斷出方程根的個數(shù).

例2如果在區(qū)間－1，1內，函數(shù)f（x）=x3+bx+c單調遞增，已知f－12·f12<0，那么，當f（x）=0在區(qū)間－1，1中（）

（A）可能含有三個實數(shù)根.

（B）可能存在兩個實數(shù)根.

（C）存在唯一的實數(shù)根.

（D）沒有實數(shù)根.

解因為f－12·f12<0，

根據(jù)零點存在性定理可知，函數(shù)f（x）=0在區(qū)間－12，12中存在實根，

且因為f（x）在區(qū)間－1，1內單調遞增，

所以f－12<0，f12>0，

綜上，方程f（x）=0在區(qū)間－1，1中只有一個實數(shù)根.

3求參數(shù)的取值范圍

運用函數(shù)零點的知識求解參數(shù)的取值范圍，指的是當對應題目中含有參數(shù)時，可以通過利用零點存在性定理和對應的函數(shù)圖象即可求解出參數(shù)的取值范圍.

例3當函數(shù)f（x）=2x2－x+a存在兩個零點時，已知一個零點在區(qū)間－2，0內，另一個零點在區(qū)間1，3內，試求出a的取值范圍.

解由題意可得，函數(shù)f（x）=2x2－x+a，其圖象如圖1所示.

由題目條件和圖1可知，

fx=f－2>0f（0）<0f（1）<0f（3）>0，

可得－10<a<－1，

綜上，參數(shù)a的取值范圍為－10，－1.

變式已知函數(shù)fx=－x－a+a，gx=x2－4x+3，若方程fx－gx=0恰好有2個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍為.

解由題意可得函數(shù)y=gx的圖象，

因為函數(shù)fx=－x－a+a，

所以fx=x，x＜a－x+2a，x≥a，

當直線y=－x+2a與y=－x2+4x－3 x∈1，3相切時，

由y=－x+2ay=－x2+4x－3，

可得x2－5x+3+2a=0，

Δ=25－42a+3=0，

解得a=138，

由圖可知，①當a＜12時，函數(shù)fx與gx的圖象無交點，不滿足題意；

②當a=12時，函數(shù)fx與gx的圖象交于1，0，不滿足題意；

③當12＜a＜138時，函數(shù)fx=－x+2a經過函數(shù)gx圖象上的點2，1時，恰好經過函數(shù)gx圖象上的點3，0，則要使方程fx=gx存在兩個不同實根，有2a＜3，即a＜32，故12＜a＜32.

④當a=138時，函數(shù)fx與gx的圖象有3個交點，不滿足題意；

⑤當a＞138時，函數(shù)fx與gx的圖象有2個交點，滿足題意；

綜上，滿足題意的實數(shù)a的取值范圍是12，32∪138，+∞.

4結語

運用函數(shù)的零點知識除了可以解答上述三種類型的問題，還可以解決不等式問題和判斷函數(shù)的圖象的交點個數(shù)的問題，它們的核心都為函數(shù)的零點存在性定理，將函數(shù)與方程相結合，進而實現(xiàn)求解的目的.

參考文獻：

[1]白雪.求解函數(shù)零點相關問題的常見解題思路[J]．高中數(shù)理化，2021（22）：9-10.

[2]唐凝.解讀知識核心，探討破題策略——以函數(shù)零點問題為例[J]．數(shù)學教學通訊，2021（21）：86-88.