強沖擊載荷下單向加筋板拉伸撕裂的臨界條件

摘要： 針對固支單向加筋板在沖擊載荷下的拉伸撕裂臨界條件開展研究，首先將均布沖擊載荷下的固支單向加筋板簡化為帶板梁模型，基于固支梁沖擊變形理論解給出了加筋板最大永久變形理論解，之后基于復(fù)合運動場模型，修正了固支梁端點拉伸應(yīng)變與最大永久變形關(guān)系式，并以等效應(yīng)變達(dá)到失效應(yīng)變作為拉伸撕裂條件，建立了加筋板在沖擊載荷下的拉伸撕裂臨界條件。經(jīng)過數(shù)值模擬驗證，該最大永久變形理論解和拉伸撕裂臨界條件具有適用性，理論與數(shù)值誤差小于15%。

關(guān)鍵詞： 加筋板；拉伸撕裂；塑性大變形；沖擊載荷；毀傷評估

中圖分類號： O383; O347.3 國標(biāo)學(xué)科代碼： 13015; 13035 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

加筋板是常見的防護(hù)結(jié)構(gòu)，在艦船、飛機(jī)、裝甲車輛等的設(shè)計與建造中具有廣泛的運用，是承受爆炸沖擊載荷的主要結(jié)構(gòu)對象，故對于加筋板結(jié)構(gòu)在沖擊載荷作用下的毀傷效果評估具有重要意義。

加筋板的毀傷模式具有很多種類，Nurick 等[1] 較早地開始了加筋板的毀傷模式研究，通過對單加筋方形板進(jìn)行均布爆炸沖擊實驗，觀察到加筋板出現(xiàn)了兩種毀傷模式：塑性大變形（模式Ⅰ）、拉伸撕裂（模式Ⅱ）；Chung Kim Yuen 等[2] 在Nurick 等的基礎(chǔ)上對模式Ⅱ進(jìn)行細(xì)化，得到邊界處的部分撕裂（模式Ⅱ*）、隨著中點位移的增大而完全撕裂（模式Ⅱa）、隨著中點位移的減小而完全撕裂（模式Ⅱb）三種精細(xì)模式；Rudrapatna 等[3] 將剪切與拉伸的作用相結(jié)合，并對加筋板的毀傷剪切斷裂（模式Ⅲ）進(jìn)行預(yù)測；Langdon 等[4]進(jìn)行了加筋板局部爆炸沖擊實驗，觀察到板與梁非協(xié)調(diào)變形撕裂的毀傷模式；牟金磊等[5] 根據(jù)載荷強弱和加筋板剛度的大小，將復(fù)雜加筋板的三種主要毀傷模式分別進(jìn)行了細(xì)化，得到了一系列子模式。綜合來看，在爆炸與沖擊的環(huán)境下，加筋板的塑性大變形與邊緣拉伸撕裂毀傷模式頻繁出現(xiàn)，具有重要的研究價值。

在加筋板結(jié)構(gòu)大變形響應(yīng)的研究方面，前人大多通過小尺寸模型實驗與數(shù)值模擬方法進(jìn)行研究[1-2， 6-8]，而理論研究大多基于剛塑性材料模型展開。Schubak 等[9] 較早針對加筋板大變形響應(yīng)開展理論研究，將矩形單向加筋板等效為帶板梁，得到了其動態(tài)塑性響應(yīng)的瞬時模態(tài)解。Schubak 等[10] 將瞬時模態(tài)解擴(kuò)展到了部分端點固定、應(yīng)變率敏感材料、雙向加筋的情況。劉土光等[11-12] 從能量原理出發(fā)，對受均布載荷的固支加筋方板、加筋矩形板進(jìn)行了剛塑性大變形分析。劉敬喜等[13] 忽略了面板與加強筋之間彎矩與剪力的相互傳遞，給出了簡化的薄膜解與能量解。Peng 等[14] 在簡化梁模型的基礎(chǔ)上，得到了單向加筋板沖擊大變形響應(yīng)的理論半解析解，討論了脈沖強度、脈沖持續(xù)時間、板厚度、加筋間距、材料特性對位移響應(yīng)的影響，并闡明了理論方法的適用范圍。Yang 等[15] 利用薄板的大撓度理論，研究了旋轉(zhuǎn)約束剛度、初始缺陷和脈沖持續(xù)時間對平面沖擊載荷作用下彈性約束加筋板的動力響應(yīng)和動態(tài)屈曲的影響，該研究選取彈性約束邊界進(jìn)行加筋板大變形響應(yīng)分析，相比前人研究更加貼近艦船結(jié)構(gòu)在沖擊載荷下的工程實際。

在板架結(jié)構(gòu)的毀傷模式臨界條件的研究方面，目前的研究主要是通過實驗或數(shù)值模擬進(jìn)行描述性、統(tǒng)計性分析，而詳細(xì)的力學(xué)理論研究較少。Nurick 等[1] 較早對加筋板的拉伸撕裂毀傷進(jìn)行研究，提出了基于邊界應(yīng)變的固支方形加筋板臨界斷裂載荷預(yù)測方法，該理論中加強筋尺寸對邊界處拉伸撕裂失效的臨界載荷影響很小。然而由于實驗數(shù)據(jù)有限，該理論并未得到很好的驗證。Chung Kim Yuen 等[2] 在Nurick 等的基礎(chǔ)上設(shè)計了復(fù)雜加筋方板的均布爆炸沖擊實驗，得到了與Nurick 等類似的結(jié)論。張振華等[16] 針對對接焊縫平板和內(nèi)側(cè)中部加筋平板在爆炸沖擊載荷下的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了實驗研究，利用塑性變形的體積不變原理，推導(dǎo)了采用雙向應(yīng)變假設(shè)和單向應(yīng)變假設(shè)的結(jié)構(gòu)動態(tài)開裂應(yīng)變值。吳林杰等[17] 通過大量的數(shù)值計算，分析了比例爆距和損傷因子對加筋板毀傷模式的影響，提出了不同毀傷模式之間轉(zhuǎn)化的臨界爆距計算公式。然而文中理論是依據(jù)特定幾何尺寸的加筋板架結(jié)構(gòu)所得到的經(jīng)驗性結(jié)果，因此對于其他結(jié)構(gòu)形式的板架可能會產(chǎn)生誤差。焦立啟等[7] 同樣對加筋板不同毀傷模式之間的轉(zhuǎn)化臨界條件進(jìn)行了分析，提出了考慮加筋板結(jié)構(gòu)參數(shù)和載荷形式的無量綱載荷參數(shù)，并發(fā)現(xiàn)在載荷和加筋板板厚確定的情況下，通過改變加強筋相對剛度可以確定加筋板毀傷模式以及毀傷模式之間轉(zhuǎn)化的臨界區(qū)域。

加筋板結(jié)構(gòu)的塑性大變形和邊緣處拉伸撕裂是最為主要的毀傷模式，在工程與實驗中廣泛存在，兩種毀傷模式的轉(zhuǎn)化臨界條件是目前重點關(guān)注的問題之一。本文基于帶板梁模型，分析單向加筋板在強沖擊載荷作用下的拉伸撕裂臨界條件：將爆炸載荷等效為均布脈沖載荷，推導(dǎo)基于復(fù)合運動場模型的固支梁端點拉伸應(yīng)變與最大永久變形關(guān)系式，并以等效應(yīng)變達(dá)到失效應(yīng)變作為拉伸撕裂條件，求解加筋板在均布沖擊載荷下的拉伸撕裂臨界條件。

1 理論方法

1.1 單向加筋板結(jié)構(gòu)大變形響應(yīng)理論解

1.1.1 基于“梁理論”的加筋板結(jié)構(gòu)大變形響應(yīng)

防護(hù)板架結(jié)構(gòu)的材料多使用低碳鋼材料，通過高速拉伸試驗機(jī)對低碳鋼材料進(jìn)行不同應(yīng)變率下的單軸拉伸實驗[18]，實驗結(jié)果都表明該種材料的塑性性能對于應(yīng)變率較為敏感。考慮到低碳鋼的屈服強度會隨著應(yīng)變率的變化而變化，為了控制理論誤差，本文理論分析基于剛塑性模型展開，同時考慮材料的應(yīng)變率敏感性。

本文使用“梁理論”進(jìn)行塑性大變形與拉伸撕裂臨界條件分析，即如果板在梁寬方向的固支邊界條件對板中心的板條梁部分影響較小時，可以將加筋板結(jié)構(gòu)等效為帶板梁，如圖1 所示，其中，B、H 分別為帶板梁的寬度與高度，根據(jù)文獻(xiàn)[19] 可知，在研究彎曲問題時，帶板梁的寬度B等于梁間距。

進(jìn)行爆炸沖擊載荷下結(jié)構(gòu)的塑性大變形分析時，由于載荷作用于加筋板的持續(xù)時間很短，且載荷幅值非常大，所以可以將沖擊載荷假設(shè)為瞬動載荷，并將瞬動載荷積累的沖量等效為結(jié)構(gòu)自身所受的動量，最終分析加筋板結(jié)構(gòu)的響應(yīng)情況：

p0τ0 = mv0 （1）

式中：p0為單位長度上的矩形等效載荷壓力值；τ0為載荷作用時間； m為帶板梁在單位長度上的質(zhì)量；v0為均布于整塊板上的初始瞬動速度，即帶板梁獲得的初始速度。板所受的等效載荷如圖2 所示。

由文獻(xiàn) [20] 可得，當(dāng)梁受到瞬動矩形壓力脈沖（τ0→0）后，梁中點的最大位移W∞滿足：

式中：H為帶板梁的高度；T = mv20L2/M0H為梁的初始動能， L為帶板梁長度的一半，M0為帶板梁的極限彎矩，與帶板梁的尺寸和材料的動態(tài)屈服強度σd有關(guān)：

M0 =σdS Z （3）

式中： S Z 為帶板梁剖面對水平中和軸的面積矩。針對瞬動加載的固支梁[20]：

式中：C、q 0 為材料的應(yīng)變率參數(shù)， 為材料的靜態(tài)屈服強度。

通過上述公式即可求出帶板梁的最大塑性變形，即單向加筋板的最大永久變形W1 。

1.1.2 基于“梁理論”的加筋板結(jié)構(gòu)大變形公式適用條件

矩形板的塑性大變形的最終運動場如圖3 所示[21]。根據(jù)“梁理論”的假設(shè)條件[20]，即板在梁寬方向的固支邊界條件對板中心的板條梁部分影響較小，需滿足矩形板中心塑性鉸的寬度大于帶板梁寬度，即：

式中：b、a分別為加筋板的半長與半寬，ф為矩形板區(qū)域A1 繞邊界軸的轉(zhuǎn)角，滿足：

聯(lián)立式（5）～（6） 可得加筋板的長寬尺寸需滿足：

由式 （7） 可知，由于帶板梁寬度B ， 0 b=a ，則本文基于“梁理論”的加筋板大變形公式適用于 比值較大的長矩形板。

1.2 強沖擊下帶板梁拉伸撕裂臨界條件

1.2.1 基于單一運動場模型的固支梁端點拉伸應(yīng)變與最大永久變形關(guān)系

傳統(tǒng)的方法[20] 認(rèn)為在判斷加筋板是否發(fā)生拉伸撕裂時，可以從拉伸應(yīng)變角度進(jìn)行考慮，將拉伸應(yīng)變達(dá)到臨界拉伸應(yīng)變的時刻設(shè)定為拉伸撕裂臨界條件。

文獻(xiàn)[20] 將受均布瞬動載荷作用下的固支梁簡化為單一運動場模型，即認(rèn)為固支梁在受到均布瞬動載荷時，梁中的塑性鉸出現(xiàn)在跨中處，且塑性鉸位置始終保持不變，如圖4 所示。

文獻(xiàn) [20] 認(rèn)為，如果梁的變形W≤H ，則屬于小變形，如果梁的變形W＞H ，則屬于大變形。據(jù)此梁的運動被分為小變形、大變形兩個階段。

（1） 小變形階段

在該階段內(nèi)，梁的變形以彎曲為主，且拉伸變形主要發(fā)生在固支端與梁中心的塑性鉸附近，固支梁的最大總應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中： εt為拉伸應(yīng)變，小變形階段內(nèi)可認(rèn)為拉伸發(fā)生在塑性鉸處； k為小變形階段內(nèi)梁固支端塑性鉸的曲率。假設(shè)小變形階段內(nèi)塑性鉸的平均鉸長為 l，則

對于小變形階段的塑性鉸長度，Nonaka 等[22] 進(jìn)行過詳細(xì)研究，認(rèn)為當(dāng)W/H = 0 時，塑性鉸長度 "l = H，當(dāng)W/H = 1 時，塑性鉸長度 "l = 2H，如圖5 所示。

本文小變形階段內(nèi)塑性鉸長度l 為圖5 中兩種臨界情況的平均值，即

式（13） 建立了固支梁端點拉伸應(yīng)變與最大永久變形的關(guān)系，為梁端拉伸撕裂臨界載荷計算提供了理論基礎(chǔ)。然而該式假定梁在沖擊載荷下僅有一種單一的運動場，并未考慮塑性鉸的移動對固支梁端點拉伸應(yīng)變與最大永久變形關(guān)系式的影響，在實際分析時會導(dǎo)致臨界載荷計算存在較大誤差。

1.2.2 基于復(fù)合運動場模型修正的固支梁端點拉伸應(yīng)變與最大永久變形關(guān)系

對文獻(xiàn)[20] 中梁受均布沖擊載荷時塑性大變形的變形過程進(jìn)行改進(jìn)，用復(fù)合運動場代替單一運動場，得到修正的固支梁端點拉伸應(yīng)變與最大永久變形關(guān)系式。由于本文假定梁受到的載荷為瞬動載荷，則加載時間段內(nèi)梁變形很小，一般在加載時間段內(nèi)梁中點位移 ，因此可將梁的變形過程分為4 個階段。

（1） 0≤t≤τ0

第1 階段為加載階段，τ0 為加載結(jié)束時刻。該階段中，梁中出現(xiàn)兩個相對于跨中對稱、位置固定的塑性鉸，動能在該階段結(jié)束時達(dá)到最大值，如圖6 所示。固定塑性鉸的位置ξ1 滿足：

（1-0ξ1/L）2 = 3/ˉη"（14）

式中： ˉη為固支邊界條件下梁的載荷因數(shù)，ˉη=p0/pc，pc 為靜載破壞壓力，對于受均布載荷的固支梁pC = 4M0/L2 。

（2）τ0＜t≤t2

第2 階段壓力脈沖消失，梁兩端的對稱塑性鉸開始向梁中點移動，梁的橫向位移逐漸增加，直至于t2時刻中心變形達(dá)到W2=H"，如圖7 所示。過程中梁中點的橫向位移 W可表示為：

將上述4 個階段中梁固支端的塑性拉伸應(yīng)變相累加，可得到瞬動載荷下帶板梁的端點最終應(yīng)變?yōu)椋?/p>

2 數(shù)值模型選取與合理性驗證

2.1 數(shù)值模型選取

為研究典型加筋板在矩形沖擊載荷下的大變形及拉伸撕裂臨界條件，選取單向加筋板結(jié)構(gòu)，面板厚5 mm，尺寸為3 000 mm×4 800 mm，布局方式為7 根加強筋均布于板上，加筋間距為0.6 m，該加筋板結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足式（7），加筋板結(jié)構(gòu)示意圖如圖10 所示。型材選取尺寸與抗彎剛度不同的三種T 型鋼，具體參數(shù)如表1 所示。

圖11 為單向加筋板結(jié)構(gòu)模型，面板與型材均選取殼單元SHELL163 進(jìn)行建立，網(wǎng)格尺寸為20 mm×20 mm。為了模擬固定邊界，本文在板四周設(shè)置完全約束，并在非加筋一側(cè)進(jìn)行均布載荷加載。

本文中面板與型材的材料均選用Q345 低碳鋼，采用有限元分析軟件LS-DYNA 進(jìn)行數(shù)值模擬分析，表征材料動態(tài)力學(xué)行為的本構(gòu)方程使用Cowper-Symonds 模型，該模型屈服應(yīng)力σY 與塑性應(yīng)變、應(yīng)變率的關(guān)系如下：

式中：σ0為靜態(tài)屈服應(yīng)力，εeffp為有效塑性應(yīng)變，β為硬化參數(shù)， E為楊氏模量，Et為切線模量，˙ε量，為應(yīng)變率。同時，Cowper-Symonds 模型定義了材料的失效應(yīng)變參數(shù)εf，反映了材料的失效行效行為，當(dāng)材料的等效應(yīng)變εeq＜εf時，材料發(fā)生失效。失效應(yīng)變參數(shù)一般可通過拉伸實驗獲取。參照文獻(xiàn)[26]，具體材料參數(shù)如表2 所示。

2.2 數(shù)值模擬參數(shù)實驗驗證

本文選取文獻(xiàn)[26] 的艙室內(nèi)爆實驗進(jìn)行材料參數(shù)驗證，建立1.2 m×1.2 m×1.2 m 的縮比艙室模型，艙壁及加強筋選取殼單元SHELL163 建立，炸藥為當(dāng)量400 g 的立方體TNT。實驗艙室與數(shù)值模型如圖12 所示。在艙室內(nèi)爆數(shù)值模擬中使用ALE 算法進(jìn)行分析，并使用*CONSTRAINED_LAGRANGE_IN_SOILD 詞條設(shè)置空氣體單元與結(jié)構(gòu)殼單元的流固耦合。實驗縮比艙室設(shè)置四個艙壁分別為S1、S2、S3、S4，如圖12（b） 所示，四個壁面的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3 所示。

實驗測量了四個壁面中心的最大永久變形量，與實驗結(jié)果對比，S1 艙壁的毀傷情況如圖13 所示。S1～S4 艙壁最大永久變形量的實驗結(jié)果與模擬結(jié)果對比如表4 所示，兩者的誤差較小，因此可證明本文材料參數(shù)設(shè)置合理。

3 數(shù)值計算結(jié)果與分析

3.1 單向加筋板大變形理論比對

根據(jù)圖10 的單向加筋板結(jié)構(gòu)示意圖，在非加筋一側(cè)設(shè)置持續(xù)時間為0.5 ms 的均布矩形載荷進(jìn)行數(shù)值驗證。圖14 為加筋板結(jié)構(gòu)在8 MPa 矩形載荷下的結(jié)構(gòu)變形位移云圖，可以發(fā)現(xiàn)，加筋板結(jié)構(gòu)中的板與加強筋均因沖擊載荷作用而發(fā)生了協(xié)調(diào)塑性變形，且最大永久變形明顯超過了其自身高度，此時膜力對結(jié)構(gòu)的承載能力做出貢獻(xiàn)，根據(jù)文獻(xiàn)[20]，認(rèn)為其發(fā)生了塑性大變形。同時，加筋板結(jié)構(gòu)中心帶板梁變形區(qū)并未受到梁間距方向的塑性鉸影響，可以使用“梁理論”進(jìn)行分析。

根據(jù)式（1）～（4） 可計算出單向加筋板的最大理論變形，將該理論值與數(shù)值計算結(jié)果進(jìn)行對比，如表5所示。根據(jù)對比可以發(fā)現(xiàn)，“梁理論”模型計算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果誤差較小，具有一定的準(zhǔn)確性。同時，對比不同型材在矩形載荷下的最大永久變形量，如圖15 所示，可以發(fā)現(xiàn)，若保持板厚不變，T 型鋼的抗彎剛度相比面板越大，則“梁理論”模型的計算結(jié)果越貼近實際最大永久變形。顯然，造成這種誤差的原因在于“梁理論”中將長矩形加筋板等效為多個并聯(lián)的帶板梁的設(shè)定，當(dāng)T 型梁剛度相比板內(nèi)的板條梁剛度很小時，加筋板表現(xiàn)出更多板的性質(zhì)，而不宜于使用“梁理論”模型進(jìn)行分析；當(dāng)T 型梁剛度相比板內(nèi)的板條梁剛度很大時，加筋板中心帶板梁的運動更接近于梁，使用“梁理論”模型進(jìn)行簡化計算仍可以得到較準(zhǔn)確的結(jié)果。

3.2 單向加筋板拉伸撕裂條件驗證

由1.2 節(jié)可知，臨界撕裂條件中含有輸入?yún)?shù)載荷p 和脈寬 ，在假定脈寬已知的情況下，則可通過式（27） 計算臨界載荷p*。本文設(shè)置脈寬為τ0= 0：5 ms，將通過文獻(xiàn)[20] 公式和本文修正公式所計算的臨界拉伸撕裂條件與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比，如表6 所示，其中Q345 鋼的臨界失效應(yīng)變εf由文獻(xiàn)[26] 的材料參數(shù)給出。

由數(shù)值模擬和理論對比可知，本文中基于復(fù)合運動場模型修正的 “梁理論”計算方法誤差明顯較小，對于單向加筋板結(jié)構(gòu)的拉伸撕裂載荷計算具有一定的準(zhǔn)確性和可靠性。

根據(jù)表6 理論數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，隨著型材剛度的增大，本文修正公式的臨界載荷變化較大，而數(shù)值模擬觀測到的臨界載荷變化卻較小，造成這種情況的原因是由于本文理論中忽略了剪切應(yīng)變對最大等效應(yīng)變的貢獻(xiàn)。Nurick 等[1] 根據(jù)實驗研究發(fā)現(xiàn)，隨著加強筋剛度的增大，加筋板發(fā)生拉伸撕裂臨界時刻的最大永久變形會隨之減少。根據(jù)本文推導(dǎo)的固支梁端點拉伸應(yīng)變與最大永久變形關(guān)系式可以知道，擁有較強加強筋的板的邊緣拉伸應(yīng)變應(yīng)該更小，從而不易撕裂，但是Nurick 等實驗中的加筋板型材邊緣卻發(fā)生了拉伸撕裂破壞，這正說明隨著加強筋的剛度增大，剪切應(yīng)變對于等效應(yīng)變的貢獻(xiàn)逐漸增大。當(dāng)加筋板的加強筋剛度相對于加強筋的長度而言足夠大時，剪切應(yīng)變將不能忽略，否則會產(chǎn)生較大的計算誤差。同時，因為隨著加強筋的剛度增大，加筋板發(fā)生拉伸撕裂破壞時帶板梁端點處的剪切應(yīng)變也會增大，從而導(dǎo)致臨界拉伸撕裂載荷隨著加強筋剛度增大卻變化很小，符合文獻(xiàn)[1] 的實驗現(xiàn)象。

4 結(jié) 論

（1） 針對均布沖擊載荷下的固支單向加筋板，將加筋板簡化為帶板梁模型，基于固支梁沖擊變形理論解給出了加筋板最大永久變形理論解，給出了應(yīng)用此理論公式時加筋板長寬比需要滿足的條件，并通過數(shù)值模擬驗證了理論解的適用性；

（2） 通過不同加強筋情況下理論與數(shù)值模擬結(jié)果的對比發(fā)現(xiàn)，加強筋強弱會影響本文方法最大永久變形的理論解精度；當(dāng)加強筋抗彎剛度與矩形板內(nèi)板條梁抗彎剛度之比較大時，本文方法對于加筋板最大永久變形的理論解精度更高；

（3） 基于復(fù)合運動場模型，修正了固支梁端點拉伸應(yīng)變與最大永久變形關(guān)系式，并以等效應(yīng)變達(dá)到失效應(yīng)變作為拉伸撕裂條件，建立了加筋板在沖擊載荷下的拉伸撕裂臨界條件；通過數(shù)值仿真對臨界條件進(jìn)行了驗證，發(fā)現(xiàn)采用前人的固支梁端點拉伸應(yīng)變與最大永久變形關(guān)系式得到的臨界載荷誤差較大，均大于50%，而采用本文修正的關(guān)系式得到的臨界載荷誤差較小，誤差小于15%，證明本文修正的關(guān)系式在進(jìn)行工程化預(yù)報時具有更高的準(zhǔn)確性。

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（責(zé)任編輯 王小飛）

基金項目： 國家自然科學(xué)基金（ 52001091），中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金（3072022TS2608），黑龍江省自然科學(xué)基金聯(lián)合引導(dǎo)項目（LH2020E075）