“三新”背景下的高中數學解題教學實踐與建議

[摘 要] 解題教學是高中數學教學中常見的一種課型，“三新”（新課標、新教材、新高考）悄悄到來之際該如何實施解題教學？文章通過具體的教學案例，闡釋在當前解題教學中，如何貫徹立德樹人根本任務、發揮學科獨特育人功能、深入研讀課程標準以及領悟教育改革方向等四項重要的教學建議.

[關鍵詞] 解題教學;立德樹人;核心素養;策略意識

作者簡介：陳應全（1979—），本科學歷，中學高級教師，現任廣東省高州市教師發展中心高中數學教研員，曾獲茂名市首屆青年名師培養對象與茂名市教育系統名教師等稱號.

問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》自發布以來，由此編寫的新教材陸續投入使用. 目前，全國多個省份正逐步實施新高考制度. 廣東省自2021年起開始實行新高考，而2021年和2022年的高考沿用了舊教材，因此被稱為“過渡期”高考. 到2023年，廣東省迎來了首次采用新教材的新高考. “三新”（新課標、新教材、新高考）的悄然降臨為高中數學教學帶來了前所未有的挑戰與機遇.

解題教學構成了高中數學課堂的常規教學方式，它在鞏固基礎知識、滲透數學思想方法以及發展學生的核心素養方面發揮著至關重要的作用. 然而，目前仍有不少教師堅持傳統的教學理念，過分重視解題模式的識別，而忽視了學生的主體性，這與當前課程改革的目標并不一致. 那么，在解題教學中，究竟該如何落實立德樹人根本任務，如何發揮學科獨特育人功能呢？

試題選取

近三年來，全國卷高考試題的編制嚴格遵循《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》以及《中國高考評價體系》等權威文件的指導，同時參照了“一核”“四層”“四翼”的目標框架，致力于貫徹“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的命題原則. 教育部教育考試院在2023年精心設計了六套數學試卷，全面覆蓋了數學核心素養的各個方面，并突出了“四翼”考查要求，以助力選拔具有創新精神的人才. 這六套試卷中包含許多優秀題目，例如新課標Ⅱ卷第21題，它是一道極具教學價值的題目，能夠有效促進學生核心素養的發展. 該題不僅有助于拓展和引申知識，而且便于實現深度學習，培養學生規范思考問題的能力. 因此，筆者選擇2023年新課標Ⅱ卷第21題（2）作為例題，嘗試解決問題的教學策略，旨在拋磚引玉.

試題 已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（-2，0），離心率為.

（1）求C的方程;（答案：-=1）

（2）記C的左、右頂點分別為A，A，過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA與NA交于點P. 證明：點P在定直線上.

探究過程

1. 強化策略意識，樹立大局觀念

解題策略體現了數學素養，是解題者根據經驗和知識選擇與搭配解題方法的過程. 這些策略不缺乏數學邏輯推理，更不是通過多次的錯誤嘗試而獲取的，而是在總綱領下的具體操作的思想[1]. 它們是學生解決難題的有力工具，同時也是衡量學生知識掌握程度、思維能力強度以及核心素養水平的重要指標. 新高考命題聚焦于核心內容，并構建了真實的問題情境. 通過引入創新的題型，對學生運用基礎知識解決實際問題的能力進行了深入的評估. 這種評估方式往往使得解題方法事先不為人知，因此要求學生不僅要掌握常規的解題方法，還要具備高度的核心素養，以便能夠自信地應對各種挑戰. 在解題教學過程中，教師應當加強策略意識的培養，激勵學生深入理解解題策略的精髓，并逐步培養出全面的解題觀念.

教學片段1 （解題策略指引）

師：證明點P在定直線上，這條直線有怎樣的特點？

生（眾）：特點不明顯！

師：我們可以通過什么解題策略獲取該直線的特點呢？

生1：可以借助對稱性（直線MN與M′N′關于x軸對稱），分別作出P，P′，直觀發現PP′⊥x軸，猜想點P所在的定直線垂直于x軸.

師：如果點P所在的定直線垂直于x軸，那么如何轉化待證明的結論呢？

生2：可以將其轉化為求點P的橫坐標.

點評 在探究問題的過程中，教師并未直接闡述例題的具體解法，而是引導學生通過數形結合與特殊化策略，揭示點P所在定直線的特點，從而將運算對象從二維降至一維. 通過這種方式，幫助學生運用解題策略發現探究路徑，逐漸培養他們在數學解題中需要具備的宏觀視角.

2. 展示思維過程，感悟數學靈魂

數學思想方法是數學的靈魂，在知識的產生、發展以及解題思維的過程中孕育而生. 數學思想方法具有普遍適用性，并且具備強大的遷移能力，可視為解決問題的根本策略. 在解題教學中，教師應當依托例題，預先設計一系列問題，用以引導學生深入思考. 同時，應創造契機，使學生能夠充分展示其思維過程. 在此基礎上，深入分析學生的思維習慣與思維短板，并提供針對性的幫助. 通過師生間及生生間的互動交流，使學生深入理解數學精髓，以便在解決問題時為他們提供堅實的思想基礎.

教學片段2 （思維過程展示）

師：P是直線MA與NA的交點，顯然直線MA與NA在變動. 它們變動受什么影響？

生3：受直線MN的影響.

師：直線MN過點（-4，0），因此其橫截距為-4，如何可以更好地設定直線MN？

生4：可以設直線MN的橫截式方程x=my-4.

師：顯然，點P的橫坐標需要通過聯立直線MA與NA的方程才能得到. 你能寫出直線MA與NA的方程嗎？

生5：可以！運用“設而不求”思想，設M（x，y），N（x，y），則直線MA的方程為y=（x+2），直線NA的方程為y=（x-2）.

師：直接聯立直線MA與NA的方程求點P的橫坐標，目測運算量不小. 能否通過恰當的處理降低運算量呢？

生6：將直線MA與NA的方程相除，消去y，得到=.

在教師的指導和啟發下，大約4分鐘后，生7展示了他的解答過程.

生7：直線MA的方程為y=（x+2），直線NA的方程為y=（x-2）. 聯立直線MA與NA的方程，消除y，得===.

此時，生7的思路受阻，問題在于無法將式子簡化為常數.

師：如何建立式子與韋達定理之間的聯系？

生8：通過配湊將式子轉化為關于縱坐標的和與積的形式，得到=.

學生議論紛紛，似乎突然間明白了什么，幾分鐘后，學9展示了他的解答過程.

生9：聯立x=my-4與-=1，可得（4m2-1）y2-32my+48=0，且Δ=64（4m2+3）>0，則y+y=，yy=.

所以，==== -. 所以，=-，解得x=-1，即x=-1. 所以，點P在定直線x=-1上.

點評 教師通過構建一系列層次性問題，引導學生“再創造”解題思路. 這不僅使學生的思維過程得以充分展現，而且幫助他們深刻理解數形結合、轉化與化歸等數學思想，并積累數學探究經驗.

3. 適度拓展引申，發展核心素養

在數學解題教學過程中，教師應當注重對數學問題的拓展和引申，以此來培養學生的創造性思維. 通過引導學生類比和探索方法，旨在提升學生的數學綜合能力，并促進其核心素養的發展. 通過研究高考真題，學生認識到，盡管解析幾何解答題具有一定的難度，但只要重視解題策略的指導，并在遇到難題時依靠優秀的思維能力和堅定的毅力，就能夠實現突破. 這種教學方式不僅展現了立德樹人教育理念，并且使學生在學習數學的過程中更容易獲得信心和興趣. 基于這樣的教學思路，對例題進行了拓展和引申.

教學片段3

教師：波利亞曾言：“好的問題就像某些蘑菇一樣，往往成簇出現. ”請同學們思考以下問題.

拓展1 設雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左、右頂點分別為A，A，過點（t，0）（t<-a）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA與NA交于點P. 證明：點P在定直線上.

問題提出后，學生立刻拿起筆，畫出草圖并類比例題的解法判斷點P所在定直線必然垂直于x軸，從而確定運算對象為點P的橫坐標. 然而，由于時間限制以及復雜的符號運算，學生在課堂上無法徹底解答問題. 因此，教師要求他們在課后完成解答，并額外提供了兩道拓展性問題，供愿意深入學習的學生在課后進一步研究，為后續探究課程做準備.

拓展2 設橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點分別為A，A，過點（t，0）（0<t<a）的直線與C交于M，N兩點，直線MA與NA交于點P. 證明：點P在定直線上.

拓展3 已知拋物線C：y2=2px（p>0），過點（t，0）（t>0）作直線交拋物線C于M，N兩點，連接M，O，與過點N且與x軸平行的直線交于點P. 證明：點P在定直線上.

點評 在數學教學中，每個環節都應致力于提升學生的數學核心素養. 利用例題進行深入探討和拓展是實現這一目標的有效方法. 特別重要的是，這種深入探討和拓展應當基于學生的實際學習狀況和考試需求，既要體現個性化教學的原則，也要確保每位學生都能獲得均衡的成長. 筆者由此提出了兩種例題拓展策略：（1）泛化拓展，通過將雙曲線的特性泛化，并引入一些復雜的符號運算，來鍛煉學生的數學運算技能和空間想象能力;（2）類比拓展，將雙曲線的特性類比到橢圓和拋物線中，旨在幫助學生掌握解決定直線問題的策略，同時增強他們的邏輯推理和數學運算能力.

教學建議

1. 研讀課程標準，領悟教改方向

《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》在“深化高考考試內容改革”部分提出：“依據高校人才選拔要求和國家課程標準，科學設計命題內容.”因此，課程標準構成了教學和考試命題的核心基礎. 顯然，當前的數學教學實踐是“依標施教”，只有遵循課程標準來實施教學，我們才能確保新課改順利進行，避免不必要的彎路. 因此，在解題教學中，教師應摒棄填鴨式、滿堂灌的教學方式，轉而注重培養學生的思維品質、發展數學能力，并提升其核心素養，以促進學生的全面發展，助力實現立德樹人的根本任務.

2. 注重例題篩選，凸顯素養導向

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：全面落實立德樹人要求，深入挖掘數學學科的育人價值，樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的教學意識[2]80. 因此，在解題教學中，教師在確定教學目標時要充分關注核心素養與例題的關聯，思考核心素養在解題教學中的生長點與孕育點，凸顯素養導向. 在與學生的課后交流中，筆者得知：盡管本次課程僅解決了高考中的一道真題，學生卻獲得了豐富的知識. 首先，他們掌握了研究定直線問題的基本方法：通過數形結合、特殊化等策略，揭示了定直線的特性，并將問題簡化為求解點P的橫坐標，這是解析幾何中探討定直線問題的關鍵思路之一. 其次，學生體驗了解析幾何的一般研究方法：將幾何問題轉化為代數問題，領略了“設而不求”思想. 最后，學生經歷了提升數學運算素養的過程：在理解運算對象的基礎上，創造條件讓學生思考如何探索運算思路，設計恰當的運算方案以求得正確的運算結果.

3. 加強過程探究，發展數學思維

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：基于數學學科核心素養的教學要創設合適的教學情境、提出合適的數學問題[2]84. 在當前的解題教學中，教師的主要任務不是羅列各種題型并詳細講解，而是在精選例題的基礎上，加強對解題過程的探究，通過設計具有思維深度和梯度的問題鏈，促使學生養成勤于思考的良好習慣. 在遇到思維障礙時，引導學生進行思維的“轉向”至關重要. 這不僅幫助他們逐步理解解題思維活動的基本規律，而且還能教會他們如何選擇有效的思維路徑. 例如，在本節課中，當式子與韋達定理的應用相去甚遠時，通過差異分析，引導學生通過配湊法得出縱坐標的表達式，從而有效克服運算上的障礙.

4. 重視問題拓展，實現深度教學

數學深度教學是指數學教學必須超越具體知識和技能深入到思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質的提升[3]. 深度教學的核心要領涉及兩個主要方面. 首先是知識層面，這意味著要深入挖掘數學知識的內在含義，并深刻把握不同知識點之間的聯系. 其次是思維層面，這要求我們從培養學生思維能力的角度出發，通過擴展和延伸例題，加強學生對解題策略的理解，并促進他們對解題方法的靈活運用，從而激發學生的深度學習. 例如，在本節課中，教師對例題進行了三個拓展，引導學生在學習過程中體驗數學之美、掌握思考方法，從而促進他們優秀思維品質的培養和數學學科核心素養的提升.

結束語

綜上所述，教師應當深刻理解課程標準等綱領性文件的內涵，明確課程改革的具體要求. 通過巧妙運用教學策略，促進解題教學從“問題導向”向“素養形成”轉變，進而構建高質量的數學課堂.

參考文獻：

[1] 蘇洪雨，馮偉貞，等. 中學數學解題研究（第二版）[M]. 北京：科學出版社，2022.

[2] 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3] 鄭毓信. 數學教學的關鍵[M]. 上海：華東師范大學出版社，2022.