追求自然、樸實的數(shù)學課堂

[摘 要] 隨著新課改的推進，各種新興的教學手段給課堂注入了新的活力. 在這熱鬧的大環(huán)境下，研究者發(fā)現(xiàn)回歸自然、樸實的課堂教學模式另有一番風采. 文章以“正弦、余弦函數(shù)的圖象”為例，從“自主閱讀，揭示新課”“積極互動，探索畫圖”“練習訓練，鞏固提升”“總結歸納，拓展延伸”四個方面展開教學設計，具體探討關于自然、樸實的數(shù)學課堂的實踐與思考.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;課堂教學;自然;樸實

作者簡介：張彩霞（1981—），一級教師，從事高中數(shù)學教學工作.

數(shù)學是自然、樸實、清楚且有用的學科. 如何將這些特點應用在課堂教學中呢？事實證明，教師在課堂中適當引導、鼓勵與期盼，可有效激活學生的學習熱情，促使學生樹立良好的數(shù)學觀. 因此，大家可將樸實、自然、流暢作為課堂教學的基本標準，以不斷優(yōu)化學生的思維，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

反觀當下的數(shù)學課堂，想要達到這一標準并不容易，究其主要原因在于每一位教師的執(zhí)教理念有較大差別，尤其是新課改的推進讓部分教師更注重各種新興教學手段的應用，一不小心就偏離了教學的初心. 因此，筆者對追求自然、樸實的數(shù)學課堂進行了大量實踐與思考，現(xiàn)以“正弦、余弦函數(shù)的圖象”為例，展開教學分析.

教學過程設計

1. 自主閱讀，揭示新課

師：本節(jié)課將要探索的核心內容為三角函數(shù)中正弦、余弦函數(shù)的圖象. 現(xiàn)在給大家1分鐘的時間，打開課本自行閱讀，感知本節(jié)課將要接觸的知識有哪些.

生1：本節(jié)課的初始階段主要涉及正弦、余弦函數(shù)的定義及其相關內容.

生（眾）：它們的定義域均為R.

師：很好，基于過往的學習經(jīng)驗和剛才的課本閱讀，誰能說一說，當遇到一個新函數(shù)時，我們一般從哪些方面著手探究？

生2：一般從定義、圖象、特殊點、性質等方面去探究.

師：不錯，通過之前的學習，大家都已經(jīng)明確了三角函數(shù)有周期性規(guī)律，由此讓你想到了什么？

生3：“周而復始”，揭露了函數(shù)圖象的關鍵特征.

師：本節(jié)課我們著重探究正弦、余弦函數(shù)的圖象，看看它們具備怎樣的特征.

設計意圖 考慮到部分學生缺乏預習的習慣，因此課堂上給學生1分鐘的時間帶著問題快速瀏覽教學內容，初步做到“先學”的目的. 通過閱讀課本，學生從簡諧運動的位移與時間關系的圖象中感知數(shù)學與生活、社會、科技的關聯(lián)性，體會三角函數(shù)在變化過程中所擁有的特殊規(guī)律，從而更直觀地理解正弦、余弦函數(shù)圖象的特征，為規(guī)范、標準地作圖奠定基礎.

2. 積極互動，探索畫圖

（1）繪制正弦函數(shù)的圖象

師：大家認為，如何繪制正弦函數(shù)y=sinx的圖象呢？

生4：結合以往的學習經(jīng)驗，我們可以通過“列表、描點、作圖”這三個步驟來完成繪制.

師：這種方法是否適用于正弦函數(shù)呢？現(xiàn)在請大家取出紙、筆、尺等，準備作圖.

生5：在取值方面，是否需要從整個實數(shù)范圍內選?。?/p>

師：這是一個非常好的問題. 實際上，取值也需要一定的策略和技巧，并非數(shù)量越多越好. 當然，我們也不能隨意選取幾個數(shù)值去描點. 那么，哪位同學愿意具體來說一說？

生6：因為任意角的正弦值，均能轉化為區(qū)間[0，2π]上的角的正弦值，因此無需描繪太多點.

師：不錯！既然明確了這一特點，那么作圖就變得簡單了. 現(xiàn)在請大家自主作出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，然后比一比誰作出的圖象更精確.

師：想要作出精確、規(guī)范的圖象，有什么地方值得特別注意？

生7：不能減少所描繪的點數(shù)，只有當點的數(shù)量達到一定閾值時，圖象才能變得更加精確.

師：如果準備描繪100個點，那么該怎么取點呢？

生8：我認為可以隨機取點.

師：雖然隨機取點能夠體現(xiàn)函數(shù)的特征，但此方法耗時且費力，是否存在更為便捷的方法呢？

生9：用“等間隔法”來取點，效果不錯. 例如將區(qū)間[0，2π]分為100等份，從0開始，每隔個單位長度就取一個x值，那么就存在一個相對應的y值，然后通過描點、連線，獲得圖象.

師：這是一個不錯的方法，所取的點既有規(guī)律又有代表性. 問題是當我們取到x值時，又如何獲得對應的y值呢？

生10：由于這些角度的正弦值并不常見，因此需要查閱表格或使用計算器來獲取相應的數(shù)值.

師：但由這種方法得到的數(shù)值只是近似值，無法精確描繪出點的位置. 那么，我們如何解決這個問題呢？換句話來說，我們能否找到一種方法來準確表示某個角度的正弦值？

（學生搖頭）

師：大家之前是否遇到過可以用來表示正弦值的方法？

生11：遇到過，正弦線可以用來表示正弦值.

師：具體該怎么操作呢？

生11：第一步，繪制角α的終邊，獲得該邊與單位圓的交點P，同時過點P作x軸的垂線，M為垂足，由此獲得線段MP=sinα.

教師充分肯定了這位學生的方法，并引導學生將區(qū)間[0，2π]分為12等份，從0開始，每隔個單位長度取一個x值，在單位圓上繪制與這些角有關的正弦線. 教師邀請學生上黑板展示作圖技巧，并要求他們根據(jù)y=sinx位于區(qū)間[0，2π]上的圖象，自主分析y=sinx于實數(shù)范圍內的圖象的繪制方法.

生12：只要將y=sinx位于區(qū)間[0，2π]內的圖象進行左、右平移即可.

師：這種思路沒問題，但表述得還不精確，應該說清楚平移多少個單位長度，比如平移1個單位長度行不行？

生13：不行.

師：現(xiàn)在請大家再次回歸到課本，看看教材是如何描述“正弦函數(shù)圖象（正弦曲線）”的. 若作正弦函數(shù)位于區(qū)間[0，2π]內的圖象，均采取這種描點法，會不會比較煩瑣？有沒有辦法能更加簡單、快捷地作出y=sinx位于區(qū)間[0，2π]內的圖象？

生14：我認為只要將五個特殊點描繪準確了，大致圖象就出來了.

師：哦？具體說一說是哪五個點.

生14：（0，0），（π，0），

，-1，

，1和（2π，0）.

師：大家贊同這位同學的說法嗎？為什么？

生15：贊同，因為他捕捉到了問題中的主要矛盾，這五個點容易確定又很重要，分別涵蓋了函數(shù)的最高點和最低點，以及與x軸的交點，等等.

師：非常好！現(xiàn)在我們已經(jīng)初步了解了正弦曲線的形狀，在對圖象精確度要求不特別高的情況下，可借助這五個關鍵點繪圖，這種方法省時省力，實用性強. 但這種方法的精確度有限，僅適用于制作簡圖或大致的圖象.

（2）繪制余弦函數(shù)的圖象

師：接下來，我們一起探索“余弦函數(shù)y=cosx的圖象”的繪制法.

生16：先繪制y=cosx位于[0，2π]內的圖象，再進行左、右平移.

師：這是通過類比正弦函數(shù)的作圖方法來繪制余弦函數(shù)的圖象，然而這種方法耗時且費力. 是否存在更簡便的作圖方法呢？我們可以從以下這個方面進行思考：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間存在著緊密的聯(lián)系. 既然正弦函數(shù)的圖象已經(jīng)清晰了，那么我們能否從這兩個函數(shù)之間的關系中，探索出一種更簡便的作圖方法呢？

生17：這兩個函數(shù)之間的關系有sin2x+cos2x=1，cosx=sin

-x，cosx=sin

+x.

師：你們認為這三個關系式中，哪一個更易于繪制余弦函數(shù)的圖象？請說明理由.

生18：用cosx=sin

+x更易于繪制余弦函數(shù)的圖象. 理由為：sin2x+cos2x=1為平方關系，這類關系式所對應的圖象不明確;從y=sinx到y(tǒng)=sin

-x=cosx，需經(jīng)過兩次轉化，比較復雜;而從y=sinx到y(tǒng)=sin

+x=cosx，僅需一次平移即可，因此更加簡便.

師生通過共同探索，發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)的圖象可由正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位長度得到. 同時，正弦、余弦曲線處于直線y=1與y=-1之間，并向左、右無限延伸，它們的形狀完全一致，僅在位置上有所區(qū)別.

設計意圖 在師生互動與探索的過程中，學生對正弦和余弦函數(shù)的作圖方法的理解和掌握經(jīng)歷了以下四個主要思維階段：①簡化作圖，以作y=sinx，x∈R的圖象為起點，簡化為作y=sinx，x∈

0，

的圖象;②從毫無規(guī)律的描點，轉變?yōu)槔脝挝粓A的正弦線來作圖;③從作精確圖象轉化為作大致圖象;④將正弦函數(shù)的圖象平移為余弦函數(shù)的圖象. 學生的思維在連貫的轉化過程中不斷得到優(yōu)化和提升，潛移默化中培養(yǎng)了轉化與化歸思想.

3. 練習訓練，鞏固提升

要求學生自主作出下列函數(shù)的大致圖象：①y=1+sinx，x∈[-π，π];②y=-cosx，x∈[-π，π].

學生自主完成作圖，教師隨后挑選兩位學生的畫作進行投影展示，與全班同學一起探討在作圖過程中應注意的事項，并共同思考以下問題：①如何尋找五個點？②如何進行圖象變化？③在作圖的過程中，哪些環(huán)節(jié)容易出錯？

設計意圖 具有明確針對性的練習不僅能夠加強學生對正弦和余弦函數(shù)圖象的理解，深化他們運用“五點法”作圖以及掌握圖象變化的實際操作能力，還能助力學生提煉轉化思想和數(shù)形結合思想.

4. 總結歸納，拓展延伸

要求學生闡述本節(jié)課所學的繪制正弦、余弦函數(shù)圖象的方法，每種方法具有什么特點，以及它們涉及哪些數(shù)學思想;要求學生課后應用本節(jié)課所學的方法作y=sinx的圖象，分析不等式sinx<（x∈[-π，π]）的解.

設計意圖 回顧作圖方法有助于學生維持思維的連貫性，而拓展作業(yè)則為深入探索作圖方法的內涵打下基礎，同時也能在一定程度上激發(fā)學生的探索熱情.

幾點感悟

1. 在自然的基礎上進行課堂預設

深入掌握學情是精心設計和促進課堂動態(tài)生成的核心，鑒于部分學生未能充分預習，教師應在課堂上安排時間讓學生閱讀教材，以便對教學內容有一個初步的了解. 這種教學策略本質上對教師的教學能力提出了更高的要求，它體現(xiàn)了教師的專業(yè)素質和對教學的敏感度. 課堂預設的多少直接決定了課堂是富有創(chuàng)造性的生成型還是單向的注入式. 預設不足可能導致授課時內容牽強附會;預設過多則可能造成填鴨式的教學;只有科學和適度的預設，才能使課堂自然流暢、真實有效.

在倡導課堂自然生成的教育理念下，對預設情境的重視顯得尤為關鍵. 本節(jié)課在知識的連接點上采用了自然預設的方式，并取得了顯著的教學效果. 例如，在探討如何由y=sinx的圖象獲得y=cosx的圖象時，盡管課前預設能使學生準確運用平移方法來解決問題，但在實際教學過程中，學生的表述尚不充分. 因此，教師適時地提出了“平移1個單位長度行不行”的問題，巧妙地促進了學生認知體系的完善.

2. 在樸實的基礎上突破教學難點

如果教師采取“告知式”的教學方式來解釋為何使用正弦線描繪正弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的圖象，那么學生可能感到困惑：為什么這種方法更精確？是如何想到這種方法的？將單位圓等分的理由是什么？有些點可以描得很準確，為何還要借助正弦線來描點？等等. 如果教師引導學生自主聯(lián)想到正弦線，那么上述問題便可迎刃而解，學生亦能從本質上理解并掌握其原理.

因此，教師應在樸實的基礎上引導學生突破教學重點與難點，為學生的思維搭建“腳手架”，使他們從本質上理解描點法畫圖時所選擇的點必須具有典型代表性，而非僅僅追求數(shù)量. 正弦線正是這種選擇的典范.

3. 在流暢的基礎上滲透數(shù)學思想

眾所周知，知識的掌握是暫時的，而思想方法的掌握才是長久的，數(shù)學思想方法隱藏在知識的探索過程中. 本節(jié)課的探索過程之所以自然、流暢，正是因為對思想方法的處理較為靈活，例如數(shù)形結合思想的形成，就經(jīng)歷了“數(shù)”與“形”互相轉化的過程. 即以“形”為起點，通過作圖來揭示三角函數(shù)的變化規(guī)律，引導學生在感知、操作、思辨、計算的過程中提煉出數(shù)形結合思想.

另外，就作圖而言，精準度與效率是關鍵，因此選點尤為重要. 通過探索發(fā)現(xiàn)，繪制正弦函數(shù)圖象時選取五個特殊點，可以顯著提高繪圖效率. 這一過程緊密貼合數(shù)學的本質，體現(xiàn)了化歸與轉化思想，同時也使課堂更加自然、樸實、高效.

總之，數(shù)學學科對于學生的智力和理性思維的發(fā)展具有深遠的價值和意義. 教師在教學時應遵循自然、簡潔、流暢的教學原則，從而有效地實現(xiàn)教學目標，培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).