立足學生發展 提升數學素養

[摘 要] 新課標強調學生的全面發展及數學學科核心素養的落實. 基于這一目標，教師需及時更新教學理念，以及數學學科核心素養的培養機制，引導學生深入理解數學知識的形成過程，充分挖掘學生的主體潛能，以促進其長期發展. 在講授等比數列的定義及其通項公式時，教師應以核心素養為指導，以學生發展為重心，精心策劃教學流程，引導學生通過類比的方式進行分析、探索和歸納，從而逐步增強學生的綜合能力和素養，提升教學有效性.

[關鍵詞] 核心素養;等比數列;類比

作者簡介：包洪乾（1981—），本科學歷，中小學一級教師，從事高中數學教學工作.

隨著《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）的發布，培養學生的數學學科核心素養已成為高中數學教學的核心任務. 對于每位數學教師來說，如何在繼承數學教學的優良傳統的同時，為學生數學學科核心素養的發展探索新的路徑，是一個需要在教學實踐中不斷學習、思考和反思的問題. 作者認為，鑒于新課標已經明確指出數學學科核心素養的發展是數學教學的主要目標，當前的教學活動應以此目標為導向. 同時，必須認識到學科核心素養的發展是學生個人的事情，教師的所有努力最終都應服務于學生的實際需求. 因此，只有堅持以學生為中心的教學理念，激發學生在數學學習中對知識積累和核心素養發展的內在動力，才能確保核心素養的真正落實.

等比數列作為高中數學的核心內容之一，同時也是高考中的關鍵考查點. 在講授等比數列時，筆者依據學生的已有知識和經驗，精心設計了一系列探究性問題，旨在引導學生主動參與知識的形成過程. 現將教學設計過程分享給大家，供參考. 若有不足，請指正.

教學分析

1. 教材分析與學情分析

等比數列是緊隨等差數列之后，又一基礎且普遍的數列類型，它標志著對數列知識的進一步深入探究與拓展. 等比數列與等差數列雖共享諸多相似性質，但二者間亦存在顯著差異. 在對等比數列進行研究時，可將其與等差數列進行類比，以此歸納等比數列的概念，推導等比數列的通項公式，從而培養學生的自主探究能力，提升學生的數學素養.

從學生的知識基礎出發，他們在學習等比數列時，不僅可能喚醒大腦中與等比數列相關的、但尚未用專業數學語言表述的直覺經驗，還可能激發基于等比數列規律的規律性思維. 對于高中生而言，掌握基本的等比數列通常不是難題，他們往往能夠迅速識別其中的規律，并用準確的數學語言進行描述. 因此，在教學過程中，教師應充分考慮學生的這一實際能力，采取循序漸進的教學策略，以促進學生在等比數列知識構建上的優秀表現. 這不僅有助于數學知識的積累，而且對于數學學科核心素養的發展，特別是數學思維的培養，具有重要的積極影響.

2. 教學目標

（1）理解和掌握等比數列的定義，了解公比、中項的概念;

（2）精通等比數列的通項公式及其推導過程，并能夠運用該公式解決實際問題;

（3）通過類比探究，培養學生分析、歸納、推理的能力，以提升其數學學科核心素養.

3. 教學重點和難點

（1）掌握等比數列的定義及其通項公式;

（2）應用等比數列的定義及其通項公式.

教學過程

1. 回顧舊知，引出主題

問題1 我們學習了等差數列的哪些內容？當時我們是如何研究的？

師生活動：教師提出問題，學生歸納總結.

設計意圖 引導學生回顧等差數列的相關知識，為掌握等比數列的定義及其通項公式提供必要的知識準備.

情境1 曾有一位數學家說過，如果將一張紙對折38次，他就可以順著紙爬到月球上去. 那么，每次對折后紙張的層數是多少？真的有那么長嗎？

師生活動：學生動手操作，思考交流.

設計意圖 引導學生動手操作，發現蘊含其中的規律，為等比數列的引入積累感性素材. 同時借助情境讓學生感受數列在生活中的實際應用，為后續等比數列求和埋下伏筆.

2. 自主探究，提升能力

問題2 觀察下列數列，看看它們有何共同特點. 結合等差數列的學習經驗，你能用數學語言來表示共同特點嗎？

（1）2，4，8，16，…;

（2），，，，…;

（3）0.1×2，0.1×22，0.1×23，…，0.1×227.

設計意圖 借助實例引導學生對比觀察、歸納總結，自然引出新課程——等比數列.

問題3 對比等差數列和等比數列，請說一說，兩者有何異同呢？

師生活動：問題給出后，學生積極互動交流，明確兩個數列的后項與前項存在某種數量關系，在等差數列中，這個數量關系是通過作差來呈現的，而在等比數列中，則是通過作商來呈現的.

設計意圖 引導學生對比等差數列和等比數列的異同，有效溝通新舊知識的內在聯系，為引出等比數列的定義做鋪墊.

問題4 類比等差數列的定義，你能給等比數列下定義嗎？

師生活動：教師在課堂上點名，要求學生闡述等差數列的概念，并通過PPT展示其定義. 隨后，教師引導學生運用類比的方式進行推理和總結. 最終，教師對學生的歸納進行點評，并正式給出等比數列的定義.

設計意圖 通過類比讓學生感悟數學知識間的內在聯系，培養學生觀察問題、分析問題的能力. 同時，引導學生經歷思考、交流、歸納等學習過程，幫助學生突破本節課的重難點問題，提高學生的自主學習能力[1]. 另外，教學中教師引導學生用數學語言進行歸納總結，讓學生深刻體會數學語言的嚴謹性和簡潔性. 這樣不僅能夠提高學生的歸納概括能力，還能增強他們的語言表達能力，進而提升他們的數學素養.

問題5 對于下列三個等比數列，請分別說一說它們的首項是什么、公比是什么. （教師又給出問題2中的三個數列讓學生進一步觀察、分析）

（1）2，4，8，16，…;

（2），，，，…;

（3）0.1×2，0.1×22，0.1×23，…，0.1×227.

師生活動：問題提出后，教師點名讓基礎稍顯薄弱的學生來回答.

設計意圖 借助練習了解學生對等比數列首項、公比等概念的掌握情況，從而為接下來研究等比數列的通項公式提供知識準備.

問題6 下列數列是否為等比數列？如果是，請給出它的首項和公比;如果不是，請說一說你的理由.

（1）243，81，27，9，…;

（2）1，-，，-，…;

（3）1，0，1，0，…;

（4）2，2，2，2，….

師生活動：教師先讓學生獨立辨析，然后組織學生集中討論，最后總結歸納出如下結論. ①在等比數列中，每一項和公比q都不為0;②求公比q必須是后一項除以前一項;③若數列{a}的公比q=1，則{a}不僅是等比數列，還是等差數列和常數數列.

設計意圖 通過實例進行思考和辨析，進一步加深學生對等比數列定義的理解. 同時，在此過程中，教師通過特例引導學生進行歸納總結，明確一個數列是等比數列的限定條件，從而提高學生發現問題和解決問題的能力，并培養他們思維的嚴謹性和深刻性.

情境2 年初，小明的媽媽在一家銀行存入了一萬元人民幣作為定期存款，存款期限定為一年，年利率為1.9%. 請問當存款期滿時，小明的媽媽可以提取多少錢？如果次年本金和利息自動續存（年利率不變），那么10年后，小明的媽媽能夠提取多少錢？（只列式子不計算）

設計意圖 以生活情境為背景，讓學生體驗數學與日常生活的緊密聯系，引導他們利用新知解決問題，從而培養學生的數學應用意識，并提高他們分析和解決問題的能力.

3. 深入探究，應用鞏固

問題7 試猜想下列等比數列的通項公式.

（1）2，4，8，16，…;

（2），，，，…;

（3）0.1×2，0.1×22，0.1×23，…，0.1×227.

師生活動：教師先讓學生猜想，然后引導學生回顧等差數列通項公式的推導過程，以此引發學生推導等比數列通項公式的熱情. 學生通過合作探究，得到以下推導過程：=q，=q，=q，…，將各式左右相乘，得···…·=qn-1，所以等比數列的通項公式為a=aqn-1. 在推導出等比數列的通項公式之后，教師指導學生運用該公式表達上述等比數列的通項，并鼓勵他們對比自己的解答與先前的假設. 該過程旨在讓學生深刻體驗數學建模的實際優勢，并激發他們對數學建模的興趣和意識.

設計意圖 引導學生親歷觀察、猜想、類比等過程，推導等比數列的通項公式，從而培養他們的推理能力和合作意識.

問題8 類比等差數列的中項及其公式，你有什么發現？

師生活動：教師利用特例引導學生觀察、交流和歸納，使學生得到等比數列中項的定義及其公式.

設計意圖 通過類比探究，培養學生的推理與總結歸納能力，引導他們以發展的眼光分析問題，從而增強其數學思維能力.

4. 課堂練習，加深理解

為了進一步加深學生對等比數列及其通項公式的理解，教師從教學實際出發，設計以下練習：

（1）已知等比數列的第3項是12，第4項是18，求該數列的第1項和第2項;

（2）已知等比數列的首項是1，公比是3，求該數列的第6項及通項;

（3）在等比數列{a}中，已知a=3，q=2，a=24，求n;

（4）在等比數列{a}中，已知a=6，a=48，求a，q和a;

（5）對于情境2，請問第15年可取多少錢？你能寫出它的通項公式嗎？

師生活動：教師鼓勵學生獨立完成問題解答，并展示他們的思考過程. 解答完畢后，教師指導學生歸納總結，明確通項公式中各個變量的含義，并體會方程思想方法的實際應用.

設計意圖 指導學生運用等比數列的通項公式來解決實際問題，深化他們對等比數列通項公式的掌握，體會方程思想方法的重要性，從而提高學生的思維品質.

5. 課堂小結，升華認知

問題9 通過本節課的學習，你有哪些收獲？

設計意圖 教師激勵學生以小組合作的形式進行探索性學習，整理相關知識和思維策略，以此培養他們的表達技巧和總結概括能力.

教學思考

1. 精心設計，落實素養

新課標強調，高中數學教師不僅要關注學生對知識和技能的掌握情況，更要關注學生的數學能力和思維能力的發展情況;不僅要讓學生學會知識，更重要的是要讓學生會學知識，促進學生數學核心素養的落實[2]. 因此，在高中數學教學中，教師應結合教學內容設計教學情境，引導學生經歷知識生成的過程，從而落實“四基”、發展“四能”，提升數學學科核心素養. 實際上，從數學學科核心素養要素的視角來審視等比數列知識的教學，我們可以發現，在問題驅動下，學生進行思考時，往往伴隨著對等比數列相關知識的關注. 這些知識中許多與現實生活緊密相連，因此，它們可以作為培養學生數學抽象素養的有效載體. 在構建和理解等比數列的過程中，學生的思維參與至關重要，這自然促進邏輯推理素養的發展. 當學生借助數學語言去理解、表達和應用等比數列時，他們的數學建模能力能得到有效的提升. 此外，等比數列的學習和應用所涉及的數學運算，為數學學科核心素養的實踐提供了堅實的基礎.

2. 以生為主，提升能力

學生是課堂教學的主體，因此教學中需要預留充足的時間讓學生獨立思考和合作探究，從而培養學生良好的思維品質，提高他們的數學能力. 在本節課教學中，教師從學生現有認知水平出發，精心設計問題，充分調動學生參與課堂的積極性，讓學生在解決問題的過程中獲得知識、提升技能、發展素養. 在多個教學案例研究的過程中，筆者均發現，核心素養的培養必須以學生為中心，確保學生真正成為教學的主體. 只有當教學以學生為主體時，才能清晰地梳理教學邏輯，并確保教師精心準備的教學內容有效地轉化為學生的素養和能力. 因此，堅持“以生為主”去提升能力，就可以奠定核心素養發展的基礎.

總之，在高中數學教學中，教師應學會從學生的角度思考和提出問題，引導學生經歷觀察、思考、交流、歸納等過程，鼓勵學生類比探究，讓學生在獲得知識的同時，建構知識體系，提高邏輯推理、歸納概括、數學遷移等能力和素養，從而促進全面發展.

參考文獻：

[1] 李永永.將數學核心素養滲透于概念教學中：以“排列”的概念教學為例[J]. 數學教學通訊，2022（18）：31-32.

[2] 繆勇. 提升高中數學教學有效性的方法[J]. 試題與研究，2022（24）：23-25.