函數“隱零點”問題的探究

【摘要】利用導函數研究函數性質一直是高中數學學習的重中之重，且在考查中多以壓軸題形式出現，所以對于這一類問題的解決大家總結了各種各樣的方法.本文探究函數“隱零點”問題的解題思路.

【關鍵詞】函數；“隱零點”；高中數學

1何為“隱零點”

關于導數的零點我們不妨分為“顯零點”和“隱零點”兩類.能夠計算出精確數值的零點，我們稱為“顯零點”.

例1求解函數y=x－lnx的極值點.

分析通過求導得到導函數y=1－1x=x－1x，顯然，導函數的函數值在（0，1）小于零，在（1，+∞）大于零，于是得到導函數的零點，即x=1是函數y=x－lnx的極小值點.

很顯然，在這個例題中導函數的零點我們能算出一個確定的數值，這樣的零點我們不妨把它叫做“顯零點”.而另一類零點，基于高中知識無法得到精確的數值，我們把它稱為“隱零點”.

例2證明：ex－lnx>2.

分析要證明ex－lnx>2成立，本質就是證明函數y=ex－lnx的最小值大于2，于是問題就轉化為求這個函數的最小值.首先，通過求導得到導函數y′=ex－1x，解到這一步我們發現這是一個超越函數，用我們高中所學的知識無法得到方程ex－1x=0的解，但這個時候我們通過分析y=ex和y=1x的函數圖象（見圖1）可知它們在（0，1）一定存在一個唯一的交點，即導函數y′=ex－1x在（0，1）一定存在唯一的零點，只是無法算出精確的數值，我們把這個零點記為x0，那么這個x0即是導函數y′=ex－1x的“隱零點”，通常這樣的“隱零點”我們都是設而不求的.

2如何處理“隱零點”問題

接下來將通過例題分析“隱零點”問題的解題思路與過程.

例3已知函數fx=lnx+ax－x+1－a，a∈R，若存在x>1，使得fx+x<1－xx，求整數a的最小值.

分析第1步：參變分離，將函數fx=lnx+ax－x+1－a代入fx+x<1－xx，得x－1a>xlnx+2x－1，由于x>1，所以轉化為a>xlnx+2x－1x－1.

第2步：構造函數，令gx=xlnx+2x－1x－1，即將問題轉化為a>gxmin.

第3步：利用導函數求最值，g′x=x－lnx－2x－12 ，發現求導之后的函數無法一眼看出單調性，且含有lnx，所以這里我們需要進行二次求導，并且g′x的函數值的正負只與分子有關，所以令hx=x－lnx－2，對其求導得到h′x=x－1x，易得hx在（1，+∞）上單調遞增.

第4步：借助零點存在定理，找函數hx=x－lnx－2的根并看區間，h3=3－ln3－2=1－ln3>0，h4=4－ln4－2=2－2ln2<0，根據零點存在性定理，可知hx在（1，+∞）上存在唯一的零點x0，且x0∈（3，4）.

第5步：得到函數gx=xlnx+2x－1x－1的單調性，當x∈1，x0時，gx′<0，gx 單調遞減，當x∈x0，+∞時，gx′>0，gx單調增.

第6步：求gx的最小值，gxmin=gx0=x0lnx0+2x0－1x0－1.

第7步：整體代換，化繁為簡，我們將x0代入式子后發現除了將式子中的x變成x0其他毫無變化，依舊無法求gxmin，此時我們只需利用hx0=x0－lnx0－2=0，即可得到lnx0=x0－2，接下來就可以將gx0=x0lnx0+2x0－1x0－1中的lnx0替換成x0－2，即gxmin=gx0=x0lnx0+2x0－1x0－1=x0+1，x0∈（3，4）.

第8步：得出結論，可得a>x0+1 ，又因為x0∈（3，4），且a∈Z，所以，整數a的最小值為5.

“隱零點”對許多學生來說是非常的抽象，那是因為沒有看清問題的本質，問題的本質就是求函數的最值.通過上述例題的分析，我們明白“隱零點”不是什么神秘的東西，它只是我們在解決函數問題時的一種設而不求的解題手段.

3“隱零點”問題的一般解題策略

有關“隱零點”問題的解題過程大致可以概括為一個目的三個環節.

目的表達f（x）的最值.

環節1求導函數f′（x），判斷f′（x）的單調性，若不能判斷單調性還需二次求導.

環節2虛設導函數f′（x）零點x0，根據零點存在性定理卡范圍：x0∈（a，b），由f′（x0）=0，可將ex，lnx，xex 等替換為更簡單的同一階式.

環節3將簡化結果代入fx0中，問題轉化為求一個簡單式子fx0在已知區間x0∈（a，b）上的最值的問題.

值得注意的是，在處理“隱零點”問題時有幾個關鍵的地方.一個是判斷“隱零點”的范圍，我們在解題時希望這個范圍可以盡可能的精確，常用的估計方法有圖像法、二分法、函數放縮法等.另一個關鍵的地方是通過整體代換，將復雜的式子轉化為容易研究的同一階式，比如在例2中，由ex0－1x0=0，可將ex0代換為1x0，將lnx0代換為x0，就可得函數的最小值為fx0=ex0－lnx0=1x0+x0，由均值定理可知fx0≥2.

4結語

“隱零點”問題看似抽象，但是只要我們抓住問題的本質，掌握解決問題的基本思想，問題就能迎刃而解.