基于“三個(gè)理解”的教學(xué)探索與思考

[摘 要] 什么是有效教學(xué)？此為一個(gè)仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智的問(wèn)題. 章建躍提出：“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是踐行有效教學(xué)的基石. ”該理念經(jīng)過(guò)多年的實(shí)踐，取得了不錯(cuò)的成效. 文章以“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)為例，從復(fù)習(xí)導(dǎo)入、位置判斷、拓展探索三個(gè)方面展開(kāi)研究.

[關(guān)鍵詞] 三個(gè)理解;教學(xué);思維

作者簡(jiǎn)介：李榕（1976—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作. 閩侯縣骨干教師，閩侯縣學(xué)科工作室成員，曾獲福州市教師技能大賽三等獎(jiǎng).

章建躍認(rèn)為：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)（簡(jiǎn)稱“三個(gè)理解”）是踐行有效教學(xué)的基石. 華羅庚認(rèn)為：讀書是由薄到厚，再由厚到薄的過(guò)程. 如何在“三個(gè)理解”的基礎(chǔ)上將繁雜的知識(shí)梳理成條理清晰的知識(shí)架構(gòu)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系呢？筆者以“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)為例，在充分理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上展開(kāi)研究.

教學(xué)分析

學(xué)生對(duì)“直線與圓的位置關(guān)系”并不陌生，因?yàn)樵诔踔须A段已經(jīng)有所接觸，對(duì)利用圓心到直線的距離來(lái)判斷“相切、相離、相交”的位置關(guān)系也有深刻的理解. 既然已經(jīng)掌握了它們的位置關(guān)系，高中階段為什么還要探索呢？具體探索什么內(nèi)容呢？這是每個(gè)學(xué)生都會(huì)產(chǎn)生的疑惑.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）對(duì)這部分內(nèi)容的要求為：能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系;能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題. 從新課標(biāo)要求來(lái)看，高中階段更突出方程思想，即要求學(xué)生能靈活應(yīng)用代數(shù)法解決幾何類的問(wèn)題. 想要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用必不可少，因此本節(jié)課需要從“‘?dāng)?shù)’的嚴(yán)謹(jǐn)性”和“‘形’的直觀性”兩個(gè)維度出發(fā)，探索直線與圓的位置關(guān)系，即通過(guò)對(duì)d，r大小關(guān)系以及方程組的分析來(lái)明確它們之間的位置關(guān)系.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 舊知回顧

師：大家在初中階段已經(jīng)接觸過(guò)直線與圓位置關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容，它們之間存在哪些位置關(guān)系？

生（眾）：相切、相離與相交.

師：不錯(cuò)，現(xiàn)在請(qǐng)大家回顧所學(xué)內(nèi)容，完善表格（用PPT展示空表）.

選擇學(xué)生完成得較為規(guī)范的表格進(jìn)行投影展示（見(jiàn)表1）.

師：看來(lái)大家對(duì)“直線與圓的位置關(guān)系”掌握得不錯(cuò). 本節(jié)課我們從新的角度來(lái)探索它們之間的位置關(guān)系（板書教學(xué)主題）.

設(shè)計(jì)意圖 教材采用貼近生活的實(shí)際素材作為教學(xué)導(dǎo)入，旨在讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)與日常生活的緊密聯(lián)系. 鑒于學(xué)生已具備本節(jié)課內(nèi)容的扎實(shí)認(rèn)知基礎(chǔ)，借助情境引入新知可能引發(fā)學(xué)生的理解困惑，并且存在由于學(xué)生固有思維模式導(dǎo)致的知識(shí)負(fù)遷移風(fēng)險(xiǎn). 因此，本研究決定采用“舊知回顧”的方法作為教學(xué)導(dǎo)入.

基于上述思考，教師以建構(gòu)主義理論為導(dǎo)向，通過(guò)回顧舊知，激發(fā)學(xué)生的記憶，使新知教學(xué)植根于學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)之上. 這樣，新舊知識(shí)之間的銜接就顯得格外自然和和諧. 同時(shí)，學(xué)生基于自身現(xiàn)有的認(rèn)知水平開(kāi)始學(xué)習(xí)，可得到“這部分內(nèi)容不難，我能學(xué)好”的積極心理暗示. 因此，通過(guò)回顧舊知來(lái)導(dǎo)入新課程的方法，是幫助學(xué)生樹(shù)立學(xué)習(xí)信心，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)發(fā)生的關(guān)鍵.

2. 位置判斷

師：在明確直線與圓的方程的背景下，可否根據(jù)我們的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷？

生1：能. 先獲得圓心到直線的距離d，然后將d值與圓的半徑長(zhǎng)短進(jìn)行比較分析：如果d值大于半徑r，那么兩者間的位置關(guān)系為相離;如果d值小于半徑r，那么兩者間的位置關(guān)系為相交;如果d值等于半徑r，那么兩者間的位置關(guān)系為相切.

師：該怎么獲得d值呢？

生2：可以通過(guò)應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)獲得.

師：很好！現(xiàn)在請(qǐng)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)探索這個(gè)問(wèn)題：如圖1所示，已知圓C：x2-2y+y2-4=0與直線l：3x-6+y=0，圓C與直線l之間存在怎樣的位置關(guān)系？

生3：根據(jù)題設(shè)條件可知x2+（y-1）2=5為圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，因此該圓半徑r=，圓心為C（0，1）. 設(shè)d為圓心到直線的距離，結(jié)合距離公式易得d==<. 由此確定直線與圓的位置關(guān)系為相交，存在的公共點(diǎn)有兩個(gè).

師：很好！是否還有其他判斷方法？

（學(xué)生沉默）

師：還記得在初中階段，我們是如何分析直線與拋物線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的？

生4：噢！我明白了！可以通過(guò)聯(lián)立方程x2-2y+y2-4=0與3x+y-6=0，即消除方程中的y，得x2-3x+2=0，則Δ=（-3）2-4×2×1=1>0. 據(jù)此，我們可以斷定直線l與圓C相交，存在兩個(gè)交點(diǎn).

師：分析得很清晰. 既然大家都明確了直線l與圓C存在兩個(gè)交點(diǎn)，那么這兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么呢？

生5：方程x2-3x+2=0的根為x=1，x=2，由此可確定兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3）與（2，0）.

師：回答得很完整，看來(lái)大家已經(jīng)掌握了處理這類問(wèn)題的策略. 現(xiàn)在，讓我們嘗試概括判斷直線與圓位置關(guān)系的具體步驟.

學(xué)生通過(guò)合作交流，提出如下流程：①明確圓心坐標(biāo)與圓半徑r;②分析圓心到直線的距離d;③根據(jù)d與r的大小關(guān)系判定位置關(guān)系.

教師對(duì)學(xué)生總結(jié)的流程給予肯定，并指導(dǎo)學(xué)生將該流程以思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行整理和展示，以便清晰易懂. 教師擇取完整且視覺(jué)效果較好的導(dǎo)圖進(jìn)行展示（見(jiàn)圖2）.

師：總結(jié)得非常完整，是否還存在其他判斷方法？

生6：還可以借助代數(shù)法進(jìn)行判斷，具體流程為：先將直線方程直接代入圓方程，得到一個(gè)一元二次方程，然后計(jì)算這個(gè)方程的判別式值，從而確定直線與圓的位置關(guān)系. 即若Δ=0，則直線與圓相切;若Δ<0，則直線與圓相離;若Δ>0，則直線與圓相交.

師：總結(jié)得不錯(cuò)，若以導(dǎo)圖的方式展示，可怎么設(shè)計(jì)？

學(xué)生采用圖2的設(shè)計(jì)方法，構(gòu)建出圖3.

設(shè)計(jì)意圖 課堂初始階段，教師帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)列表的方式系統(tǒng)回顧直線與圓之間的三種位置關(guān)系，為課堂教學(xué)做好鋪墊. 學(xué)生通過(guò)舊知的回顧與整理，自然而然地聯(lián)想到借助“點(diǎn)到直線的距離公式”獲得圓心到直線的距離d，此為解決實(shí)際問(wèn)題的核心知識(shí).

基于“三個(gè)理解”的角度，理解學(xué)生并非單純地去分析學(xué)生在本節(jié)課需要學(xué)什么內(nèi)容，更重要的是了解學(xué)生已經(jīng)掌握了什么內(nèi)容，怎樣幫助他們實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的連接，等等. 實(shí)踐證明，厘清學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系，可為課堂教學(xué)提供明確的思路，教師通過(guò)客觀的分析才能從真正意義上理解教學(xué)，即課堂上需要教的內(nèi)容是什么，該怎么教，教到什么程度，等等.

基于“三個(gè)理解”的視域設(shè)計(jì)此環(huán)節(jié)的教學(xué)，促使學(xué)生從幾何法的角度分析與整理解題流程，過(guò)渡到用代數(shù)法探索直線與圓的位置關(guān)系. 這種方法與思想的遷移，可進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的學(xué)力，凸顯“三個(gè)理解”理念給教學(xué)帶來(lái)的便利.

3. 拓展探索

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家借助直線與圓的位置關(guān)系分析以下變式問(wèn)題：

若點(diǎn)A（2，0）為直線l上一點(diǎn)，圓C：x2+y2-2y=4.

（1）過(guò)點(diǎn)A的直線與圓C之間存在幾種位置關(guān)系？

（2）如果確定直線l與圓C相交所截取的弦長(zhǎng)AB=，那么直線l的方程是什么？

（3）假設(shè)直線l與圓C相切，那么直線l的方程又是什么？

生7：關(guān)于問(wèn)題（1），我認(rèn)為過(guò)點(diǎn)A的直線與圓C之間存在相交與相切兩種關(guān)系.

師：能否詳細(xì)說(shuō)明一下？

生7：由于點(diǎn)A（2，0）位于直線l上，因此……（過(guò)程略）

由于該生基礎(chǔ)比較薄弱，因此當(dāng)他順利說(shuō)完整個(gè)思路后，教師對(duì)他表示了充分的肯定和鼓勵(lì)，贊揚(yáng)他思路清晰、表達(dá)流暢，并希望他能繼續(xù)保持這一優(yōu)點(diǎn).

生8：關(guān)于問(wèn)題（2），由于x2+（y-1）2=5為圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)C（0，1）為圓心，設(shè)y=k（x-2）為直線l的方程，即kx-2k-y=0，因此圓心到直線l的距離d=. 結(jié)合圖形易知

=r2-d2，即

=5-. 經(jīng)化簡(jiǎn)，得3k2+8k=3，解得k=或k=-3. 因此，直線l的方程是x-3y-2=0或3x+y-6=0.

師：有不同意見(jiàn)嗎？

生9：他回答得還不夠全面，漏掉了直線l的斜率不存在的情況，即若直線l的斜率不存在，其方程是x=2，則它與圓C的交點(diǎn)為A（2，0）與B（2，2）. 鑒于AB=2與題意不相符，因此舍去. 若直線l的斜率存在，解法與生8的一樣.

師：非常棒！在解決這類問(wèn)題時(shí)，一定不能遺漏斜率是否存在的討論. 現(xiàn)在，讓我們共同探討問(wèn)題（3），誰(shuí)愿意分享解題思路呢？

生10：若直線l的斜率不存在，與題意不相符，舍去. 若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x-2），即kx-2k-y=0，則圓心到直線l的距離d=. 因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以d=r，即=. 經(jīng)化簡(jiǎn)，得k2+4-4k=0，解得k=2. 因此，直線l的方程為2x-y-4=0.

設(shè)計(jì)意圖 提出變式問(wèn)題的目的在于深化學(xué)生對(duì)直線與圓位置關(guān)系的理解. 隨著問(wèn)題的深入拓展，學(xué)生的思維得以進(jìn)一步深化，這為解決后續(xù)相關(guān)綜合性問(wèn)題以及發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

幾點(diǎn)思考

1. 理解教學(xué)，厘清探索思路

“代數(shù)法探索圖形的幾何性質(zhì)”是解析幾何的本質(zhì)，“數(shù)形結(jié)合”是揭露這一本質(zhì)的關(guān)鍵思想. 在教學(xué)解析幾何時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷如下過(guò)程：①將幾何問(wèn)題代數(shù)化，通過(guò)代數(shù)方法探索其內(nèi)在聯(lián)系;②深入分析和處理代數(shù)問(wèn)題;③研究代數(shù)結(jié)論在幾何問(wèn)題解決中的應(yīng)用.

在理解教學(xué)的基礎(chǔ)上將上述流程與思想滲透于整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，具體措施為：從幾何的角度揭示直線與圓的位置關(guān)系—通過(guò)比較d與r的大小或利用方程的判別式進(jìn)行代數(shù)化探究—得出具有幾何意義的代數(shù)結(jié)論. 這不僅明確了課堂教學(xué)的思路，也為教學(xué)設(shè)計(jì)提供了可靠的依據(jù).

2. 理解學(xué)生，增強(qiáng)學(xué)習(xí)體驗(yàn)

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是課堂的主人. 教師應(yīng)當(dāng)在理解學(xué)生的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，并在理解教材的基礎(chǔ)上整合教學(xué)資源. 教師應(yīng)依據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，將教材中規(guī)范而靜態(tài)的內(nèi)容和素材轉(zhuǎn)化為更易于學(xué)生接受的形式，從而促進(jìn)學(xué)生更有效地構(gòu)建新知. 在本節(jié)課中，教師深入理解學(xué)生的需求，精心整合教材內(nèi)容，并根據(jù)學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng). 通過(guò)周密的課堂策劃，引導(dǎo)學(xué)生親自參與知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，從而激發(fā)積極的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，并自然而然地掌握新知.

3. 理解數(shù)學(xué)，提升教學(xué)成效

理解數(shù)學(xué)是指教師結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平、教學(xué)環(huán)境等有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，將一些重要的思想方法滲透于教學(xué)過(guò)程中，促使學(xué)生在思維的辨析中不斷提高認(rèn)知水平，發(fā)展核心素養(yǎng). 在本節(jié)課中，學(xué)生通過(guò)回顧舊知，自然而然地將思維過(guò)渡到對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索中，并基于數(shù)形結(jié)合的視角去探索直線與圓的位置關(guān)系，從而順利提煉出問(wèn)題背后所蘊(yùn)含的思想方法，充分體會(huì)了“將幾何問(wèn)題代數(shù)化”的價(jià)值與意義.

總之，“三個(gè)理解”理念指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，可引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行實(shí)踐和思考，激發(fā)他們?nèi)ヌ剿鳌⑷ジ惺堋⑷ダ斫猓H身體驗(yàn)知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程，從而不斷提升數(shù)學(xué)思維，提煉數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，真正意義上培養(yǎng)核心素養(yǎng).