從一道高考題目審視學(xué)生闡述問(wèn)題能力的培養(yǎng)

[摘 要] 數(shù)學(xué)說(shuō)題活動(dòng)顛覆了傳統(tǒng)教學(xué)中教師單向傳授知識(shí)的模式，為師生互動(dòng)交流搭建了平臺(tái)，這有助于激發(fā)學(xué)生參與課堂討論的熱情，提升他們發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力. 在解題教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生闡述自己的解題思路，以便充分展現(xiàn)他們的思考過(guò)程，要協(xié)助學(xué)生構(gòu)建清晰的思維框架，有效增強(qiáng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)技巧，培育他們勇于探索和創(chuàng)新的精神，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 說(shuō)題;思考過(guò)程;數(shù)學(xué)能力

作者簡(jiǎn)介：曹春茂（1979—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

說(shuō)題，作為一種創(chuàng)新的教學(xué)模式，秉承了以學(xué)生為中心的教學(xué)理念. 通過(guò)數(shù)學(xué)說(shuō)題，學(xué)生能夠鍛煉其語(yǔ)言表達(dá)技巧，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而有效增強(qiáng)綜合能力和素養(yǎng). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)致力于營(yíng)造一個(gè)寬松、民主、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考和表達(dá)，以此促進(jìn)學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力的提升，并全面增強(qiáng)學(xué)生的綜合能力.

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)學(xué)生說(shuō)題能力的主要領(lǐng)域. 在這一過(guò)程中，教師應(yīng)提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生闡述他們?cè)诮獯饐?wèn)題時(shí)所運(yùn)用的思維方法、解題策略和理論依據(jù)，從根本上提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，并推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升. 筆者通過(guò)分析一道高考數(shù)學(xué)題，探討如何有效培養(yǎng)學(xué)生的說(shuō)題能力.

真題再現(xiàn)

例題 已知圓C：x2+y2=4，直線l：y=kx+m，則當(dāng)k的值發(fā)生變化時(shí)，直線l截得圓C的弦長(zhǎng)的最小值為2，則m=（ ）

A. ±2 B. ±

C. ± D. ±

例題源于2021年高考數(shù)學(xué)北京卷的第9題，該題目綜合難度較高，解題方法靈活多變，不僅具有一定的挑戰(zhàn)性，還蘊(yùn)含著探索的價(jià)值. 在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師展示這道題目，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立解答，并詳細(xì)闡述他們的思考過(guò)程. 這一做法旨在洞察學(xué)生的解題策略和遇到的難題，同時(shí)鍛煉他們的表達(dá)技巧. 通過(guò)提供針對(duì)性的指導(dǎo)，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)障礙，進(jìn)而提升他們分析和解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)過(guò)程

1. 合作探究，形成思路

師：誰(shuí)先來(lái)說(shuō)說(shuō)自己的解題思路？

生1：這是一道解析幾何題目，解決這類問(wèn)題最常用的方法是數(shù)形結(jié)合法. 根據(jù)題目的要求，可以得出圖1所示的圖形. 令圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為n，則d2+

=r2. 由點(diǎn)到直線的距離公式得d=，則弦長(zhǎng)n=2. 又弦長(zhǎng)的最小值為2，所以n=2≥2. 這里m，k都在變化，感覺(jué)無(wú)法分析取最大值或最小值的條件，所以沒(méi)有得到答案.

師：利用弦心距來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng)，是一個(gè)相當(dāng)巧妙的方法. 這里m，k都在變化嗎？重新分析已知條件，談?wù)勀銈兊陌l(fā)現(xiàn).

（教師預(yù)留時(shí)間供學(xué)生再次審閱題目，以揭示其中隱藏的信息.）

生2：根據(jù)題設(shè)信息，這里m為定值. 令n=2=2，當(dāng)k=0時(shí)，n取最小值2，所以m=，解得m= ±. 因此，正確答案是C.

師：你們還有其他想法嗎？

生3：由于該題目為選擇題，我打算采用排除法來(lái)解答，然而最終未能成功.

師：也是一個(gè)值得考慮的想法，請(qǐng)?jiān)敿?xì)闡述一下你的思考過(guò)程.

生3：根據(jù)給定的條件和選項(xiàng)，我們可以清晰地看出，直線l過(guò)點(diǎn)（0，m），且是定點(diǎn)，即直線l為過(guò)定點(diǎn)（0，m）的一直線族. 設(shè)m=±2，則直線l與圓C相切，顯然與已知條件不符，所以排除選項(xiàng)A. 同理，設(shè)m=±，則定點(diǎn)為（0，±），即定點(diǎn)在圓的外部，直線l與圓C相離，因此排除選項(xiàng)D. 然而，對(duì)于選項(xiàng)B和C，我卻不知如何選擇.

師：這是一個(gè)相當(dāng)有見(jiàn)地的想法. 然而，通過(guò)直線變化來(lái)判斷弦長(zhǎng)或弦心距的改變確實(shí)頗具挑戰(zhàn)性. 或許我們可以嘗試從不同的角度出發(fā)，比如專注于單一參數(shù)k的變化，來(lái)深入分析這個(gè)問(wèn)題. 你們對(duì)此有何新的見(jiàn)解？（學(xué)生積極思考）

生4：我們可以從特殊情況出發(fā)分析，假設(shè)直線l與x軸平行，此時(shí)弦心距d=m，所以m=±.

師：很好！在解題過(guò)程中，務(wù)必仔細(xì)審閱題目，深入挖掘題目提供的信息，并在變化中尋找問(wèn)題的不變本質(zhì)，這樣往往能夠輕松破解難題.

觀察學(xué)生的解題反饋，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生試圖采用代數(shù)方法來(lái)解決問(wèn)題. 他們將圓的方程與直線的方程聯(lián)立起來(lái)，通過(guò)消元法得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式、韋達(dá)定理等數(shù)學(xué)工具來(lái)求解. 然而，不少學(xué)生選擇了放棄，因?yàn)槠溥\(yùn)算過(guò)程相對(duì)煩瑣. 不過(guò)，對(duì)于那些課后有額外精力的學(xué)生，筆者建議可以沿著這一思路深入探究.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)“說(shuō)”來(lái)探究學(xué)生的解題思路，可以識(shí)別他們?cè)诮忸}過(guò)程中遇到的難題. 通過(guò)積極的互動(dòng)和交流，教師協(xié)助學(xué)生構(gòu)建正確的解題方法，從而提高他們的解題能力. 在這一環(huán)節(jié)，教師確保給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行表達(dá)和交流，并激勵(lì)他們嘗試多種解題策略. 這樣做不僅能鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，還能幫助他們積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，并增強(qiáng)他們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的信心.

2. 變式拓展，發(fā)散思維

師：在保持問(wèn)題核心不變的前提下，如果調(diào)整原題中的數(shù)學(xué)元素，如數(shù)值或符號(hào)，以形成一道新的題目，你們打算如何進(jìn)行這樣的變化？（教師給予學(xué)生時(shí)間進(jìn)行思考和討論）

生5：可以更改弦長(zhǎng)的大小，如將弦長(zhǎng)的最小值由“2”改成“3”.

師：可以是“5”嗎？

生5：不可以，弦長(zhǎng)是有范圍的——范圍為（0，4].

師：非常棒，我們?cè)谡{(diào)整題目時(shí)，必須全面考慮題目的科學(xué)性和合理性. 你們還想怎么變？

生6：“弦長(zhǎng)的最小值為2”這一條件可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為“弦心距的最大值為”.

生7：“弦長(zhǎng)的最小值為2”這一條件也可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為“直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，△ABC為等邊三角形”.

師：非常出色. 同學(xué)們的這些變式是形式上的改變，其核心結(jié)構(gòu)沒(méi)有變化，因此解題策略無(wú)需調(diào)整.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)過(guò)程中，教師以學(xué)生為核心，鼓勵(lì)他們自主設(shè)計(jì)變式題目. 通過(guò)這種方式，學(xué)生能夠更深入地理解問(wèn)題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，并通過(guò)變化練習(xí)來(lái)提升他們的語(yǔ)言表達(dá)技巧，從而培養(yǎng)他們闡述問(wèn)題的能力.

師：從以上解題過(guò)程可以看出，m是定值這一隱藏信息在解題中起到了關(guān)鍵作用. 如果m不是定值，而弦長(zhǎng)為定值2，那么能否求出m的取值范圍呢？（通過(guò)調(diào)整固定參數(shù)，改變了問(wèn)題結(jié)構(gòu)，教師預(yù)留時(shí)間供學(xué)生思考和交流.）

生8：根據(jù)已知條件畫(huà)出如圖2所示的圖形. 已知AB=2，則OD=，也就是說(shuō)圓心O到弦AB中點(diǎn)的距離為. 因此，無(wú)論直線l的k值如何變化，弦心距不變，即點(diǎn)D一定在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上，也就是說(shuō)直線l一點(diǎn)過(guò)圓x2+y2=3上的某個(gè)點(diǎn). 由n=2=2，整理得m=·. 無(wú)論k如何變化，k2≥0恒成立，所以≥1，所以m≥.

師：非常好，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法順利解決了問(wèn)題. 那么，有沒(méi)有一種可能，使得k，m，n都能變化？

生9：基于先前的問(wèn)題，我們可以將“弦長(zhǎng)為定值2”修改為“弦長(zhǎng)的最小值為2”，這樣三個(gè)參數(shù)都能變化.

師：很好的思路，此時(shí)的m為何值呢？

生10：如圖3所示，結(jié)合以上探究結(jié)果，可知弦長(zhǎng)n的取值范圍為[2，4]，直線l過(guò)小圓x2+y2=3上的某點(diǎn)D. 當(dāng)直線l與小圓x2+y2=3相切時(shí)，弦長(zhǎng)取最小值2. 當(dāng)k變化，且直線l與小圓x2+y2=3不相切時(shí)，直線l與y軸相交于任何位置，由此可知m取任意值.

師：非常棒，通過(guò)圖形的直觀性，結(jié)合觀察與想象得出了結(jié)論. 在此基礎(chǔ)上，你們能否進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證呢？

生11：若弦長(zhǎng)的最小值為2，即弦心距的最大值為時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離可得m≤. 這里無(wú)論k如何變化，都有k2≥0，所以這里k可以取到任意值，顯然m也可以取到任意值.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)進(jìn)一步的變式練習(xí)——使固定參數(shù)變得動(dòng)態(tài)化，從而加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題核心的理解，并有效地?cái)U(kuò)展他們的思維廣度，提升他們分析和解決問(wèn)題的能力. 在這一過(guò)程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)言，主動(dòng)分享自己的見(jiàn)解和對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，使學(xué)生充分體驗(yàn)到探索的樂(lè)趣，并有效增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.

教學(xué)思考

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師的職責(zé)不僅限于傳授知識(shí)，更關(guān)鍵的是激發(fā)學(xué)生的思考能力. 在解題教學(xué)時(shí)，如果僅僅專注于解決個(gè)別問(wèn)題，這不僅會(huì)加劇數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的乏味性，還會(huì)抑制學(xué)生思維能力的成長(zhǎng)，進(jìn)而妨礙他們?cè)诮忸}技巧上的進(jìn)步. 因此，教師在解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生深入探索題目的深層含義，培養(yǎng)他們的思考習(xí)慣和自主學(xué)習(xí)能力. 在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生口頭表達(dá)，通過(guò)討論不僅能夠揭示正確的解題思路，還能幫助識(shí)別錯(cuò)誤的根源.

例如，在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，教師以學(xué)生為中心，充分展現(xiàn)學(xué)生的思考過(guò)程. 教師將“說(shuō)”融入整個(gè)課堂教學(xué)之中，通過(guò)“說(shuō)”協(xié)助學(xué)生克服思維障礙，形成正確的解題策略，最終促進(jìn)思維能力和表達(dá)能力的提升.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生必須積極參與課堂活動(dòng)，才能實(shí)現(xiàn)從“理解”到“掌握”，并最終達(dá)到“自主學(xué)習(xí)”的境界. 教師應(yīng)提供機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)發(fā)言和思考，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提升技能，并培養(yǎng)出色的解題表達(dá)能力，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.