類比遷移思想在初中數學教學中的應用

一、學情分析

學生通過小學階段的學習知曉了“分數的分子與分母都是具體數學概念”這一數學知識點。而在初中七年級數學學習中，學生進一步接觸到整式知識，并在這一時期學會使用字母表示數字與數列。分數與整式的知識為學生八年級學習分式知識做了鋪墊。對此，在分式的概念教學中，教師可以積極關聯學生舊有知識內容同化學習新知，加強分式與分數知識之間的聯系，引導學生開展行之有效的類比遷移學習。

二、教學目標

1.從“分數”角度理解學習“分式”各項知識。

2.根據分數運算法則學習理解分式加減乘除運算法則，并嘗試使用分式運算法則解決與分式運算相關的數學問題。

3.深入體會類比遷移思想內涵，學會使用類比遷移思維分析研究數學問題。

三、教學過程

“分式”可分為分式的概念與分式的運算兩部分知識內容。在分式運算教學基礎上，教師可以根據分式運算法則引導學生學習分式方程求解知識，進而提升學生對單元知識的認知水平，并引導學生在單元知識學習中充分掌握類比遷移思想在數學知識學習中的應用方法。

（一）“分式的概念”教學

課堂導入：

將已經了解的數學概念應用于對另一項數學概念的學習理解，從而獲取有關這一數學概念的新知識的學習思想就是數學學習中使用的類比遷移思想。在課前的預習中，學生對本章節內容會有“似曾相識”的感覺。從形式上看，分式與小學學過的分數相似；從內容上看，分式中含有字母，會聯想到學過的整式。

對此，課前預習中，教師先通過多媒體課件向學生出示若干分數：■、■、■、■…

教師：屏幕上的數字是同學們在小學時就了解的一種數。誰能說一說這種數叫什么？這種數有哪些具體性質？

教師提問后隨機指名班上學生作答。

學生作答過程中能夠順著教師的提問，自主回顧小學所學的各項與分數相關的知識，說明分數的各項數學性質，為后續類比分析學習創造條件。

教師通過多媒體課件向學生展示若干數學式：■、■、■…

教師：以上數學式與哪種數相近？具體哪些地方相近？

學生：上述數學式與分數最為接近。這些數式都表現為分數的形式，上、下兩部分可以分別與分數中的分子與分母相互對應。

通過以上課堂導入，學生能夠對分數與分式相近的特性形成一定的認知，為后續課堂學習活動奠定基礎。

課堂教學：

教師提問，學生依據教師要求開展問題探索

提問：共計有四組長方形與注水的圓柱體，第一組中，長方形寬為10 cm，圓柱體內水面高度為7 cm；第二組中，長方形寬為15 cm，圓柱體內水面高度為9 cm；第三組中，長方形寬為18 cm，圓柱體內水面高度為9 cm；第四組中，長方形寬為12 cm，圓柱體內水面高度為4 cm。四組中長方形寬與圓柱體水面高度的比值分別是多少？

教師引導學生觀察對比解題結果中的數學式與教材引言部分中出現的數學式，將兩組數學式分成兩個小組，分組后向學生提出探索要求：討論分析上述數學式分組的依據；觀察對比兩組數學式的共同點與不同點。

學生根據教師提出的要求，以小組為單位自主開展學習探究。

（二）分式性質探討

學生通過以往學習對分數的基本性質已經有充分了解。由此，教師在教學中，可以要求學生使用數學語言表達“■=■，■=■（c≠0）”。借助這一任務引導學生自主猜想分式的基本性質。經過對比分析，學生會認為分式的基本性質與分數的基本性質存在相似性。

之后，教師引導學生回顧“分式的概念”的相關知識。為進一步促進學生對分式概念與性質的理解與認識，教師需要在上一項活動的基礎上，進一步應用類比遷移思想，關聯分數概念與性質相關知識，開展分式與分數性質類比講解，使學生對分式性質的認知更深刻。

教師通過多媒體課件展示分數結構，引申總結分式基本性質：分數由分子、分母與二者之間的分割線構成。生活中，學生早期接觸的分數的分子、分母一般均為整數。而一個分數中分子與分母其中之一為多項式，或分子和分母都是多項式，并且分母中還包含變量，那這個分數就成了分式。根據分數一般定義可知，分數的分母任何情況下都不能為0，因此，分式的分母原則上也不能等于0。因此，分式最終取值為零時，則分子取值為零。

教師根據分數運算性質向學生分析說明分式運算中需要注意的事項：基于分數基本性質中分數的分子、分母同時與一個不等于0的數進行乘除運算，分數最終取值不會發生變化。分式中，字母、整式或代數式，其本質都表示任意數，基于此，分式基本性質應與分數基本一致。

教師完成以上講解教學后，可以向學生出示一定數量的分式運算例題。一方面通過計算過程了解學生對以上知識內容的學習效果，同時指導學生進行分式運算部分知識學習的課前預習，了解學生對有關分式運算知識認知方面的具體不足，由此對后續教學方案進行針對性的調整。

（三）“分式的運算”教學

1.分式的乘除教學

課堂導入：

教師向學生提問：■×■=？

學生：■×■=■=■=■

學生得出解題結果之后，教師再向學生出示一道分數相除的算式，要求學生根據以往所學的知識作答。

學生作答完畢之后，教師提出課堂教學架設：分數的乘除計算法則是分數的分子間相乘除與分母間相乘除。那么，與分數形式高度一致的分式乘除是否能夠按照這一法則進行乘除運算呢？

教師根據以上內容，引起學生對分式乘除運算是否與分數乘除運算法則一致的思考，之后進入這部分內容的正式教學階段。

課堂教學：

分式乘除教學中，教師可以采用與分式的概念部分同樣的教學模式，引導學生自主進行分數乘除與分式乘除知識的對比分析，完成對分式乘除知識點的總結歸納。在實際教學中，為進一步提高學生類比分析學習的深度，讓學生從“式”的角度看待分數與分式，教師可以引入與學生實際生活內容相關的例題幫助學生進行這部分知識的學習。

根據學生類比分析結果，分式乘除運算流程：第一步，對分式進行因式分解。第二步，使用分式乘除運算法則對經過因式分解處理后的分式進行運算。第三步，將計算結果約分得到分數形式的結果。這樣能夠讓學生在課堂學習中更加自然地將分式乘除運算與分數乘除運算關聯到一起，實現不同知識之間的類比遷移。

2.分式的加減教學

課堂導入：

教師利用多媒體設備向學生提問：■+■=？■-■=？

學生：分式加減運算需要保證分數的分母相同，在分母相同的情況下進行分子的加減運算，得出結果。第一個問題解題中，先通過通分，確定兩個分數分母的最小公倍數為6，根據通分處理得到算式■+■=■+■=■。分數減法計算也采用相同方法，最終得到結果■。

學生得出問題結果之后，教師提出問題：與分數性質高度一致的分式加減運算與分數加減運算的法則相同嗎？

之后教學中，教師具體以該問題為核心假設開展課堂教學。

課堂教學：

教師向學生出示教材中例題：分式■的分母中字母a能取任何實數嗎？為什么？分式■中的字母x呢？

教師帶領學生以小組為單位探討這道題的解題方法。學生合作探究過程中，教師提問：分式的分母可以取任何的數值嗎？學生回顧之前所學分式概念知識。通過分式性質知識可知，分式的分母不能為0，如果分式的分母最終值為0，即分式整體無意義，分式無法構成。

教師帶領學生開展例題1與例題2的練習。

例題1.根據■分式回答以下問題。

①當x取值為多少時，分式有意義？

②當x取值為多少時，分式計算結果為0？

③當x=1時，分式最終計算結果是多少？

例題2.甲、乙各自在公路上一處同時出發，彼此同向行進。已知甲每小時行a千米，乙每小時行b千米，a>b，如果乙提前1小時出發，那么甲追上乙需要多少時間？當a=6，b=5時，求甲追上乙所需的時間。

教師提出任務之后，要求學生關聯之前所學分式概念性質與分數乘除計算的相關知識內容，將知識點分別帶入例題的解題過程中，在得出結果的同時梳理分式各部分知識之間的關聯性。

課堂教學最后，教師帶領學生回顧課堂所學，對分式部分知識進行全面總結。

①分式定義：表示兩個整式相除，且除式中含有字母的代數式叫作分式。

②分式的分子等于零時，分式的值為零。

③分式的分母等于零時，分式沒有意義。

（三）拓展教學——解分式方程

課堂導入：

教師提問導入。

問題1：在分數■的分子上加幾使其等于■？

問題2：在分數■的分子和分母上同時加幾使其等于■？

教師引導學生聯系以往所學方程式相關知識，設未知數x進行問題求解。預設結果：

■=■ （1）

■=■ （2）

課堂教學：

1.了解方程求解計算方法

教師根據學生預設進一步發問：（1）式屬于什么類型的方程？（2）式屬于什么類型的方程？與（1）式對比，（2）式中未知數所處位置有哪些獨特之處？分式方程的標準定義是什么？

學生基于問題聯系以往所學知識類比整式方程（一元一次方程屬于整式方程）知識觀察式子，發現分母中的未知數，再結合前面所學分式知識得出分式的標準定義。

教師基于類比遷移思想，引導學生在解題中聯系既有的知識，助力學生對分式與分數知識形成體系化的認知。

2.類比分式方程求解過程，形成系統化分式方程求解思路

教師依據以上分式方程求解過程類比整式方程的學習過程，要求學生總結解題思路。學生在教師引導下回顧整式方程的研究思路，與之前的分式方程解題過程進行類比分析，給出分式方程的研究思路：概念→解法→應用。

根據以上學生對分式方程解題過程與思路的總結，教師要求學生對前面方程（1）與（2）進行求解。

求解整式方程■=■。

求解過程與思路：

2（1+x）=7（去分母）

2+2x=7（去括號）

2+2x-2=7-2（等式兩邊同時減去2）

2x=5（合并同類項）

x=■（等式兩邊同時除以2）

求解分式方程■=■。

方程求解預設：

2（1+x）=7+x

2+2x=7+x

2+2x-2=7+x-2

2x=5+x

2x-x=5

x=5

教師根據學生自主解題過程提問：把分式方程■=■轉化成為整式方程2（1+x）=7+x的這個步驟叫什么呢？你是怎么做到的？

基于問題結果進行預設：把分式方程轉化為整式方程，分母沒有了，學生自然會聯想到解整式方程時“去分母”的步驟。通過分析分式方程兩邊同時乘以2（7+x），確定去分母時方程兩邊乘的是最簡公分母。

教師根據以上問題的結果預設向學生展示規范解題過程。

求解分式方程■=■。

解：方程兩邊乘最簡公分母2（7+x），得到

2（1+x）=7+x

2+2x=7+x

x=5

檢驗：將x=5帶入原分式方程，左邊=■=右邊

所以，原分式方程的解為x=5。

四、教學反思

上述分式概念性質與分式各種形式計算的學習，能夠推動學生對分式涉及的知識建立較為全面的認知。課堂教學中類比遷移思想的應用，能夠讓學生更深刻地認識到分式與分數知識點之間的聯系，由此通過分數知識引入有力深化學生對分式知識的認知。分式計算在單元教學中屬于學生需要掌握的重點知識。通過以上課堂學習過程，學生能夠了解到：相較于分式乘除運算，分式加減運算具體涉及通分、因式分解、合并同類項等更多的知識點，因而分式加減運算相對而言更加復雜。通過學習，學生對分式運算技巧已經有比較深入的了解。根據分數乘除運算知識的學習，學生能夠自主完成單一的分式加減知識的類比遷移學習。

根據以上案例教學中的成功經驗，針對初中數學教學中類比遷移思想的應用，教師在實際教學中可以采取如下策略。

首先，引導學生發散思維，喚醒相應舊知。初中數學教學中，教師應注意類比遷移思想的運用，引導學生發散思維，尋找與新知識相近的問題作為學生類比學習的素材。在具體的引導方面，教師可以采用復習提綱、表格等方式，利用數學學科知識的系統化特征，讓學生通過提綱與表格對課堂新知進行歸類分析，將其納入學科整體知識體系的某一大類別中，進而從中尋找可用的類別素材。其次，明確新舊知識的內在關聯，了解知識本質。教師需要向學生說明課堂知識與所選擇類比知識的內在關聯，幫助學生對知識間的類比條件形成正確認知。最后，確定不同數學知識間的類比條件。教師在教學中需要引導學生從課堂所學知識最根本的基礎概念出發尋找。

教師根據以上對策、建議開展數學教學，能夠為學生學習數學知識提供全新的科學方法指導，為學生數學核心素養提升提供更為有力的幫助。

（作者單位：華東師范大學澄邁實驗中學）

編輯：常超波