圓錐曲線弦長(zhǎng)面積問(wèn)題的教學(xué)探索

[摘 要] 圓錐曲線弦長(zhǎng)面積問(wèn)題具有一定的探究性，研究者建議教學(xué)中開(kāi)展模塊化探究，解讀問(wèn)題知識(shí)考點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從一般方法入手，逐步深入，適度拓展，總結(jié)方法策略. 文章旨在探討圓錐曲線弦長(zhǎng)面積問(wèn)題的教學(xué)方法，并通過(guò)這些問(wèn)題的解決，助力學(xué)生加深理解和提高能力.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;弦長(zhǎng);面積;公式;模型;轉(zhuǎn)化

作者簡(jiǎn)介：李濤（1983—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

問(wèn)題綜述

圓錐曲線作為高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)，知識(shí)內(nèi)容的綜合性極強(qiáng)，也是高考考查的重難點(diǎn). 教學(xué)中需要解讀考點(diǎn)、指導(dǎo)方法，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn). 弦長(zhǎng)面積問(wèn)題是一類典型的幾何問(wèn)題，常以曲線與直線相交形成弦長(zhǎng)為背景，構(gòu)建幾何圖形，探索其面積. 該類問(wèn)題變化多樣，涉及相交、弦長(zhǎng)、面積、最值等內(nèi)容，解析突破存在一定的難度.

教學(xué)中需要注意兩點(diǎn)：一是總結(jié)問(wèn)題類型，把握問(wèn)題本質(zhì)，解讀破題關(guān)鍵;二是深入講解破題方法，尤其是圖形面積的構(gòu)建策略. 對(duì)于直線與圓錐曲線相交，弦與定點(diǎn)所構(gòu)成的幾何圖形面積的處理策略不唯一，可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題類型進(jìn)行探究. 本文先從一般方法入手，概述弦長(zhǎng)面積公式;再深入探究特殊情況，揭示鉛錘模型公式;最后拓展至面積比或面積和的問(wèn)題，總結(jié)化歸與轉(zhuǎn)化思想方法.

教學(xué)圓錐曲線弦長(zhǎng)面積問(wèn)題時(shí)，建議采納模塊化設(shè)計(jì)和逐步引導(dǎo)的策略，以幫助學(xué)生清晰地識(shí)別問(wèn)題的特征，并掌握常規(guī)解題方法以及拓展性問(wèn)題的轉(zhuǎn)化技巧.

基礎(chǔ)解讀

在探討圓錐曲線弦長(zhǎng)面積問(wèn)題時(shí)，通常情況下，幾何圖形的頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，此時(shí)可采用一般方法來(lái)構(gòu)建面積模型，即應(yīng)用弦長(zhǎng)面積公式S=ABd（其中，AB為弦長(zhǎng)，d為頂點(diǎn)到直線AB的距離）. 設(shè)直線的斜截式方程為y=kx+m，利用弦長(zhǎng)公式求出AB，由點(diǎn)到直線的距離公式求出d，然后將上式整理為S=ABd=···.

教學(xué)解讀 探究圓錐曲線弦長(zhǎng)面積比問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于指導(dǎo)學(xué)生充分利用轉(zhuǎn)化思想，總結(jié)歸納轉(zhuǎn)化策略，掌握面積比的轉(zhuǎn)化思路. 針對(duì)此類問(wèn)題，一般有兩種處理思路：一是優(yōu)先根據(jù)同底、等高進(jìn)行轉(zhuǎn)化;二是在存在定角相等的情形下，根據(jù)三角形面積的正弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

學(xué)生應(yīng)結(jié)合具體情境，總結(jié)歸納解題思路，以熟練掌握轉(zhuǎn)化策略. 在解題過(guò)程中，學(xué)生可遵循以下步驟：首先，解析涉及三角形的面積比關(guān)系;其次，依據(jù)圖形之間的聯(lián)系確定轉(zhuǎn)化策略;最后，結(jié)合圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化和構(gòu)建.

寫在最后

圓錐曲線弦長(zhǎng)面積問(wèn)題的教學(xué)探索，重點(diǎn)在于分析問(wèn)題的類型，歸納解題策略，并據(jù)此制定相應(yīng)的教學(xué)方法，指導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化訓(xùn)練. 在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)密切觀察學(xué)生的思維過(guò)程，并設(shè)計(jì)合理的教學(xué)模塊，以確保教學(xué)內(nèi)容能夠循序漸進(jìn)地展開(kāi).

本文建議采用“基礎(chǔ)教學(xué)→深入解讀→拓展探究”的步驟進(jìn)行教學(xué). 在“基礎(chǔ)教學(xué)”階段，重點(diǎn)講解基本方法和思路，概括通用公式;“深入解讀”環(huán)節(jié)則著重于總結(jié)特殊模型和特定情境，引導(dǎo)學(xué)生深入研究幾何模型，從其生成過(guò)程、特征屬性、以及公式的構(gòu)建等多方面進(jìn)行探討;至于“拓展探究”階段，則應(yīng)關(guān)注學(xué)生思維的拓展，通過(guò)類型題的變式，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

示例教學(xué)過(guò)程對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題思維至關(guān)重要. 在這一階段，教師應(yīng)緊密圍繞方法和策略，精心挑選典型問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步解析并構(gòu)建解題思路. 此外，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生深入總結(jié)和歸納，反思解題過(guò)程，從而積累寶貴的解題經(jīng)驗(yàn).