核心素養導向下數學差異化教學的范式研究

[摘 要] 核心素養導向下的高中數學課堂教學，需充分尊重學生個體之間客觀存在的差異，并明確實施差異化教學是實現新課標要求的基本方法. 文章以“橢圓定點、定值與范圍”的習題教學為例，提出學情調查是差異化教學的基礎，優選教學內容是差異化教學的關鍵，過程評價是差異化教學的核心.

[關鍵詞] 核心素養;差異化;橢圓

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2023年度“協同創新”專項課題“核心素養導向差異數學實踐范式研究”（Fjxczx23-006）.

作者簡介：蔡明溪（1981—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：數學教育的核心在于促進學生的全面發展，課堂教學應當尊重學生的個性化差異，并通過差異化教學策略來支持每位學生的個性化成長. 實踐證明，差異化教學能夠有效地將“育人”理念貫徹到每位學生身上. 教師應根據學生的實際情況，創新設計教學活動，根據學生的個體差異實施有針對性的教學，確保每位學生都能在課堂上取得適合自己水平的進步，從而實現數學教學的“立德樹人”宗旨，并真正地培養學生數學學科核心素養.

學情調查是差異化教學的基礎

差異化教學旨在滿足學生個體間客觀存在的差異，其實施的前提是深入了解每位學生的實際認知水平. 習題課作為新課程的延伸活動，旨在引導學生運用所掌握的知識和解題策略來解決實際問題，從而加深對知識和技能的理解，提升思維層次，并為培養扎實的數學思維打下堅實基礎.

傳統意義上的習題教學模式雖然能為師生共同探索解決問題，但學生之間客觀存在的差異導致他們在應對各種數學符號系統時，會表現出個體偏好，并展現出不同的能力水平. 為了深入了解學生的實際認知水平，并為設計教學活動提供依據，教師可以在課前通過調查的方式收集并統計學生在各個領域的能力. 習題課的調查通常以問題為“引子”，通過對學生解題思維狀況的分析，獲得真實的學情. 在本節課開始之前，教師精心設計了三個問題，供學生自主選擇并解答.

問題1 如圖1所示，已知平面直角坐標系xOy中的點A與點B分別為橢圓+=1的左、右頂點，點M恒保持MB⊥AB，將點A，M連接起來，與橢圓相交于點P，求證：·恒為定值.

問題2 如圖2所示，已知平面直角坐標系xOy中的一條直線l與橢圓+=1相交于點A，B，且過該橢圓的右焦點F. 如果直線l與坐標橫軸是非重合的關系，那么在坐標橫軸上是否存在定點C使得坐標橫軸恒平分∠BCA？若存在，寫出點C的坐標;若不存在，說明為什么.

問題3 如圖3所示，已知平面直角坐標系xOy中存在三個動點A，B，P，這三點均在橢圓E：+=1上運動，且恒滿足·=0. 若線段AB上存在一個動點Q，且恒滿足·=0，那么

的取值范圍是什么？

設計意圖 上述三個問題是根據課標要求、教學目標、學生常犯的錯誤類型以及思維障礙點，按照由淺入深的梯度設計的. 學生在課前根據自己的實際認知水平挑選一道題目進行解答. 課代表將解答問題1、問題2、問題3的學生分別歸納到第1組、第2組、第3組進行統計. 這種安排旨在準確掌握學生的實際認知水平，為課堂教學提供有價值的參考.

優選教學內容是差異化教學的關鍵

工欲善其事，必先利其器. 讓每一名學生都能成為合格的人才，是每一位教育工作者都在不斷思考和探索解決的問題[1]. 想要真正提高差異化教學的效益，就要在充分了解學情的基礎上優選教學內容，使學生在典型、層次清晰的問題中逐漸拔高思維，發展核心素養. 優選教學內容主要從以下幾個方面著手.

1. 逐層遞進，鋪設臺階

此為針對第1組學生而設定的教學方案，之所以如此計劃，是因為選擇問題1的學生的基礎普遍偏弱，教學重點在于動態處理問題與設立參數上. 問題1明確提出了一條動直線和兩個動點的關系，核心目標是解決與這些動點相關的定值問題. 結合學生的實際情況和教學目標，教師可以為這部分學生設計以下例題，為他們的思維發展搭建“腳手架”.

引例1 如圖4所示，在平面直角坐標系xOy中，橢圓+=1的左、右頂點分別為點A，B，點P是該橢圓上的一個動點，k，k分別為AP，BP的斜率，求證：k·k恒為定值.

本題難度適中，僅存在一個動點，學生能夠輕松發現并運用“設參法（設點P）”來解決問題.

引例2 如圖5所示，在平面直角坐標系xOy中存在一個橢圓+=1，點C為該橢圓的上頂點，一條過原點的直線與該橢圓相交于點A，B，明確k，k分別為CA，CB的斜率，那么k·k的值是多少？

本題將引例1內的橢圓的“長軸”轉化為“動直線”，對學生的思維能力提出了更高的要求. 本題可應用“k參法”揭露動直線方程，再借助韋達定理獲得k·k的值為-.

設計意圖 根據第1組學生的認知水平設計上述兩道引例，一方面，鞏固他們的知識基礎;另一方面，激發他們的潛能. 通過解決這兩道引例，學生將掌握運用“設參法”解決問題的技巧，這有助于培養他們的數學邏輯思維能力，并為提高核心素養奠定堅實的基礎.

2. 先學后教，適當啟發

此為針對第2組學生設定的教學方案. 盡管這組學生在認知方面存在一定的不足，但他們已經展現出了良好的思維能力. 只要教師能夠提供恰當的啟發，就能夠引導他們找到解決問題的途徑. 實踐發現，鼓勵學生自主先學，可激發學生的思維，增加點撥的效果. 教師帶領學生提煉問題2中的核心信息，要求學生自主描述解決問題的突破口. 在學生自主探究的基礎上，教師再給予適當點撥，以逐步提升學生的思維能力.

當學生解答完問題2后，教師應有針對性地提出變式問題，為學生的思維搭建階梯，使他們能夠在現有基礎上進一步提升思維能力. 重要的是，教師需要確保學生擁有足夠的思考時間和空間，鼓勵他們在自我評價和相互評價的過程中積極思考，以此加深對問題的理解，并減少認知上的偏差.

變式題1 如圖6所示，在平面直角坐標系xOy中存在一個橢圓+=1，點C為該橢圓的上頂點，一條直線l與該橢圓相交于點A，B，明確k，k分別為BC，AC的斜率，且k·k=-1，求證：直線l恒過一個定點.

設計意圖 變式題1以問題2為母題，通過對問題條件與結論的互換，培養學生的靈活思維. 本題的解題思路與原題高度相似，先設直線l的方程為y=kx+m，將所設方程代入橢圓的方程內，再利用韋達定理對等式k·k=-1進行化簡，如此獲得直線l恒過定點的坐標為

0，-

.

變式題2 如圖7所示，在平面直角坐標系xOy中存在一個橢圓+=1，點C，D分別為該橢圓的上、下頂點，點B為該橢圓上與C，D不重合的動點，AC，BD相交于點A. 已知k，k分別是BC，AC的斜率，且k·k= -，求證：點A必定位于一條定直線上.

在教師的點撥下，學生運用“設參法（設點B）”，結合條件k·k=-，通過“交軌法”獲得點A恒位于y=3這條直線上，由此避免了復雜的二元二次方程運算過程，簡化了運算難度.

設計意圖 通過對問題2中直線條件的改變引發學生思考，讓學生進一步理解斜率間的等量關系. 此變式題應用三條動直線、兩個動點和兩個定點，進一步提升了問題的難度，為這一層次的學生帶來了新的挑戰.

3. 以學定教，全面發展

此為針對第3組學生設定的教學方案. 傳統的數學教學以教師的“傳授”為主，這種“注入式”的教學模式難以調動學生自主探索的積極性，更難激發學生的創新意識. 在核心素養導向的課堂教學中，強調“學習共同體”的教學理念. 這一理念倡導將具有不同認知水平和專長的師生融合成一個共同體，緊密圍繞學習目標進行協作與互動. 在這一過程中，學生主動展示自己的思維過程，并在同伴的啟發下相互學習，取長補短. 同時，教師提供必要的指導和支持，以促進教學相長.

第3組學生的認知能力較為突出，思維層次也相對較高. 針對他們，教師可在問題3的基礎上，開展互動和交流活動. 在這一過程中，教師應扮演好引導者的角色，努力激發學生的潛能，培養他們的創新思維，并為他們建立扎實的邏輯推理能力打下基礎.

問題3的解題方法主要有以下三種，在教師的引導下，學生合作交流、展示與分享.

解法1 設參數k，利用方程思想，借助“交軌法”獲得動點Q的軌跡為“以原點為圓心，以為半徑的圓”，由題設條件可得

-，2+

為

的取值范圍.

解法2 設參數k，利用數形結合思想，根據圓的定義獲得點Q的軌跡，最后得到問題的答案[2].

解法3 設點坐標，在消元的基礎上，利用轉化思想，根據圓的定義獲得點Q的軌跡，最后得到問題的答案.

設計意圖 問題3的難度較高，盡管一些認知能力較強的學生在課前嘗試去解決這道題，但能夠靈活運用上述三種方法解題的學生卻寥寥無幾. 因此，教師在課堂上以團隊合作的方式，鼓勵學生發揮自己的長處，將自己的所感、所想展示出來，在取長補短的基礎上建構學習共同體. 如此設計，為師生的積極互動提供了機會，學生在師生、生生之間的拓展性對話與交流中不斷完善認知體系，重塑思維.

過程評價是差異化教學的核心

核心素養導向下的課堂教學需將傳統意義上的“終結性評價”模式轉化為“過程性評價”模式，此為促進學生長遠發展的基礎，也是發揮課堂長久教學效應的基本方法. 實踐發現，教師結合學生客觀存在的差異性，設置差異化的評價機制，可讓每個認知層次的學生都能感受到學習帶來的成就感，由此產生更強烈的表現欲，為推動學力發展服務.

為了提升學生對過程性評價的認識，教師可激勵他們在課后通過小組合作的方式，將學習的全過程、心路歷程以及感悟整理成數學小論文，并在班級中進行分享. 這一做法旨在培養學生的創新意識和對數學嚴謹性的理解.

總之，核心素養導向下的數學差異化教學的研究任重而道遠，這是一種關注學生個體長期發展變化的教學模式，對學生的必備品格與關鍵能力的發展具有重要意義. 在這樣的課堂氛圍中，學生能夠體驗到尊重、理解和促進，這正是新課程改革的核心方向之一，也是促進學生數學學科核心素養發展的重要策略.

參考文獻：

[1] 謝志琴. 因材施教，實施差異化教學[J]. 學周刊，2019（9）：27.

[2] 陳玉娟，季建生. 基于數學理解性學習的習題課教學：從學習者差異原則談起[J]. 數學通報，2019，58（7）：50-53.