基于問題導向的高中數學教學實踐與思考

[摘 要] 問題導向教學，作為一種創新的教育方法，著重于通過提問激發學生的數學學習興趣，培養學生獨立思考的能力，促進學生主動學習. 在高中數學教學實踐中，教師可以將教學內容融入問題探究中，讓學生通過解決問題深化對知識的理解，提高學習效率，培養思維品質.

[關鍵詞] 問題導向教學;問題探究;學習效率

作者簡介：陳李志（1972—），本科學歷，一級教師，從事高中數學教學與研究工作.

隨著新課改的不斷推進，高中數學教學方法也在不斷發生變化. 如何通過恰當的教學方法激發學生在數學學習中主動探索，并培養他們將知識應用于實踐的能力，這不僅挑戰著教師對《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱新課標）的深刻理解，也考驗著教師在教學現場的實踐技巧. 筆者認為，在實施新課標的過程中，我們既要致力于將新課標所規定的普通高中數學課程的核心要素與日常教學緊密融合，同時也要堅持保留傳統數學教學中有價值的成分. 這樣，我們才能在繼承與創新的平衡中，有效地落實核心素養. 筆者在研究過程中發現，傳統的高中數學教學非常注重問題的設計和提出，這種做法在教學實踐中具體體現為一種問題導向的教學模式. 與傳統的問題導向教學不同，新課標背景下的問題導向教學著重強調“以生為本”的教學理念，通過問題優化數學課堂，確保問題在激發學生學習興趣、提高自主學習能力等方面發揮關鍵作用. 實際上，正是因為問題導向教學方法具有其獨特的優勢，它在教學領域得到了廣泛的應用. 在教學“函數的單調性”時，可以采取問題導向教學方法，培養學生在概念形成階段發現、探究和解決數學問題的能力，進而促進其數學學科核心素養的發展.

教學分析

1. 內容分析與學情分析

函數的單調性，作為函數四大基本性質之一，不僅是對函數概念等知識的延續和拓展，而且又是研究指數函數、對數函數、三角函數等各類函數單調性的基礎. 它在求解函數值域、最值以及比較數的大小等方面具有廣泛的應用. 探究函數單調性的過程，展現了數形結合、歸納與轉化以及從特殊到一般等數學思想方法. 這些思想方法對于培養學生的數學能力以及提高他們的數學素養具有深遠的影響. 通過本課程的學習，不僅可以加深學生對函數本質的理解，而且能為深入研究函數的其他性質打下基礎.

在深入分析學情之前，先來探討學生對函數單調性的理解. 大多數學生在學習函數的單調性時，常常會感到困惑. 他們難以理解為何函數的變化要用“單調性”這一術語來描述. 這表明，在教學過程中，恰當地引入函數單調性概念的時機至關重要. 深入探究學生的學習狀況揭示，面對函數圖象時，學生往往能夠運用其幾何直覺，辨識出函數圖象的變化特征，并且認識到這些特征在不同區間具有差異性. 學生的這種直觀理解構成了函數單調性學習的基礎. 在實際教學中，教師應當通過問題激發學生的這些認識，確保問題能夠有效地引導學生構建思維和知識體系.

2. 教學目標

（1）理解并掌握函數單調性的概念，能夠運用函數單調性的定義來證明函數的單調性.

（2）感悟數形結合、特殊與一般、歸納與轉化等思想方法的價值，提高觀察能力、分析歸納能力，發展數學抽象、邏輯推理等核心素養.

3. 教學重點和難點

（1）掌握函數單調性的概念，深刻理解函數單調性的本質;

（2）用函數單調性的定義來證明函數的單調性.

教學過程

1. 創設情境，引入概念

問題1 觀察圖1、圖2，它所反映的是相應函數的哪些變化規律？

師生活動：在教師的啟發和指導下，學生通過觀察、交流提出“隨著x的增大，y隨之變化”.

設計意圖 借助圖象讓學生直觀感知隨著x的增大，y增大或減小，激發學生的探究熱情，為新課程的順利導入做好準備. 該設計實際上是在前述學習分析的基礎上構建的. 在這一階段，學生的直覺感知構成了問題導向學習的基礎. 提供兩個圖象的目的在于引導學生通過對比，理解函數圖象所展示的變化特性與自變量取值范圍之間的聯系. 通過構建這樣的認識，并在“觀察圖象”和“識別函數變化規律”等活動下提出問題，可以激發學生在問題驅動下激活思維，探究函數單調性.

問題2 請畫出函數y=x2的圖象，觀察圖象的變化規律，并用數學語言加以描述.

師生活動：引導學生通過“列表—描點—連線”繪制函數圖象，并借助表格和圖象進行分析. 學生通過互動交流達成共識：在（-∞，0）上，隨著x的增大，y減小;在（0，+∞）上，隨著x的增大，y增大.

設計意圖 通過動手實踐、動眼觀察和動腦思考，學生能夠深刻理解隨著x的增大，y增大或減小的特性，為理解增函數和減函數的概念打下基礎. 之所以鼓勵學生運用數學語言來闡述他們的發現，目的在于通過問題的引導，促使學生在問題的驅動下，將他們用日常語言表述的直覺理解，轉變為用數學語言精確表達的深刻認識.

2. 觀察歸納，形成概念

問題3 構成圖象的基本要素有哪些？它們與圖象的變化之間存在怎樣的聯系？

學生活動：學生通過交流，明確構成函數圖象的基本要素是點，而觀察函數圖象的實質，即觀察這些點的變化.

問題4 如何刻畫函數圖象的運動變化呢？

學生活動：有了問題3的鋪墊，學生很容易想到利用動點（x，y）來刻畫函數圖象的運動變化.

問題5 用幾個點來刻畫函數圖象最為合適？一個點？兩個點？三個點？……

師生活動：學生通過交流發現，若僅使用一個點，就缺乏對比，難以展現圖象變化的特性;而使用三個點，則它們之間的變化過于復雜. 因此，最終確定使用兩個點來刻畫圖象的運動變化.

設計意圖 通過環環相扣的問題引導學生分析引發函數圖象變化的實質，由此明確利用動點刻畫圖象變化的合理性. 另外，教師引導學生對比分析，發現若選擇兩個點來刻畫圖象的運動變化，不僅可以比較，而且不會太復雜. 經過上述分析過程，為接下來使用定義法來證明函數單調性奠定了基礎.

問題6 動點（x，f（x））和（x，f（x））中，隨著x，x的變化，其縱坐標f（x）和f（x）也隨之變化，這樣用數值來刻畫圖象的運動變化比較困難，如何解決呢？

師生活動：學生通過交流和爭論，一致認為固定兩個動點的橫坐標——固定x，x，即令xx，就可以比較f（x）和f（x）的大小，從而知曉函數圖象的變化趨勢.

設計意圖 從學生已有的知識和經驗出發，讓他們理解用變化的數值來刻畫圖象的運動變化比較困難，由此自然而然地引發學生思考如何將坐標固定下來，以便更深入地掌握函數單調性的概念.

問題7 對于x，x的取值，除了令xx外，還有其他要求嗎？

學生回答道：x，x是定義域的元素，用字母D表示，即x，x∈D.

問題8 任取x，x∈D，且xx，其對應的函數值存在怎樣的關系？又該如何刻畫呢？

師生活動：學生通過交流得知，若在區間范圍內都有f（x）f（x），則說明在該區間范圍內，隨著自變量x的增大，f（x）逐漸增大;反之，在該區間范圍內都有f（x）f（x），則說明在該區間范圍內，隨著自變量x的增大，f（x）逐漸減小. 在教師的指導下，學生學會利用數值來刻畫函數遞增或遞減的性質.

問題9 基于以上分析，你能否提供增函數的定義？

師生活動：學生負責整理和歸納知識點，而教師則在此基礎上進行補充和完善. 隨后，教師利用PPT展示增函數的定義. （定義內容略）

追問：根據增函數的概念，你能否提供減函數的定義？

學生活動：學生通過類比增函數的定義，輕松提出減函數的定義. （定義內容略）

問題10 討論分析增函數和減函數的定義，說說定義中的關鍵詞有哪些.

師生活動：教師在PPT中呈現增函數和減函數的定義，引導學生進行觀察、分析和交流. 學生從中抽象出以下關鍵詞：定義域、區間、任意、都有.

追問：你是如何理解這些關鍵詞的？

師生活動：教師創造機會鼓勵學生積極表達自己的觀點，隨后師生共同參與討論，從而更深入地理解增函數和減函數的定義.

設計意圖 通過引導學生自主探究，幫助他們歸納并總結增函數和減函數的形式化定義，從而讓學生領略數學的簡潔之美和嚴謹之美. 在此過程中，一旦學生掌握了定義，教師應進一步引導他們提煉并深入分析定義中的關鍵詞. 這樣的做法有助于學生準確且深刻地理解增函數和減函數的定義，培養他們思維的嚴謹性和深度，同時提升他們的數學抽象思維和歸納概括能力. 上述問題構成了一個連貫的問題鏈，旨在逐步引導學生的思維不斷深化. 在這一過程中，學生能夠從直觀感受出發，逐漸過渡到理性分析，即在數形結合的框架下，將通過函數圖象獲得的直觀感受轉化為用數學語言，特別是集合語言表達的理性理解. 這種認識的提升過程表明，學生在經驗積累的基礎上，形成了關于函數單調性的數學智慧. 這種智慧不僅支撐了對函數單調性知識體系的構建，而且為數學學科核心素養的發展奠定了基礎.

3. 應用舉例，深化概念

例1 圖3是函數y=f（x）在[-5，5]上的圖象. 請結合圖象分析函數y=f（x）的單調區間，并闡述在每個單調區間內，函數y=f（x）是增函數還是減函數.

學生活動：學生通過直觀觀察確定函數y=f（x）的單調區間為[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5]，其中，在[-5，-2]，[1，3]上是減函數，在[-2，1]，[3，5]上是增函數.

設計意圖 通過直觀觀察，進一步加深學生對函數單調性的理解，并鍛煉他們的數學表達技巧.

例2 判斷下列命題的真假：

（1）如果對于區間（0，+∞）上任意x，都有f（x）>f（0），那么函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數;

（2）x，x，x在區間（a，b）上，且當xxx時，f（x）f（x）f（x），則函數f（x）在（a，b）上是增函數.

師生活動：教師鼓勵學生利用畫圖或舉例的方式來闡釋. 對于第（1）問，忽視了“任意兩個”這一關鍵條件，在區間內選取單一值是不足以進行比較的，因此無法討論函數的單調性;對于第（2）問，忽視了“都有”這一關鍵條件，即便在區間內取多個值，也無法確保函數的單調性.

設計意圖 通過深入的思考和辨析，加深學生對“任意兩個”和“都有”等關鍵條件的理解，從而深化他們對函數單調性概念的認識，并提升他們的思辨能力.

例3 物理學中的玻意耳定律為P=（其中k為正常數），即對于一定質量的氣體，在溫度不變時，體積V減小，其壓強P增大. 請用函數的單調性加以證明[1].

師生活動：教師先安排時間讓學生獨立思考，隨后引導學生集體完成證明過程. 具體證明過程如下：

設V，V是定義域（0，+∞）上的任意兩個實數，且VV，則P（V）-P（V）=-=k·，V，V∈（0，+∞），VV>0. 由VV，得V-V0. 又k>0，所以P（V）-P（V）>0，即P（V）>P（V）. 所以，函數P=（V∈（0，+∞））是減函數. 也就是說，對于一定質量的氣體，在溫度不變時，體積V減小，其壓強P增大.

設計意圖 通過例題的講解和方法步驟的歸納，進一步加深學生對函數單調性的理解，提高學生應用知識解決問題的能力.

4. 總結反思，提高認識

問題11 本節課主要學習了哪些內容？你有哪些收獲？還存在哪些問題？

師生活動：教師安排時間讓學生回顧、反思和交流，隨后鼓勵學生進行互動和展示.

設計意圖 通過總結和反思，進一步深化學生對相關知識和思想方法的理解，豐富其知識儲備，并優化其認知結構，致力于提升學生的認知水平.

總之，在高中數學教學中，尤其在概念教學中，教師需認真分析教學內容和學情，結合教學實際創設有效的問題，以充分激發學生的主體性，有效提高學生的學習積極性，使學生明白“學習的內容”，掌握“學習的方法”以及“達到的學習深度”，從而提升他們的數學能力和數學素養.

參考文獻：

[1] 王征國.再談初高中數學的銜接教學，發展學生的數學核心素養：以高一《函數的單調性》教學為例[J].課程教育研究，2018（21）：150-151.