基于概念教學培育數學學科核心素養的措施研究

[摘 要] 概念是數學的根基，是培養學生學科素養的關鍵途徑. 文章以“直線與平面垂直的判定”教學為例，從“問題情境，引出主題”“深入探究，抽象概念”“討論交流，深化理解”“實驗輔助，揭露定理”“應用鞏固，夯實強化”“歸納總結，提煉升華”展開研究，并從以下幾個方面談一些思考與感悟：情境是聯系生活與數學知識的橋梁，逐層深入可深化學生對知識的理解，關注思維發展是提升核心素養的關鍵.

[關鍵詞] 概念教學;核心素養;數學教學

作者簡介：陳冠峰（1981—），本科學歷，高級教師，從事高中數學教學與研究工作.

在科技和經濟飛速發展的當下，社會對人才的渴求已超越了單純的學業成績，更加重視個人素養的提升. 數學作為一門基礎學科，在培養人才方面扮演著至關重要的角色. 那么，如何通過概念教學來提升學生的數學學科核心素養呢？這無疑是一個值得我們深入探討和研究的課題. 掌握新課程改革的導向，將“立德樹人”的教育理念置于概念教學的核心，可以顯著推動學生必備品格和關鍵能力的形成. 本文以“直線與平面垂直的判定”為例，探討如何利用概念教學來培養學生的數學學科核心素養.

教學過程設計

1. 問題情境，引出主題

問題1 在一個空間內，一條直線與一個平面之間存在的位置關系有哪幾種？

問題2 請自主列舉一些生活中直線和平面相交的情況.

問題3 旗桿與地面之間存在怎樣的位置關系？教學樓與地面呢？

問題4 如果將手中的數學教科書展開并垂直放置在課桌上，那么書脊與桌面之間存在怎樣的位置關系？

問題5 觀察圖1，此為我國古代用來計時的“日晷”，從這幅圖中能否探尋到線和面垂直的關系？

設計意圖 通過從簡單到復雜的日常生活實例，逐步引導學生直觀地理解線面垂直是線面相交的一種特殊情形. 通過深入思考和分析這系列問題，學生不僅對直線與平面垂直的概念有了深刻的理解，還通過日晷的探究活動，領略了數學文化的魅力，并體會到了數學知識的實際應用價值[1].

2. 深入探究，抽象概念

師：直線與平面垂直的例子在生活中數不勝數，關于這一關系該如何用標準、規范的數學語言來描述呢？現在，請大家觀看一段短視頻：將直角三角板ABC（點C為直角頂點）靠放在墻角，與墻面重合，直角邊AC所在的直線與墻角地面的垂直線重合. 圍繞AC邊旋轉直角三角板，確保AC邊始終與墻角地面垂直.

問題6 當直角三角板ABC圍繞AC邊旋轉時，其BC邊與地面之間存在怎樣的位置關系？

問題7 當直角三角板ABC圍繞BC邊旋轉時，其AC邊與BC邊所構成的角度會不會發生變化？

問題8 在旋轉過程中，AC邊與地面上任意一條不過點C的直線之間存在怎樣的位置關系？

問題9 如何根據以上情境抽象線面垂直的概念？

在學生自主探索抽象概念的過程中，教師可以提供以下指導：①你是如何理解線面垂直概念的？②類比將異面直線轉化為相交直線以探究線線垂直的方法，分析是否可以將線面垂直關系進行類似轉化？③鼓勵學生自主畫圖進行探索和思考;④借鑒線線垂直、線面平行等定義，思考是否可以用一條直線與平面內某條直線垂直來定義線面垂直關系？

設計意圖 短視頻的運用及其引發的問題激發學生的直觀視覺感知，引導他們在問題的驅動下逐步深化思考，并自主實現具體與抽象概念之間的靈活轉換，從而歸納出線面垂直的定義. 通過小組合作學習模式的實施，進一步提升學生在課堂上的主動參與度. 這樣的教學設計，旨在通過課堂探究活動，深入培養學生的數學抽象、邏輯推理和直觀想象素養.

3. 討論交流，深化理解

（1）辨析定義

問題10 若一條直線與一個平面之間存在垂直關系，那么這條直線與該平面內的任意直線之間存在怎樣的位置關系？

問題11 怎樣用數學符號描述上述關系？

問題12 如果將問題10中的“任意直線”替換為“所有直線”或“無數條直線”，所形成的命題是否仍然成立？

設計意圖 前兩個問題旨在激發學生深入思考，以加深對線面垂直概念的理解及其應用范圍，為后續學習打下堅實的基礎;而問題12則通過引導學生對定義進行細致的辨析，進一步加深對概念的理解，從而培養他們嚴謹的判斷能力.

（2）正反對比

問題13 列舉一些生活中線面相交卻不垂直的實例.

問題14 （展示比薩斜塔）為何比薩斜塔與地面之間并非垂直關系呢？

設計意圖 通過分別應用正例與反例，學生能夠學會從不同角度分析和思考問題，從而更深入地理解定義的現實意義，并體會到數學知識與日常生活的緊密聯系.

（3）辨析思考

問題15 若一條直線與一個平面垂直，則該直線與平面內的所有直線都垂直嗎？

學生通過使用三角板、筆和桌面進行模擬實驗，自主得到初步結論. 隨后，教師展示反例圖，以加深學生的理解，并揭示問題的正確答案.

設計意圖 這是一次辨析討論，旨在深化學生對“線面垂直”定義的理解，讓學生真正掌握“線線垂直”是判定“線面垂直”的一種基本方法. 在問題探索與反例的驅動下，學生的思維能力得到了進一步的提升.

4. 實驗輔助，揭露定理

（1）觀察分析，思考定理

問題16 如何判定直線與平面垂直的關系？

在分析這一問題時，學生通常會經歷以下思考過程：首先，盡管定義是判定的依據，但在實際應用中卻面臨一些障礙;其次，如何將無數條直線垂直關系的驗證簡化為有限條直線垂直關系的驗證;最后，探索新的途徑，例如研究相交線可能帶來更佳的結果.

設計意圖 問題16雖然簡潔明了，但學生的思維過程卻相當復雜. 隨著思考的深入，學生不僅會發現比“定義法”更為便捷和實用的判斷方法，還會進一步培養出形成猜想和進行驗證的習慣. 這些步驟是探索真理不可或缺的路徑.

問題17 觀察圖2，分別思考一條直線與一個平面內的一條直線、兩條直線之間成垂直關系，是否可以判定該直線與該平面也必然垂直.

設計意圖 引導學生通過觀察長方體來分析線面垂直關系，并將探索的思路從“與一條直線垂直”擴展至“與兩條直線垂直”. 該設計符合學生的思維發展規律，為培養學生核心素養打下了堅實的基礎.

（2）實操活動，感知定理

實驗活動安排：要求學生取出課前準備好的三角形卡紙，如圖3所示，AD為△ABC的高，將該三角形沿著AD翻折，豎直立于桌面，DB，DC緊貼桌面. 此時AD和桌面之間的位置關系是怎樣的？若AD并非該三角形的高，這種位置關系還存在嗎？

學生在探索過程中，主要從以下幾個角度進行思考：①AD與桌面之間是否垂直？②如何折疊才能讓AD與桌面保持垂直的位置關系？

設計意圖 引導學生自主折疊卡紙，目的是讓學生通過實踐活動直觀地感知定理的特征，從而促進其幾何直觀能力的發展. 通過揭示學生的思考過程，旨在培養他們的邏輯思維能力. 這樣的設計旨在豐富學生的認知結構，并積累他們的活動經驗.

（3）概括總結，形成定理

通過小組合作與交流的方式，激發學生自主探討線面垂直判定定理的興趣. 每個小組指定一名成員將討論成果向全班展示，其他同學則負責提出建議和評價. 教師在適當的時候提供指導. 一旦學生掌握了規范的書面表達，他們將從圖形和符號兩個角度對定理進行闡述，從而深入理解將“線面垂直”轉化為“線線垂直”的重要性.

設計意圖 合作學習是一種集思廣益的活動，通過相互啟發，學生的思維得以不斷完善. 鼓勵學生自主進行討論，并深入探討線面垂直的定理，旨在激發他們的興趣和思考，同時提升他們歸納總結和抽象概括的能力. 此外，通過數學圖形語言與符號語言的描述，旨在進一步培養學生的創造性思維，引導他們學會從不同的角度分析問題，為構建結構化的思維模式打下基礎.

問題18 如果一條直線與平面內的某條直線呈垂直關系，能否據此判定該直線與該平面也是垂直的呢？

問題19 平面內的兩條直線是否必然為相交關系？

針對這兩個問題，學生從反例的角度出發進行分析，并通過模型擺放來驗證，從而對線面垂直判定定理有更深入的理解.

設計意圖 辨析問題的應用，進一步加深學生對線面垂直判定定理的理解，特別是定理中所強調的“兩條相交直線”這個條件，使學生深刻認識到這個條件的必要性.

5. 應用鞏固，夯實強化

例題 如圖4所示，已知V-ABC為一個三棱錐，其中AB=BC，AV=CV，AC的中點為點K，請證明線段AC與平面BVK垂直.

變式題1：如圖4所示，已知V-ABC為一個三棱錐，其中AB=BC，AV=CV，請證明VB與AC垂直.

變式題2：如圖5所示，若變式題1中的AB，BC的中點分別為點E，F，則EF與平面BVK之間存在怎樣的位置關系？若根據“BV與AC，EF垂直”這個條件，直接判定BV與平面ABC垂直，是否合理？

設計意圖 提出問題及其變式旨在加強學生對線面垂直判定定理的理解，并進一步鞏固本節課所學知識，以促進知識間聯系的建立，從而推動學生數學邏輯推理能力的發展.

6. 歸納總結，提煉升華

引導學生自主提煉在課堂上獲得了哪些知識，強調“定義法”“定理判定法”等的注意事項，帶領學生提煉課堂中所探討的思想方法.

設計意圖 總結提煉的過程是知識、方法、思想的梳理過程，也是進一步鞏固“四基”與“四能”的過程. 學生通過自主歸納，能夠提升思維層次，促進數學抽象、數學建模與邏輯推理素養的發展.

思考與感悟

1.情境是聯系生活與數學知識的橋梁

概念本身具有高度的抽象性，若采用“灌輸式”的教學方法，學生僅能記憶概念的字面意義，對其起源、本質、內涵和外延一無所知. 當這些概念應用于實際情境時，便會出現諸多問題[2]. 情境的應用為枯燥的概念注入了生命力，使學生在生動的生活場景中體驗到概念形成的必要性和重要性，并對概念所揭示的生活意義有了清晰的理解. 因此，情境不僅是激發學生對概念產生直觀認識的基礎，也是連接生活與數學知識的紐帶.

2. 逐層深入可深化學生對知識的理解

建構主義理論強調新舊知識之間的聯系. 考慮到學生思維發展的漸進性，教師在設計教學活動時應堅持“循序漸進”的原則，引導學生逐步深入理解概念的核心，深刻領會概念的內涵. 在本節課中，教師根據學生的實際情況，通過一系列層層深入的問題激發學生思考，幫助他們明確探索目標，并有效地將新知整合到已有的知識體系中.

3. 關注思維發展是提升數學學科核心素養的關鍵

數學是思維的體操. 在新課標指導下，數學教學的核心在于密切關注學生思維能力的成長，這是促進核心素養發展的關鍵所在. 研究指出，引導學生的思維進入“憤悱”狀態，能夠激發他們內在的探索動力，提升研究的成效. 這使得學生能在深入學習的過程中，深刻理解知識的精髓，提煉出有效的思考方法，并培養出優秀的數學邏輯思維和抽象能力.

總之，“返璞歸真”是教育的最高境界. 在追求核心素養發展的當下，教師應關注學生在課堂中的參與程度、學習體驗、經驗積累等，將“育人”理念作為教學的基本理念，以真正促使學生培養出終身可持續發展的必要品質和關鍵能力.

參考文獻：

[1] 唐俊濤. 讓文科生“愛上”數學怎么那么難[J]. 中學數學月刊，2018（7）：11-13.

[2] 楊西龍. 優化數學概念教學 促進學生深度學習：從“直線與平面垂直的判定”例談概念教學策略[J]. 中學數學月刊，2018（7）：14-17.