例談整體思維在高中數學解題中的實踐探究

[摘 要] 整體思維是高中階段較為重要的數學思想方法，將其合理地運用于解題過程中，不僅能達到化繁為簡、化難為易的功效，還有助于學生形成整體意識，培養從全局考慮問題的習慣. 在日常解題中，學生不僅要關注局部，更要把握整體，妥善處理整體與局部之間的關系，以有效揭示問題的核心本質，從而提升解題技巧并培養數學素養.

[關鍵詞] 整體思維;整體意識;數學素養

作者簡介：崔冬林（1982—），碩士研究生，中學高級教師，從事高中數學教學工作.

高中數學知識具有高度的抽象性、密集性以及嚴密的邏輯性，要學好高中數學，不僅要關注局部，更要把握整體. 然而，在日常教學實踐中，特別是在有限的課時內，教師和學生往往將大部分精力投入到對單一知識點的講解與學習上，而忽略了知識、思想和方法之間的內在聯系. 這種做法導致學生對知識的理解和掌握變得零散和碎片化，進而影響了他們將知識應用于實際問題解決的能力培養. 在解決復雜問題時，我們通常會將其拆解為若干簡單的局部，以達到簡化問題的目的. 然而，這些局部并不代表問題的全部，需要將這些分解的片段依據一定的邏輯關系重新組合，形成一個統一的整體. 這樣做有助于學生從整體的角度把握問題的核心，提升他們分析和解決問題的綜合能力. 筆者通過具體實例探討整體思維在高中數學解題中的運用. 若有不足，請大家指正.

整體對比，凸顯變化

在高中數學教學中，經常會出現“一聽就懂，一做就錯”的情況，究其原因是學生對知識的理解不夠深刻，不關注解題細節，一看到似曾相識的問題時，就盲目地套用公式或方法，從而引發了錯誤. 從學生思維的角度來分析，可以發現，部分學生在解題時往往表現出一種機械性的思維模式. 他們傾向于將解題思路局限于特定的題目，而未能超越具體案例，發展出適用于一類問題的通用解題策略. 這實際上反映了他們缺乏對一類問題的整體性思維能力. 面對這種情形，僅僅依賴機械性的重復訓練，或者通過不同類型題目的訓練來培養學生的思維，其效果是相當有限的. 最佳的方法是引導學生在解題時有意識地分析解題思路，并通過這一過程培養出解題思維. 具體來說，在習題教學中，教師應提倡整體對比，滲透特殊與一般的數學思想方法，引導學生更加全面地理解知識. 從教學經驗的角度來看，“特殊”與“一般”是相輔相成的，在具體題目解決過程中所形成的解題思維通常為“特殊”思維，而“一般”思維則體現在對一類問題的通用方法的理解和應用上. 因此，在具體題目的求解教學中，引導學生領悟解題思維的“特殊”之處，然后向“一般”遷移，有助于學生在整體對比中認識到整體思維的重要性，從而為整體思維的發展打下堅實的基礎.

例1 已知函數f（x）是定義域為R的偶函數，滿足f（x+2）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=x2-1，g（x）=logx，試求函數h（x）=f（x）+g（x）的零點個數.

分析 已知函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），由此可知該函數是以2為周期的周期函數. 畫出函數f（x）和g（x）的圖象，根據數形結合很容易得到h（x）的零點個數為2. 雖然通過圖象觀察來解決問題看似簡單直觀，但圖象在激發思維的同時，也可能在某種程度上限制學生的思維發展. 例如，將題目變一變——將函數g（x）=logx的底數“3”改成“1.1”，即改成g（x）=logx，如果在解題過程中僅限于使用圖象來分析問題，可以觀察到圖象的趨勢保持不變，那么結果是否也會保持不變呢？我們不妨回歸到一般形式，將g（x）的底數用參數a來替代，即研究當g（x）=logax（a>1）時，h（x）的零點個數是否為2. 在教學中，教師鼓勵學生以小組為單位共同探究這一問題，學生通過互動交流給出了如下解題過程：h（x）=x2-1-logax（a>1），h′（x）=2x-，故1<a≤時，h′（x）≤0. 所以，h（x）在（0，1]上單調遞減，可得當x∈（0，1]時，h（x）≥h（1），即當x∈（0，1]時，x2-1≥logax. 由此可知，當1<a≤時，h（x）的零點個數為1.

在上述示例中，通過讓學生進行比較，我們能夠認識到，僅憑直觀觀察得出的結論并不總是可靠的，必須借助數據進行進一步的驗證. 在這一教學過程中，教師指導學生將問題抽象化，促使學生從更宏觀的角度分析和解決問題，從而有效地培養學生的整體思維能力. 在解決問題之后，教師可以運用幾何畫板進行演示，通過不斷調整參數a，讓學生直觀觀察到隨著底數的變化，零點個數是如何變化的. 這種做法能有效地減輕數學的抽象性，有助于學生獲得全面的直觀理解，并激發他們的數學學習興趣. 不過，值得注意的是，幾何畫板的主要作用在于為學生提供直觀感受，在具體實施過程中，仍然需要借助代數方法進行分析、推理和論證. 通過“數”與“形”的有機結合，學生能夠獲得更全面和直觀的理解，從而有效地培養他們的整體思維能力，并促進數學素養的發展.

整體入手，以靜制動

隨著新課程改革的推進，培養學生的數學思維能力已成為數學教學的核心目標. 在高中數學教學過程中，恰當運用動靜轉換的策略，能夠更有效地發揮出解決問題的整體性優勢，從而增強學生的整體意識. 動靜轉換已成為眾多高中數學試題的考查重點，旨在評估學生是否能清晰地構建基于數學知識的動態概念，并能運用精確且邏輯嚴密的數學語言來描述這些概念. 面對需要結合動靜思維解決的數學問題，學生通常需要在整體思維的引導下，深入挖掘題目信息，以便在已知信息與待解決問題之間建立完整的理解. 隨后，在動靜轉換的過程中找到問題的解決之道. 特別是，以靜制動的策略在處理相關問題時顯得尤為重要，它要求學生能夠從變化的動態信息中提取出恒定不變的要素，從而有效地解決問題.

例2 已知數列{a}各項均為正數，其前n項和為S，若對于任意n∈N*，Sn=恒成立，求a.

分析 例2是學生比較熟悉的一個問題，其求解思路簡單：由2Sn=a+ n可得2Sn-1=a+n-1（n≥2），兩式作差并化簡得a-a=1或a+a=1. 令n=1，2，解得a=1和a=2，因此a-a=1，a+a=3. 在這里，部分學生得到a+a=3，發現與a+a=1不相符，認為a+a=1不成立，進而直接將其舍去. 顯然，直接將其舍去是錯誤的. 他們之所以會犯下這個錯誤，是因為未能全面地把握整體情況，即對邏輯連接詞“或”的理解不夠充分：這里不是“對于任意n∈N*，都有a-a=1”或“對于任意n∈N*，都有a+a=1”，而是“對于任意n∈N*，都有a-a=1或a+a=1”. 這樣要證明a+a=1恒不成立，僅憑兩個特值顯然是不具說服力的，而是需要證明不存在任何n值使a+a=1成立. 若想證明這一結論，直接從正面著手可能難以找到解決問題的切入點，不如使用反證法來證明：由于a+a=3，不妨設n（n>2）是滿足a+a=1的. 由于a+a=1，且各項為正整數，所以a∈（0，1），而a-a=1，所以a為負數. 顯然其與已知條件相矛盾，所以該假設不成立. 因此，該數列只滿足a-a=1（n≥2），由此可得a=n.

從已知條件出發不難發現，數列{a}的項在變化，因此，想要解決這一問題，就需要在變化中尋找不變，充分體現以靜制動的思想方法. 動與靜既相互聯系，又相互制約.在解決動靜問題時，要跳出局部的束縛，從整體視角分析和處理它們之間的聯系，以此順利地解決問題.

整體運算，化繁為簡

整體運算是高中數學思維的關鍵組成部分，它主要依據數學表達式的結構特點來進行綜合運算，以此達到簡化復雜問題的目的，有效提升解題效率. 從數學學科核心素養的培養視角來看，數學運算構成了學科核心素養的關鍵要素，而這一核心素養的培養與數學問題解決過程中所運用的整體思維緊密相關. 若能在解決數學問題時，引導學生運用整體運算來構建對問題的宏觀理解，通常能夠幫助學生在解決問題時化繁為簡，從而在解決運算難題的過程中促進學生整體思維的發展，進一步培養學生的數學運算能力.

例3 如圖1所示，點A，B是橢圓E：+y2=1的左、右頂點，點F是橢圓的焦點，點P（x，y）是橢圓上異于A，B的任意一點，求P處的切線方程.

分析 該題求的是切線方程，因此不妨設切線的斜率為k，則其方程為y-y=k（x-x）. 將其代入橢圓E：+y2=1中，消除x（或y），根據Δ=0，使問題獲解. 盡管學生構建了類似的解題思路，但許多學生并未得出正確答案. 從解題反饋來看，部分學生在應對復雜計算時顯得茫然無措. 確實，當方程聯立并展開后，產生的項數相當多，這不僅容易導致計算錯誤，而且計算起來也相當困難. 那么，可以如何優化運算過程呢？從整體視角分析不難發現，方程聯立并消去y（或x）后，所得的是關于x（或y）的一元二次方程. 在理解了這一本質之后，不妨將y-y=k（x-x）變形為y=kx-（kx-y），再將其代入橢圓的方程，展開后很容易得到關于x的一元二次方程，即4（k2+1）x2+8k（y-kx）x+4（y-kx）2-4=0. 這樣通過小小的改變，使得計算Δ變得輕松了很多. 但是，在計算Δ的過程中要注意，其中的常數項不宜展開，將一次項系數平方后得64k2（y-kx）2，這在不展開的情況下可以直接消除掉，從而有效減少運算量. 同時，在化簡過程中必須明確，所求的是斜率k，因此化簡后應該得到關于k的一元二次方程，即（4-x）k2+2x0y0k+（1-y）=0. 又點P（x，y）為橢圓上一點，根據一元二次方程的特點，可以將其二次項系數和常數項通過代換，得到4yk2+2x0y0k+=0，即

2yk+

=0，所以k=-，問題迎刃而解.

通過上述解答過程，我們可以清晰地看到，整體思維在優化計算過程中發揮著重要作用. 它不僅能降低計算的復雜度，還能夠培養學生的整體分析和問題把握能力，進而促進學生邏輯思維的提升和數學計算素養的增強. 面對復雜的計算問題，教師應引導學生回到問題的起點，深入思考代數式的結構. 通常，通過整體代換來優化計算，可以達到事半功倍的效果.

整體觀察，凸顯本源

觀察是一種很重要的思維活動，是學好數學的重要途徑. 當學生面對數學問題時，首要任務是通過整體觀察，來全面理解題意. 在這一過程中，如果學生能夠在腦海中構建起關于關鍵信息的多維聯系，那么在尋找解決問題的策略時將會更加高效. 通常來說，數學問題是由一系列相互關聯且不沖突的量組成的整體，因此通過整體觀察，學生能夠更好地掌握量與量之間的聯系，把握問題的本質特征，從而順利找到解決問題的關鍵點.

例4 設0<a，b，c<1，證明：a（1-b），b（1-c），c（1-a）不可能全部大于.

分析 本題若分開看，很難解釋a（1-b），b（1-c），c（1-a）中的一個不大于，所以證明該結論顯得尤為困難. 但仔細觀察三個式子不難發現，它們具有交叉聯系，因此可以從整體出發，利用反證法和假設法解決問題. 假設a（1-b），b（1-c），c（1-a）全部大于，則a（1-b）·b（1-c）·c（1-a）>. 因為0<a，b，c<1，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，則0<a（1-a）≤

=. 同理，0<b（1-b）≤，0<c（1-c）≤. 所以，a（1-b）·b（1-c）·c（1-a）=a（1-a）·b（1-b）·c（1-c）≤××=. 可見這與假設相矛盾，所以假設不成立，問題得以獲證.

反證法，作為逆向思維的典范，其獨特的思考方式對于提升學生的數學思維能力具有顯著的重要性. 眾所周知，矛盾并非孤立存在，至少涉及兩個對立面. 反證法作為一種構建矛盾的有效工具，在教學中恰當運用，能夠促進學生形成全面的思維方式，并有助于提高他們的數學素養.

綜上所述，在高中數學學習中，特別是在解題過程中，我們應高度重視對學生整體思維的培養. 雖然傳統的解題教學習慣于通過“分析”來使學生的思維更加縝密，但同時我們也應重視整體思維在其中的作用. 整體思維與解析式思維是相輔相成的，前者通常在更大程度上決定著學生對數學問題解決方向的把握，因此它在解題思維中扮演著“敲門磚”的角色. 由此可見，整體思維在解題中具有舉足輕重的地位. 因此，在高中數學教學中，教師應采用多樣化且有效的教學方法，引導學生掌握整體思維，以此來有效提升學生的數學思維能力，促進學生數學學科核心素養的發展.