用均值不等式求函數最值的幾種方法探究

【摘要】均值不等式也稱為基本不等式，從高中數學知識體系來說，它不是一個不等式，而是由一個均值不等式及其變形不等式和幾個重要不等式構成，其主要作用是用于求最值和證明不等式.本文就均值不等式求函數最值方面展開討論，具體根據函數形狀從配湊法、分離法、換元法和平方法四個方面進行例談.

【關鍵詞】均值不等式；函數最值；高中數學

均值不等式是高中數學的一個重要知識點，直接考查一般會以選擇題和填空題出現，而作為解題工具，也會時常出現在圓錐曲線、數列和函數等大題中.下面就利用均值不等式求函數最值的幾種方法展開例談.

1配湊法

這種方法主要針對的題型是求形如函數fx=axm－axa≠0，m>0和fx=gx+bgx+mb>0的最值問題.

例1當0<x<4，求函數fx=x8－2x的最大值.

解fx=x8－2x=122x8－2x≤122x+8－2x22=8，

當且僅當2x=8－2x時，等號成立.

所以當x=2時，函數fx=x8－2x取得最大值為8.

例2已知x>log45，求函數fx=4x－2+1214x－5的最小值.

解因為x>log45，

所以4x－5>0，

則fx=4x－2+1214x－5=4x－5+1214x－5+3.

因為4x－5+1214x－5≥24x－51214x－5=22，

當且僅當4x－5=1214x－5時，等號成立，

所以fx=4x－2+1214x－5=4x－5+1214x－5+3≥22+3=25.

所以當x=2時，

函數fx=4x－2+1214x－5取得最小值為25.

評注以上兩題均體現了配湊法，例題1是求積的最大值，主要依據是ab≤a+b24a，b∈R，則配方就要朝著這種形式進行；例題2是求和的最小值，主要依據是ba+ab≥2ab>0，則朝著這種形式配湊即可.

2分離法

這種方法主要是針對形如y=gxfx（其中gx是二次函數，fx是一次函數）的函數求最值.

例3已知x>1，求函數fx=x2+3x－1的最小值.

解因為x>1，

所以x－1>0，

則fx=x2+3x－1=x2－2x+1+2x－2+4x－1=x－1+4x－1+2.

因為x－1>0，

所以x－1+4x－1≥2x－14x－1=4，

當且僅當x－1=4x－1時，等號成立，

所以fx=x2+7x－1≥4+2=6，

所以當x=3時，函數fx=x2+3x－1取得最小值為6.

評注這種題型主要是應用不等式ba+ab≥2ab>0進行解答，所以在對函數進行拆分時，根據完全平方式配方，使其變形為ba+ab的形式即可.

3換元法

這種方法針對的題型比較靈活多變，但是必須要明確的是換元的目的是應用均值不等式，所以換元后應該能使式子變得簡單，而不是換元后反而變復雜了.

例4求函數fx=x+22x+12的最大值.

解設x+2=t，

則t≥0，變形得x=t2－2，

代入fx=x+22x+12，

得ft=t2t2+8.

當t=0時，fx=0；

當t>0時，ft=t2t2+8=12t+8t，

此時2t+8t≥22t·8t=8，

當且僅當2t=8t時，等號成立，

所以ft≤18.

所以當x=2時，函數fx=x+22x+12取得最大值為18.

評注題目特征是分子帶有根號，去根號的一般思想是換元或者平方，本題選擇了換元，然后進行分離處理.當然該題也可以通過平方的方式去根號，之后把函數倒過來求最小值，則和分離法題型一樣了.

4平方法

平方法一般針對的是函數中帶有根號，或者是形如fx=a－bx+cx+d的函數求最大值.

例5已知0<x<log27，求函數fx=2x－1+7－2x的最大值.

解因為0<x<log27，

所以22－1>0，7－2x>0.

因為fx=2x－1+7－2x，

所以f2x=6+22x－1·7－2x.

因為22x－1·7－2x≤

2x-1+T-2x=6，

當且僅當2x－1=7－2x時，等號成立，

所以f2x=6+22x－1·T－2x≤6+6=12，

則fx≤23.

所以當x=2時，函數fx=2x－1+7－2x取得最大值為23.

評注題目含有兩個根號，并且2x－1與7－2x的和為定值6，一方面通過平方去根號；另一方面是求最大值，根據均值不等式的應用情境，和為定求積的最大值，則只有平方才能達成.

5結語

求函數的最值，很多人會習慣性的通過求導進行，但是有的函數通過求導就顯得很復雜，如函數fx=x+22x+12和fx=2x－1+7－2x，這時可考慮利用均值不等式進行處理.而采用均值不等式時，不管是選擇什么方法，其關鍵是要達到與所用不等式的形式高度統一，這樣才能應用求解，這是應用均值不等式的核心所在.

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