對一道全國數(shù)學(xué)高考題的再推廣

摘 要：2015年全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷第20題文理科均涉及橢圓中線段中點(diǎn)的問題，不同的試題隱藏著同樣的結(jié)論，深入鉆研試題會發(fā)現(xiàn)橢圓中一些重要的結(jié)論.文章基于雙曲線和橢圓“同源同流”，對雙曲線中相應(yīng)的問題作進(jìn)一步探究，發(fā)現(xiàn)了相類似的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：高考題；推廣；橢圓；雙曲線；定值

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）36-0014-04

收稿日期：2024-09-25

作者簡介：董強(qiáng)（1985—），男，教育碩士，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

圓錐曲線中定值定點(diǎn)問題一直是高考試題考查的重要內(nèi)容，也是圓錐曲線本質(zhì)屬性的呈現(xiàn).在某種意義上，這些重要的結(jié)論從其他層面反映了圓錐曲線的形成過程.如果圓錐曲線中的一些特征幾何量不受動點(diǎn)或動線的影響而有固定的值（或經(jīng)過固定的點(diǎn)），那么這時圓錐曲線就產(chǎn)生了定值（定點(diǎn)）問題，這些定值（定點(diǎn)）問題往往能進(jìn)行推廣.

5 結(jié)束語

圓錐曲線中定值（定點(diǎn)）問題是圓錐曲線很重要的屬性之一，具有一定的探索和研究價(jià)值.一般而言，處理圓錐曲線中的定值問題，可以從特殊情況入手，投石問路，先求出所涉及的定值，再證明這個定值與變量無關(guān)；或者從圓錐曲線的方程出發(fā)，結(jié)合圖形，直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值；對于圓錐曲線中定點(diǎn)問題的探究，也可以先從特殊情況入手，先探索找到這個定點(diǎn)，再將這個定點(diǎn)作為已知條件，代入方程證明與變量無關(guān)即可；在圓錐曲線與直線的綜合問題中，如果要探索直線過定點(diǎn)，則可以設(shè)直線的斜截式方程y=kx+t，或者直線方程x=ny+m，然后利用已知條件建立關(guān)于k，t或n，m的等量關(guān)系進(jìn)行消元，最后借助直線系的思想找出定點(diǎn).另外，在證明直線或曲線經(jīng)過某一定點(diǎn)（定點(diǎn)坐標(biāo)已知）時，可把要證明的結(jié)論當(dāng)條件逆推回去，若得到使已知條件成立的結(jié)論，則證明了直線或曲線過定點(diǎn).對于動曲線C（圓錐曲線、直線等）過定點(diǎn)的問題，可以引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，最后得出定點(diǎn).總之，很多圓錐曲線定值（定點(diǎn)）問題都是可以推廣的，對于由特例或特殊情況得到的定值或者定點(diǎn)，一般就是圓錐曲線隱含的定值或定點(diǎn)；對不易通過特殊情況入手的類型，可以直接進(jìn)行消元、變形、化簡、運(yùn)算等，結(jié)合圖形，就容易找到定值（定點(diǎn)），從而發(fā)現(xiàn)一些有用的結(jié)論.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 董強(qiáng).2015年全國高考數(shù)學(xué)理科Ⅱ卷第20題的推廣探究［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2016（01）：11-12.

［責(zé)任編輯：李 璟］