知識解讀整

[摘 要] “拋物線的簡單幾何性質”章節是高中數學圓錐曲線知識的關鍵部分，其探究過程可與橢圓、雙曲線等進行類比，以明確核心概念. 在教學中，教師應當深入解析章節內容，明確教學策略，并將其分為四個環節進行規劃. 研究者針對章節內容進行微專題的深入探究，并據此提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 拋物線;幾何性質;數形結合;專題探究

作者簡介：王惠清（1975—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲南通市高中數學優秀課評比一等獎，南通市學科帶頭人.

教學解讀

“拋物線的簡單幾何性質”章節是高中數學圓錐曲線知識的關鍵部分，是掌握拋物線概念不可或缺的基礎內容. 在教學中，教師應引導學生深入理解其性質，掌握數形結合思想方法. 在性質的探究過程中，重視培養學生的直觀想象、數學運算和邏輯推理等核心素養，促進學生知識與能力的全方位提升.

本章節主要探討拋物線的四個關鍵性質——范圍、對稱性、頂點和離心率，以及這些性質的應用. 之前學生已了解橢圓、雙曲線等圓錐曲線的性質，并掌握了探究方法. 建議本章節采用類比方法進行教學，通過“探究生成、過程引導”的方式，結合重點內容，分環節構建教學過程.

微專題探究

關于“拋物線的簡單幾何性質”的教學，建議采用微專題的方式，分為四個環節，引導學生感知概念、深化理解、靈活運用. 下面探究教學設計.

1. 教學環節一——情境設計，課堂引入

本環節采用引入關鍵點的方法進行教學. 在教學中，教師引導學生回顧先前對圓錐曲線的學習，并通過類比的方法確定研究方案;引導學生觀察圖象來確定拋物線的橫、縱坐標的取值范圍，進而明確其范圍特性.

預設問題1：請大家類比橢圓、雙曲線的幾何性質的探究過程，思考“應研究拋物線y2=2px（p>0）的哪些幾何性質？如何研究這些性質？”

預設問題2：觀察圖1所示的拋物線，你能確定該拋物線上的點的橫、縱坐標的取值范圍嗎？

教學引導 引導學生回顧橢圓、雙曲線的探究過程，確定拋物線需要探究的幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率等）. 同時，確立數形結合思想方法，以便后續從“數”和“形”兩個角度深入探究拋物線的性質.

引導學生仔細觀察拋物線的圖形，關注其上的點的橫、縱坐標的取值范圍，以及開口方向. 例如，上述拋物線的開口向右，其上的點的橫坐標的取值范圍為x≥0.

教學建議 課堂引入環節，旨在確定后續的研究內容和方法，注意引導學生類比其他圓錐曲線. 在確定拋物線上的點的橫、縱坐標的取值范圍時，重視數形結合思想方法. 首先，從“形”的角度出發，引導學生觀察拋物線的特征和開口方向;接著，從“數”的角度入手，推導并確定其上的點的橫、縱坐標的取值范圍. 在完成課堂引入環節后，務必進行總結和概括，以形成“數形結合”分析的核心思路.

2. 教學環節二——觀察分析，感知概念

本環節引導學生初步理解拋物線的性質和概念，初步探索其范圍和對稱性. 通過運用數形結合法，逐步引導學生深入探究和感知.

（1）“范圍”的探究

預設問題1：觀察圖1所示的拋物線后，若從“數”的角度出發，結合拋物線的方程，應如何確定拋物線上的點的橫坐標的取值范圍呢？

預設問題2：對于拋物線y2=2px，是否可以直接確定其開口方向，以及其上的點的橫、縱坐標的取值范圍？

預設問題3：若p>0，當x的值增大時，拋物線y2=2px是否會向著開口方向一直無限延伸呢？

教學引導 首先，引導學生觀察圖1所示的拋物線，讓學生初步了解并明確拋物線的幾何特性. 接著，分析拋物線的方程，清晰地理解參數p的重要性，即其符號決定拋物線的開口方向以及它所處的象限. 此外，拋物線的開口方向決定其上的點的橫、縱坐標的取值范圍.

對于p>0的情形，引導學生結合拋物線圖象來確定其性質，出現其開口方向與x軸的正方向相同;當x的值增大時，y的值也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.

（2）“對稱性”的探究

預設問題1：觀察圖2所示的拋物線，其有幾條對稱軸？是否具有對稱中心？

預設問題2：如何從“數”的角度來說明拋物線y2=2px（p>0）的對稱性？

教學引導 引導學生仔細觀察圖象，可以輕松地確定該拋物線關于x軸對稱，但不具備中心對稱的性質. 若從“數”的角度來講解其關于x軸對稱，則引導學生明晰在拋物線上任意取一點P（x，y），其關于x軸的對稱點P′（x0，-y）也在拋物線上. 在教學中，可以引入具體的拋物線方程，引導學生進行驗證.

教學建議 在探究拋物線的“范圍”和“對稱性”時，建議充分利用數形結合思想方法，引導學生從“數”和“形”兩個角度進行分析和推導. 通過審視圖象來確定拋物線的開口方向、分布、形狀以及對稱性，并結合其方程進行深入分析，以全面理解其性質.

3. 教學環節三——抽象概念，形成概念

本環節引導學生深入探究拋物線的頂點和離心率，采用的方法依舊是數形結合思想方法. 通過讓學生觀察圖象來探究拋物線的頂點，給出其定義，并幫助他們理解拋物線離心率的含義.

（1）“頂點”的探究

預設問題1：進一步觀察圖2所示的拋物線，其頂點是什么？

預設問題2：拋物線y2=2px（p>0）的頂點坐標是什么？p的取值是否會影響其頂點坐標的取值？

教學引導 引導學生觀察拋物線，直觀識別其頂點是坐標軸的原點. 隨后，結合拋物線的方程，從“數”的角度驗證其頂點為（0，0）.

（2）“離心率”的探究

預設問題：給定離心率的定義，即拋物線上的點M與焦點F的距離和點M到準線的距離d的比，用e表示.

思考：對于y2=2px（p>0），請根據離心率的定義求解該拋物線的離心率. 另外，離心率的值是否受參數p的影響？

教學引導 引導學生明晰離心率的定義，并鼓勵他們根據定義自主計算拋物線的離心率. 重視計算過程，可以發現離心率e=1，顯然這一結果與拋物線的特征參數p無關，因此不受其影響.

教學建議 在研究拋物線的頂點和離心率的性質時，同樣采用數形結合思想方法，引導學生從多角度進行分析和判斷，以推導出結論. 對于離心率知識，不主張直接講解，而是鼓勵學生通過推理計算，自主得到結論.

4. 教學環節四——知識應用，鞏固強化

本環節引導學生將所學知識應用于解決實際問題，以加強和鞏固對拋物線性質的理解. 建議在教學過程中詳細講解解題思路和方法，協助學生構建有效的解題策略，并積累寶貴的解題經驗.

預設問題：如圖3所示，斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長.

教學引導 根據拋物線的方程可得它的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1. 求線段AB的長，建議采用“設而不求”的方法.

設A（x，y），B（x，y），點A，B到準線的距離分別為d和d，由拋物線的定義可得AF=d=x+1，BF=d=x2+1，AB=AF+BF=x+x+2.

因為直線l的斜率為1，且過焦點F（1，0），所以直線l的方程為y=x-1. 聯立直線與拋物線的方程，整理得x2-6x+1=0.由韋達定理可得x+x=6，則AB=x+x+2=8. 所以，線段AB的長是8.

教學建議 在探討拋物線與直線的相交問題時，教學引導應注重思維過程的闡述，并滲透“設而不求”的簡化計算技巧，以構建圓錐曲線綜合題的求解策略. 求解完成后，可以進一步引導學生思考：若直線l不經過拋物線的焦點F，AB=x+x+2是否依然成立？

專題探究思考

對“拋物線的簡單幾何性質”的微專題探究，劃分為四個環節，整個教學過程著重于思維方向的引領與解題步驟的搭建，并始終貫徹數形結合思想方法. 接下來，深入探討教學方面的思考，并提出一些教學建議.

1. 注意章節解讀

高中數學課程內容豐富，涉及大量重要的知識點與考核要點. 教師應當細致解讀各章節內容，并系統梳理與整合知識點，這樣才能設計出合理的教學步驟. 章節解讀建議從以下三個維度展開：首先，闡釋核心知識點，明確關鍵難點;其次，依據教學大綱，明確教學目標，涵蓋知識掌握、方法運用以及核心素養的培養;最后，基于章節內容，設計相應的教學策略和教學環節. 環節設計遵循“情境引入—知識探索—應用強化”的步驟順序，同時融入思想方法，注重提升學生的數學學科核心素養.

2. 注意數形結合

本章節是圓錐曲線知識體系的核心部分，其中數形結合是其核心思想和方法. 在拋物線的幾何性質的教學中，這一點尤其需要得到強調. 教師應當在教學過程中融入數形結合思想方法，引導學生逐步探索并總結關鍵知識點. 例如，在探究拋物線的對稱性時，首先觀察圖象，然后利用方程來確定其對稱性;在推導拋物線的頂點時，通過觀察圖象可以發現頂點位于原點，隨后再通過方程來精確驗證. 通過數形結合的探究和分析方法，教師可以指導學生掌握解題的精髓，為后續學習打下堅實的基礎.

3. 注意思維引導

在教授圓錐曲線相關知識時，教師應重視學生的思維過程，并注重引導其思考. 建議通過提問的方式設計教學環節，結合課程內容提出探索性問題，引導學生進行分析和思考，以得出結論. 在教學中，教師應尊重學生的觀點，為他們提供足夠的思考空間，使他們能夠充分地進行探索和自主分析. 教師應在適當的時候給予指導，幫助學生進行總結和歸納. 如果課堂上出現了意見分歧，那么教師應鼓勵學生共同分析和討論，自主完成探討和辨析，以加深學生對知識的理解.

寫在最后

對于“拋物線的簡單幾何性質”這一章節的教學探究，建議深入分析并詳細解讀其內容，有效整合相關知識點，合理設計教學環節. 在教學中滲透數形結合思想方法，從“數”和“形”這兩個角度探究核心知識. 教師應精心設計問題，引導學生思考，密切關注學生思維的發展變化，并協助他們歸納知識的性質，靈活應用所學，同時致力于培養學生的數學素養.