例談高中數(shù)學(xué)函數(shù)解析式的求解方法

摘 要：求函數(shù)解析式有配湊法、換元法、待定系數(shù)法、解方程組法和借助函數(shù)性質(zhì)等方法，這些方法均不是通用的，需要根據(jù)不同的問題情境選擇恰當(dāng)方法.文章就明確問題情境，確定答題方法例談求函數(shù)解析式問題.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；解析式；問題情境

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0076-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：陳淑杰（1987.6—），男，安徽省臨泉人，中小學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

函數(shù)解析式是函數(shù)最基本的表示，解決任何函數(shù)問題，都不能離開函數(shù)解析式，特別是具體函數(shù)問題，甚至有時候抽象函數(shù)問題都可以構(gòu)造出具體函數(shù)解析式來解決問題.筆者通過梳理總結(jié)發(fā)現(xiàn)，求函數(shù)解析式的方法是明確的，有配湊法、換元法、待定系數(shù)法、方程組法、借助函數(shù)奇偶性、借助函數(shù)的周期性和根據(jù)軸對稱圖象等方法，但是不同的問題應(yīng)該選擇不同的方法.接下來，文章將從問題情境角度去探究這幾種方法的適用題型和解題策略.

1 配湊法

配湊法針對的問題情境是已知函數(shù)f（x）滿足f［g（x）］=m（x），求函數(shù)y=f（x）的解析式.解題一般思路是先將函數(shù)m（x）通過配湊的方式變?yōu)楹瘮?shù)g（x）的形式，然后將g（x）整體代換為x.

例1 已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x-1）=x2-2x+1x，求函數(shù)y=f（x）的解析式.

解析 因為函數(shù)f（x-1）=x2-2x+1x，

所以f（x-1）=x2-2x+1x=（x-1）2（x-1）+1.

令x-1=t，則f（t）=t2t+1.

所以函數(shù)f（x）=x2x+1（x≠-1）.

2 換元法

該方法針對的問題情境是已知函數(shù)f（x）滿足f［g（x）］=m（x），求函數(shù)y=f（x）的解析式.解題一般思路是先設(shè)g（x）=t，再根據(jù)假設(shè)解出x=h（t），然后將g（x）=t和x=h（t）代入f［g（x）］=m（x）中，形成一個關(guān)于t的解析式，最后將t全部換成x即可.

例2 已知函數(shù)y=f（x）滿足f（cosx-1）=cos2x-1，求函數(shù)y=f（x）的解析式.

解析 設(shè)cosx-1=t（-2≤t≤0），則cosx=t+1.

所以f（cosx-1）=cos2x-1=2cos2x-2.

將cosx-1=t和cosx=t+1代入，得

f（t）=2（t+1）2-2=2t2+4t，

再將t換成x，得f（x）=2x2+4x.

所以函數(shù)f（x）=2x2+4x（x∈［-2，0］）.

通過例1和例2發(fā)現(xiàn)：其實這兩種方法適用的題型是一樣的，即都是針對滿足f［g（x）］=m（x）的函數(shù)求解析式，在配湊比較困難的時候，可以選擇換元法，在解題時注意方法的選擇.

3 待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是針對已知函數(shù)解析式的形式（如一次函數(shù)、正弦函數(shù)等）的情境下，要求具體函數(shù)的解析式.解題一般思路是先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)已知條件建立方程（一般情況下所設(shè)的函數(shù)解析式需要確定幾個量，就需要建立幾個方程），最后把方程聯(lián)立將函數(shù)解析式的各項系數(shù)求出來即可[1].為了詳細(xì)描述解題策略，根據(jù)處理路徑，下面分為構(gòu)建方程組待定系數(shù)法和嵌套式待定系數(shù)法進(jìn)行探究.

3.1 構(gòu)建方程組待定系數(shù)法

例3 已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，求函數(shù)y=ln（x+a）的解析式.

解析 設(shè)切點為A（x0，x0+1）.對函數(shù)求導(dǎo)，得y′=1x+a.

因為直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，則有

x0+1=ln（x0+a）.①

因為直線y=x+1的斜率為1，

則有1x0+a=1.

②

聯(lián)立①②，解得x0=-1，a=2.

因為函數(shù)y=ln（x+2）的定義域為xgt;-2，

所以函數(shù)y=ln（x+2）（xgt;-2）.

3.2 嵌套式待定系數(shù)法

例4 已知f（x）是一元一次函數(shù)，且f［f（x）］=2x+3，求函數(shù)f（x）的解析式.

解析 設(shè)函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）.

因為函數(shù)f（x）滿足f［f（x）］=2x+3，所以有f［f（x）］=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=2x+3.

則有a2=2，ab+b=3.

解得a=2，b=32-3或a=-2，b=3-32.

所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2x+32-3或f（x）=-2x-32+3.

4 方程組法

方程組法針對的是關(guān)于f（x）與f（-x）構(gòu)成的方程和f（x）與f（1x）構(gòu)成的方程，要求函數(shù)f（x）的解析式.解題思路是將x與-x（或x與1x）對換，再將兩式聯(lián)立解出f（x）即可.下面具體分開進(jìn)行探究.

例5 （1）已知函數(shù)f（x）滿足f（x）-2f（1x）=2x，求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+2f（-x）=x-1，求函數(shù)f（x）的解析式.

解析 （1）因為已知函數(shù)f（x）滿足

f（x）-2f（1x）=2x，③將x換成1x，得f（1x）-2f（x）=2x.④

聯(lián)立③④，解得f（x）=-2x3-43x.

所以函數(shù)f（x）=-2x3-43x（x≠0）.

（2）已知函數(shù)f（x）滿足

f（x）+2f（-x）=x-1，

⑤

將x換成-x，得f（-x）+2f（x）=-x-1.⑥

聯(lián)立⑤⑥，解得f（x）=-x-13.

所以函數(shù)f（x）=-x-13.

5 借助函數(shù)的奇偶性

這種方法主要是針對具有奇偶性的分段函數(shù)求解析式.一般情況下是已知函數(shù)的一部分區(qū)間的解析式，根據(jù)偶函數(shù)滿足f（x）=f（-x），奇函數(shù)滿足f（x）=-f（-x），求出剩余部分區(qū)間的解析式即可.

例6 已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)xgt;0時，f（x）=x2+ex，求函數(shù)f（x）的解析式[2].

解析 因為函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，所以滿足f（x）=-f（-x）.

當(dāng)xlt;0時，-xgt;0，所以

f（x）=-f（-x）=-［（-x）2+e-x］=-x2-e-x.

又因為當(dāng)xgt;0時，f（0）=02+e0=1；

當(dāng)xlt;0時，f（0）=-02-e0=-1，

所以f（0）=0.

所以函數(shù)f（x）=x2+ex，xgt;00，x=0，-x2-e-x，xlt;0.

6 借助函數(shù)的周期性

這種方法針對的題型是已知函數(shù)為周期函數(shù)，并且已知一個小區(qū)間的解析式，要求函數(shù)另外一個小區(qū)間的解析式.一般思路是先確定函數(shù)周期和已知部分解析式，然后根據(jù)函數(shù)的周期性，將已知區(qū)間的解析式遞推到要求解析式的區(qū)間內(nèi)即可[3].

例7 已知函數(shù)f（x）是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈［2，3］時，f（x）=x-1.求函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，2］時的解析式.

解析 因為函數(shù)f（x）的周期為2，

所以f（x+2）=f（x）.

因為當(dāng)x∈［2，3］時，f（x）=x-1，所以x∈［0，1］時，f（x）=f（x+2）=（x+2）-1=x+1.

又函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）.

則當(dāng)x∈［-1，0］時，f（x）=-x+1.

則當(dāng)x∈［1，2］時，f（x）=f（x-2）=-x+3.

7 根據(jù)軸對稱圖象求解析式

這種方法針對已知一個函數(shù)解析式，要求該函數(shù)圖象關(guān)于一條直線對稱后的函數(shù)解析式.一般思路為：將函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱的問題轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱問題進(jìn)行處理[4].

例8 （2015年全國Ⅰ卷改編）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=2x+2的圖象關(guān)于y=-x對稱.求函數(shù)f（x）的解析式.

解析 設(shè)函數(shù)y=2x+2的圖象上任意一點

A（x0，y0），點A關(guān)于y=-x對稱的對稱點為B（x，y）.

所以過點A，B的直線與y=-x垂直，則y-y0x-x0=1.

并且A，B的中點在y=-x上，即y+y02=-x+x02.

則有y-y0x-x0=1，y+y02=-x+x02，解得x0=-y，y0=-x.

將x0=-y，y0=-x代入y=2x+2，得-x=2-y+2，即y=2-log2（-x）.

所以函數(shù)f（x）=2-log2（-x）（xlt;0）.

8 結(jié)束語

通過實例分析，在所有探究的方法中，只有配湊法和換元法可以在同一種題型使用，其余方法均是一種方法對應(yīng)一種題型，文章一一進(jìn)行了分析，并具體提出了相應(yīng)方法和答題策略.在解答求函數(shù)解析式的問題中，還有一個極易錯的地方是：不管在哪種問題情境下，也不管用哪種方法，在求出函數(shù)解析式后，一定要求出函數(shù)的定義域，并在求出的解析式后面附上函數(shù)的定義域.

參考文獻(xiàn)：

［1］史延芹.求函數(shù)解析式的幾種常用方法[J].學(xué)周刊（A版），2011（06）：185.

[2] 程煜生.奇偶函數(shù)分段解析式的求法[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2002（06）：63-64.

[3] 李繞.根據(jù)奇偶性、對稱性、周期性求函數(shù)的解析式[J].教育實踐與研究，2012（24）：60.

[4] 宋穩(wěn)尚.一類對稱曲線的快捷求法[J].中學(xué)教學(xué)參考，2011（02）：31，35.

［責(zé)任編輯：李 璟］