基于數學建模核心素養的高中數學大單元教學實踐研究

【摘要】新課程改革的基本理念就是以學生發展為本，立德樹人，提升素養.從而要求教師必須優化課程結構，教學突出主線，精選內容把握數學本質，啟發思考，改進教學.所以大單元教學必須重視讓學生主動獲取知識，形成基本技能，體驗感悟學科學習過程，實現聚焦學科核心素養，提高教學質量的目的.在學習高中數學時，建立模型能高效地為學生創造思維條件，提供解決問題的資源和平臺，完成概念的建構.本文主要是構建教學模型，形成相關概念體系，闡述通過建立具體的正態分布函數模型來完成抽象的概念轉化，既提高教學效率又發展學生能力.

【關鍵詞】大單元教學；數學建模；核心素養

1 引言

《普通高中數學課程標準》著重指出，教學核心應聚焦于學科大概念，以此為核心驅動力，促進學生核心素養的全面發展.在此背景下，教育界逐漸達成共識：單純聚焦于零散知識點的傳授，難以有效構建學生的數學思維體系，積累其數學實踐經驗，更難以顯著提升其“四能”（即發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力）.因此教師們需采取更為宏觀的視角，跳出單一知識點或課時的局限，轉而致力于單元整體教學設計的規劃與優化.這一轉變旨在通過系統性的課程設計，確保學生核心素養的培養得到全面而深入的貫徹，從而更高效地達成教育目標.

1.1 大單元教學的定義

大單元教學在教學設計時，教師應從整體著眼，改變過去僅關注知識點和學習分數的習慣.從教學時間角度來看，大單元教學主張根據學習內容確定學習周期，將學生置于教學的中心位置，改變常規的課時決定教學模式.本研究認為大單元數學教學應以《普通高中數學課程標準》為根本，嚴格按照新課標的要求，考慮所教對象的實際數學能力，研究教材基本的內容，再根據具有內在聯系的教學內容開展教學組織.在實施大單元的數學教育計劃時，教師需要找到基礎理論和進階理論之間的關聯點，構建完整的知識點結構，指導學生探索這些知識點的內在關系，協助他們建立知識網絡.這樣可以提升學生的數學關鍵能力，增強課堂效果，滿足新課改的需求.

1.2 大單元教學與課標要求

大單元教學是近幾年來我國關于單元教學較大變革的一個教學形式.大單元指的是一個學生學習和教師教學的單位，所以，從大的教學單位的角度出發，研究如何通過數學課程的設計實現學科核心素養的落地是很有實際價值的.

1.3 大單元教學的意義

筆者認為，在進行高中數學中函數這一重要概念的大單元教學設計與實踐時，我們應專注于學科核心能力和學科主要概念的結構化內容.這將有助于提升學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算和數學建模等核心素養.為了實現這一目標，我們采用大概念教學與單元教學相結合的方式開展教學設計與研究.教師依據課程內容的特性及學生的學習基底與成長需求設定單位主題，并全面制定學習目標.此外，教師可以通過擴展知識點范圍、深化理解程度和提高難度以展示觀念，既能增強學生的關鍵能力，又為教師提出了新的挑戰和提高了自身的技能.

2 大單元教學課例設計與實踐

2.1 大單元教學課堂設計思路

根據大單元教學設計要求，教師需要從整體性出發，確定課程內容所屬主線，根據主線串聯知識結構前后關系開展設計.在教學情境的選擇上，結合生活情境要求，以問題為導向，引出教學內容；在教學方式的選擇上，專注于培養學科核心素養，講授、探究、活動等方式穿插使用；在教學內容的編排上，重視學科主要概念的理解與滲透，單元主線為核心，具體知識圍繞主線核心開展教學.所以，數學單元教學設計的操作步驟，主要包括前期準備、開發設計、評價修改三個大環節.根據自身要求，確定具體操作步驟為：確定大單元主題（或大概念）—確定分單元教學目標—規劃教學過程.

2.2 基于數學建模核心素養的高中數學大單元教學

結合大單元教學課堂的設計思路，基于數學建模核心素養的高中數學大單元教學可采取“單元主題規劃—單元內容邏輯梳理—數學建模情境創設—問題解決引導的教學過程設計”的設計思路開展，即根據單元內容創設合理的數學建模情境引入教學，并引導學生在數學建模問題解決的過程中完成單元知識的學習與應用.

2.3 “正態分布”教學案例設計

環節1 單元主題規劃

“正態分布”內容的學習一般都是放在概率統計這一章節，但正態分布研究的連續型隨機變量問題可以用函數關系表示，故從函數大單元的角度來看，這一內容同樣可放入函數大單元中進行研究.筆者結合新課標要求，以高中數學正態分布教學為例，對函數模塊的大單元教學設計展開研究.

當正態分布作為教學內容時，應將教學重點放在函數與數學模型的建立、函數性質與特征的探究以及運用函數解決實際問題上.這樣，學生可以深入學習如何借助函數來描述實際問題，并體會正態分布函數模型中參數的現實意義.

在統計學中，正態分布是一種普遍使用的分布模型，同時也是一個關鍵的數學模型.本課程將通過探討正態密度函數的圖象和性質，幫助學生理解正態密度函數的定義、圖象及其特性，從而使他們對于統計和函數的知識體系更加全面和系統化.

環節2 單元內容邏輯梳理

（1）單元目標

①認識正態密度函數解析式，正態密度函數圖象稱為正態密度曲線，并根據圖象與解析式總結正態密度函數的的性質.

②根據數學建模情境，發現正態分布的相關規律，經歷數學建模的相關過程以及了解函數的生成過程.

（2）教學情境的確定

正態分布在日常生活中無處不在，例如人的身高、考試分數、產品質量等都呈現出正態分布的規律.符合正態分布的數據大部分都集中在均值附近，而遠離均值的數據則相對較少.這種分布形式在自然界和社會現象中非常普遍，因為它符合許多隨機現象的基本規律.了解正態分布有助于我們更好地理解這些現象，預測未來趨勢，并做出更明智的決策.因此在教學情境的設計上，筆者選擇學生校園生活情境中的到校時間問題，展開數學建模活動，讓學生在數據統計中發現正態分布圖形的規律，從而引入教學.在函數大單元的教學設計中，設置合適的教學情境開展建模活動，讓學生通過函數模型的建立求解，理解和應用函數的相關知識，有利于大單元教學目標的實現.

（3）教學內容的編排

教學內容編排的原則包括以下幾個方面：目標明確、邏輯合理、循序漸進、多樣化、合理安排時間、個性化教學.因此在本節課內容的編排上，筆者將數學情境探究建模活動放在課前，給足學生小組合作探究的時間，讓學生個性化發揮探究的精神，同時在課堂上選擇展示，保留了新授課講課的時間，組織安排合理；在教學環節設計上緊扣教學目標，不忘大單元函數主線的教學要求，引入新知識、概念講解、實例演示、練習和總結等環節相互銜接，循序漸進地設計，從簡單到復雜、由易到難，使學生能夠逐步建立知識結構，并提高學習效果.

環節3 數學建模情境創設

（1）情境與問題

我校下午上課時間為2：40，為鼓勵學生下午早點到校午讀，需要制定合理的起床鈴聲時間和教學樓查遲到截止時間，確保大部分學生能正常進入教學樓.請同學們統計好數據，選擇合適的方法數據匯總.

（2）收集數據

利用視頻錄制學生分組記錄完成所有視頻中學生到校的數據統計，并思考相關問題：如何用直觀方式呈現其概率分布？并小組討論，找到合適的數學模型歸納.

指導學生將數據（樣本信息）處理后，根據自己小組處理問題的方向選擇繪制頻率分布直方圖或頻率分布折線圖.支持學生運用數學軟件擬合得到曲線及方程.

環節4 問題解決引導的教學過程設計

引入 根據環節3的數學建模問題的設置與數學活動的開展，教師已經讓學生完成了對正態分布曲線的初步認識，課堂教學過程中只需要引導學生進行性質的探究與學習.

問題1 頻率分布直方圖的思考

（1）頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示什么？

（2）如果觀測數據越來越多，會有什么變化？

（3）根據頻率與概率的關系，如何用鐘形曲線描述質量誤差的概率分布？

教師展示紙幣上類似的函數圖形，結合函數的知識，繪制得到的鐘形曲線是一個函數嗎？如果是，它是否存在解析式？

設計意圖 通過紙幣上的數學家引起學生的興趣.教師向學生們展示了眾多生活實例中呈現正態分布規律的隨機數值，并把這些案例融入教學內容當中，讓學生們理解正態分布在現實中的應用.此舉既強調了課程的核心學習目標，又激起了學生的探索欲望，讓他們去探尋各類概率分布與函數之間的共通之處，從而提升他們對數學抽象思維及演繹推理技巧的掌握程度.

知識生成 由函數知識，科學家們找到了刻畫分布密度函數的解析式；函數的圖象稱為正態密度曲線，若隨機變量x的概率分布密度函數為f（x），則稱隨機變量x服從正態分布.

問題2 函數性質的探究

從函數性質著手，能否找到正態分布密度曲線的特點？

正態密度函數解析式為：f（x）=1σ2πe^{－（x－μ）2}2σ²，x∈R，μ∈R，σ>0為參數.

圖象為正態密度曲線，若隨機變量x的概率分布密度函數為f（x），則稱隨機變量x服從正態分布，記為X～Nμ，σ².當μ=0，σ=1時，稱隨機變量X服從標準正態分布.讓學生共同總結密度曲線圖象特征，從正態密度曲線特征跟函數性質進行大單元復習的融合：

（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

（2）曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；f（x）在x＝μ處達到最大值；

（3）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；

（4）σ越大，正態曲線越扁平，σ越小，正態曲線越尖陡；

（5）當μ=0，σ =1 時，稱隨機變量x服從標準正態分布，圖象關于y軸對稱.

設計意圖 此環節基于學生的現有知識水平，引導學生通過觀察正態密度函數的圖象與解析式，完成函數性質的分析.這樣的設計既合理又自然，幫助學生將已學的函數知識與正態密度函數進行融合，更好地理解函數的性質特征，體現了單元教學的連貫性.

問題3 知識應用與思考

回到數學建模問題中學生上課鈴聲的問題研究，請根據某日下午14：10—14：30學生進入教學樓的情況，給出合理的鈴聲制定建議與遲到檢查截止時間的策略.你們從這節課的正態分布圖象的學習后有了什么研究結果？現實生活中同學們還能找到哪些連續型隨機變量的概率模型？正態分布是否出現于大家的周圍？

設計意圖 再次借助問題場景中的背景，完成教學過程的前后呼應，這也是一個與概率有關的真實問題.讓學生體會數學與生活的聯系及在生活中的應用性.

3 結語

數學知識是相互關聯的，而非孤立的知識點.大單元教學重視對知識結構的重新構建，旨在更好地掌握知識邏輯體系和學生認知規律，從而提升教學質量.本文從宏觀角度出發，重新設計教學結構，確保教學情境和課程內容系統化，問題設計結構化.這樣能夠使學生在學習過程中深刻體驗和感悟知識的應用，以及實際運用的過程.在新課標背景下，高中數學大單元教學具有重要意義，教師需要積極開展相關研究，完善大單元教學模式，探索知識重構的方式，努力實現高效課堂.

【基金：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2023年度課題《基于學科核心素養的高中數學大單元教學研究——以函數為例》（課題編號：2023C502）的研究結果】

參考文獻：

［1］崔允漷.學科核心素養呼喚大單元教學設計［J］.上海教育科研，2019（04）：1.

［2］黃榮.核心素養視域下的數學單元教學——以“三角函數”教學為例［J］.高中數學教與學，2024（02）：11-13.