淺談高考試題對學生運算能力的要求

[摘 要] 文章以2023年高考試題為例，深入剖析其對學生運算能力的具體要求，從“明確運算對象”“掌握運算法則和公式定理”“探究運算思路”以及“選擇運算方法”四個方面，探討它們如何共同作用于運算效率的提升，并揭示其潛在的制約因素;探討教師如何從上述四個方面深入理解高中生的數學運算能力，并在此基礎上，針對新高考背景，提出切實可行的發展學生數學運算能力的策略與建議.

[關鍵詞] 數學運算能力;運算對象;運算法則;公式定理;運算思路;運算方法

數學運算能力作為高中生必須掌握和運用的基本能力，不僅對學生數學問題的解決和成績的提高有積極作用，還對學生運算素養的形成和其他學科的學習起著關鍵作用[1].

什么是數學運算能力？《中國中學教學百科全書·數學卷》對數學運算能力的界定為：數學運算能力是一種非單一的數學能力，是運算技能與邏輯思維能力等的一種獨特的結合[2]. 學生的數學運算能力主要是通過數學解題活動逐步發展的，因此，研究學生的數學運算能力應當從數學解題活動入手. 在日常學習中，學生常常提到“這道題我會做，但計算時出了差錯”，這說明學生的數學運算能力普遍有待提高.

本文以2023年高考試題為例，站在學生的角度探究影響運算效率的因素，整理得到運算的四個方面在學生解決問題過程中發揮的重要作用.

運算的前提——明確運算對象

明確運算對象就是要確定運算對象是誰，理解運算對象的含義、作用、本質等. 明確運算對象是正確運算的前提. 我們知道數學中的許多內容都涉及運算，正是因為有了運算，才使得數學概念“插上了翅膀”，得以升華[3]. 換句話說，明確運算對象是解決問題的第一步，只有理解運算對象的本質，才能夠順著題目條件繼續前進.

例1 （2023年高考新課標Ⅰ卷第20題）設等差數列{a}的公差為d，且d>1. 令b=，記S，T分別為數列{a}，{b}的前n項和.

（1）若3a=3a+a，S+T=21，求{a}的通項公式;

（2）若{b}為等差數列，且S-T=99，求d.

運算對象1 等差數列{a}和{b}.

設本題的運算對象為等差數列{a}和{b}，根據其通項公式a=a+（n-1）d和b=b+（n-1）d的結構可知，運算對象又是a與d，b與d之間的關系. 對于等差數列的基本量之間的關系，可運用待定系數法求得.值得注意的是，由于本題涉及的未知量較多，采用待定系數法相較于其他解法復雜煩瑣，因此容易出錯.

詳細解答 根據S-T=99以及等差數列的性質可知，99a-99b=99，即a-b=1.

令b=b+（n-1）d，a=a+（n-1）d，代入b=，整理可得ddn2+（bd+ad-2dd）n+（a-d）（b-d）=n2+n，則

dd=1，

b

d+a

d

-2dd=1，

（

a-d）（

b

-d）=0.

若a=d，則b=，d=，由a-b=a+49d-b-49d=50d-=1，得（d+1）（50d-51）=0. 因為d>1，所以d=.

若b=d，則b=d=，a=2d，a-b=a+49d-b-49d=51d-=1. 因為d>1，所以51d->1，無解.

所以，d=.

運算對象2 等差數列{a}.

設本題的運算對象為等差數列{a}，即基本量a與d之間的關系. 因為b==，所以要尋找a與d之間的關系，可構造關于a，d的方程，借助{b}為等差數列的條件，得到a=d或a=2d. 該方法涉及的未知量較少，計算更簡潔，但需要先明確{a}為運算對象.

詳細解答 因為{b}為等差數列，所以2b=b+b，即=+. 所以6

-

==，即a-3ad+2d2=0，解得a=d或a=2d.

因為d>1，所以a>0. 又S-T=99，由等差數列的性質可知，99a-99b=99，即a-b=1. 所以a-=1，即a-a-2550=0，解得a=51或a=-50（舍去）.

當a=2d時，a=a+49d=51d=51，解得d=1，與d>1矛盾，無解;當a=d時，a=a+49d=50d=51，解得d=.

綜上可知，d=.

運算對象3 一次函數.

由于{a}，{b}為等差數列，因此{a}，{b}的通項公式一定可以表示為一次函數的形式. 又b==，則a=dn或a=d（n+1）. 該方法的計算更簡便，但要求學生理解等差數列的本質，明確等差數列通項公式與一次函數之間的關系.

詳細解答 因為b==，{a}，{b}為等差數列，所以a=dn或a=d（n+1）.

若a=dn，則b=. 由S-T=99，得a-b=a+49d-b-49d=50d-=1，所以d=或d=-1（舍去）.

若a=d（n+1），則b=.由S-T=99，得a-b=a+49d-b-49d=51d-=1，所以d=-（舍去）或d=1（舍去）.

從上述三個運算對象的研究中可以看出，不同的運算對象會產生不同的運算量和復雜程度. 確保運算的精確性，要求學生深入理解運算對象的本質、相關概念以及數學思想方法等. 根據題目的關鍵信息和條件，去偽存真，由表及里，能夠自然順暢地進行運算.

運算的速度——掌握運算法則和公式定理

掌握運算法則和公式定理，并不是簡單的認知和套用，而是要達到熟練運用的程度. 學生不僅應擅長運算，還應追求運算的簡潔性. 數學運算法則的運用涉及學生復雜的心理過程. 在解決具體問題時，學生需要依靠主觀判斷來識別數學運算對象，并進一步尋找、判斷和選擇適合這些對象的法則和定理[4]. 在日常學習中，學生會面臨各種公式和定理的多樣性問題，這要求他們在日常訓練中不斷積累經驗、不斷嘗試和糾正錯誤，并根據具體情況準確選擇最簡捷有效的方法.

1. 選擇運算法則

例2 （2023年新課標全國Ⅱ卷第7題）已知α為銳角，cosα=，則sin=（ ）

A. B.

C. D.

題目已知cosα，求sin，所以聯想到倍角公式，得cosα=1-2sin2=，sin=. 對于開雙重根號的問題，在選擇題中，代入驗證是一種有效的策略，但仍要熟悉開雙重根的方法.

詳細解答 由cosα=1-2sin2=，且α為銳角，解得sin====. 選D.

2. 選擇公式定理

例3 （2023年新課標全國Ⅰ卷第17題）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A-C）=sinB.

（1）求sinA;

（2）設AB=5，求AB邊上的高.

對于本題第（2）問，求AB邊上的高h，既可以利用h=AC·sinA或h=BC·sinB來求解，也可以應用三角形面積公式建立關于h的方程來求解，如AB·AC·sinA=AB·h或AB·BC·sinB=AB·h或BC·AC·sinC=AB·h. 本題已知△ABC的兩角和邊AB，若選用正弦定理，則解唯一且計算效率高;若選用余弦定理，則計算量大且有兩解，雖然可以根據已知條件保留一解，求得正確答案，但計算效率較低.

詳細解答 由（1）知，cosA==. 由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

+

=，以及正弦定理=，可得b==2. 又AB·h=AB·AC·sinA，所以h=b·sinA=2×=6.

從上述解答過程可以清晰地看到，運算法則、運算公式和定理的應用并非生搬硬套. 對于適用條件的理解以及正逆運算的靈活處理，都直接影響著運算的復雜性和解題的效率.

運算的方向——探究運算思路

運算思路是運算操作的路線圖，具有內在的邏輯性，蘊含著豐富的推理過程，不同的運算思路反映著不同的運算思維，運算思路通過運算方法和運算過程來體現[5]. 通過理解運算對象的內容、運算對象的背景、運算對象所在的知識體系，多角度觀察，實現運算對象的不同形式的表示，將運算對象表征的過程即探究運算思路的過程[6]. 由于探究條件的角度不同，因此運算思路不同.

例4 （2023年高考全國甲卷理科第20題）已知直線x-2y+1=0與拋物線C：y2=2px（p>0）相交于A，B兩點，且AB=4.

（1）求p;

（2）設C的焦點為F，M，N為C上兩點，·=0，求△MNF面積的最小值.

解析幾何的一般運算思路為：①將給定的幾何條件坐標化，轉換為代數方程，通過方程的運算來解決幾何問題;②由形啟數，尋找合適的運算對象，表征題目給出的條件，并利用數對形進行量化分析. 在解決問題前，需要考慮用單參還是雙參對點或線進行表征;正設直線還是反設直線;先求什么，后求什么;是否需要“設而不求”[7].

思路1：設直線

已知C上的兩點M，N，就相當于已知一條直線.由于這條直線的斜率不為零，因此可設為x=my+n. 根據條件·=0，利用向量坐標運算以及韋達定理，得到關于m，n的代數方程. 此代數方程可將兩個參數m，n化為其中一個參數，然后將△MNF的面積表示為這個參數的函數，最終求出函數的最值即可.

該思路貼近學生常規的解題路徑，即聯立直線與圓錐曲線的方程，利用向量坐標運算以及韋達定理，得到關于m，n的代數方程. 然而，在計算三角形面積時，涉及弦長公式與距離公式的應用，這一過程較為復雜，容易導致計算錯誤. 這更能體現學生的運算能力.

詳細解答 因為F（1，0），所以直線MN的斜率不為零，故設直線MN：x=my+n，M（x，y），N（x，y）.

由y2=4x，

x=my+n可得y2-4my-4n=0，所以y+y=4m，yy=-4n，Δ=16m2+16n>0?m2+n>0.

因為·=0，所以（x-1）（x-1）+yy=0，即（my+n-1）（my+n-1）+yy=0，即（m2+1）yy+m（n-1）（y+y）+（n-1）2=0.

將y+y=4m，yy=-4n代入上式，得4m2=n2-6n+1. 由于4（m2+n）=（n-1）2>0，故n≠1，且n2-6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3-2.

設點F到直線MN的距離為d，則d=，MN==

y

-y==2=2·n-1，故△MNF的面積S=·MN·d=··2n-1=（n-1）2. 又n≥3+2或n≤3-2，所以，當n=3-2時，△MNF面積的最小值S=（2-2）2=12-8.

思路2：拋物線的焦半徑

由拋物線的定義，得到焦半徑MF=，NF=，然后根據MF⊥NF，將△MNF的面積表示為關于θ的函數，最后運用換元法求得函數的最值.

此思路體現了數形結合思想，即借助“形”得到兩個焦半徑（MF，NF）的表達式，根據垂直關系得到△MNF的面積表達式. 運算過程更簡潔.

詳細解答 假設直線MF的傾斜角為θ，則可得MF=，NF==，△MNF的面積S=·MF·NF==.

設sinθ-cosθ=t，則t=sin

θ-

≤. 當θ=時，t=. 因為t2=1-2sinθcosθ，所以sinθcosθ=. 所以，S==

≥

=12-8.

所以，當θ=時，△MNF面積的最小值為12-8.

在解題過程中，學生關注差異化運算思路，基于一個問題學到多種解法，然后通過對比，選擇運算量小、變形更為簡單或者運算步驟更為簡便、出錯率相對小的解題思路，這樣既有利于全面了解運算對象，構建該對象的知識體系，還有利于大幅提升運算效率.

成功得到答案的關鍵——選擇運算方法

學生選擇運算思路后，若未能進一步深入計算，僅僅堆砌公式，則難以順利得出答案. 另外，在計算過程中，可能遭遇難以處理的函數或方程，導致無從下手. 此時，教師可引導學生利用化繁為簡的策略，將其轉化為可解的函數或方程.

例5 （2023年高考新課標Ⅰ卷第16題）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F，F. 點A在C上，點B在y軸上，⊥，= -，則C的離心率為______.

本題的運算思路有兩個：一是利用雙曲線的定義和三角形的邊角關系求解的幾何方法;二是設點坐標，利用向量運算求解的代數方法.不同的運算思路下有不同的運算方法，因為所求量為離心率，所以兩種方法的落腳點都是關于a，c的齊次方程.

方法1：余弦定理

利用余弦定理或勾股定理以及雙曲線的對稱性（

BF=

BF）得到一個方程，由于該方程含有三個未知量a，c，m，因此采用消元法，將m用a，c表示出來，進而整理為關于a，c的齊次方程.

詳細解答 依題意，設

AF=2m，則

BF=3m=

BF，

AF=2a+2m.

在Rt△ABF中，9m2+（2a+2m）2=25m2，即（a+3m）（a-m）=0，得a=m或a=-3m（舍去）.

所以，

AF=4a，

AF=2a，

BF=

BF=3a，AB=5a. 所以，cos∠FAF===.

在△AFF中，可知cos∠FAF==，整理得5c2=9a2，故e==.

方法2：整式方程

設出各點的坐標，根據=-·，⊥，將x，y，t變為基本量，再將A點的坐標代入雙曲線的方程，得到-=1.本題的運算關鍵在于對方程-=1的整理：先將-=1變為25c2b2-16c2a2=9a2b2，再代入b2=c2-a2，得到關于a，c的齊次方程.

詳細解答 依題意，得F（-c，0），F（c，0）. 令A（x，y），B（0，t）.

因為=-，所以（x-c，y）= -（-c，t），則x=c，y=-t.

又⊥，所以·=

c，-t

（c，t）=c2-t2=0，則t2=4c2.

因為點A在C上，所以-=1，整理得-=1，即-=1. 所以，25c2b2-16c2a2=9a2b2，即25c2（c2-a2）-16a2c2=9a2（c2-a2）. 整理得25c4-50c2+9a4=0，即（5c2-9a2）（5c2-a2）=0，解得5c2=9a2或5c2=a2. 所以，e=或e=. 又e>1，故e=.

選擇適當的運算方法深刻反映學生對運算技巧的掌握程度與理解深度，進而導致運算量的差異與運算復雜度的不同. 這直接關系到能否快速且正確地得到答案.

基于上述高考試題對學生運算能力所提出的具體要求，教師在教學實施過程中，不僅要關注數字運算，還要關注代數式的處理、恒等變形的掌握以及解題技巧的應用.學生借助日常解題實踐，能夠深化對運算對象的理解，精準把握其本質特性，并有效降低運算的復雜度;能夠掌握運算法則，靈活處理正逆運算;能夠明晰運算思路，優化運算邏輯結構;能夠深入理解多樣化的算理算法，靈活運用數學思維，系統整理并優化運算技巧. 在這些堅實的基礎上，逐步提升學生的運算效率，培養其精確運算與嚴密推理的數學能力.

參考文獻：

[1] 胡艷. 數學運算素養下的圓錐曲線試題研究[D]. 華中師范大學，2021.

[2] 曹才翰. 中國中學教學百科全書數學卷[M]. 沈陽：沈陽出版社，1991.

[3] 張定強，孫黎. 基于數學運算素養視角的高考試卷分析及教學建議：以2019年全國Ⅱ卷、浙江卷與上海卷為例[J]. 中學數學，2020（11）：23-27.

[4] 黃偉杰. 學懂悟透新高考精神，探究數學運算能力培養策略[J]. 數學教學通訊，2023（15）：56-58.

[5] 閆佳潔，張定強. 高考試題中的“數學運算素養”解析：以近五年新課標全國理科卷Ⅱ為例[J]. 中學數學雜志，2018（11）：49-53.

[6] 毛梁成，王悠悠. 明晰運算對象 探究運算思路 落實運算素養[J]. 福建中學數學，2019（12）：16-19.

[7] 阮金鋒，趙祥枝. 數學運算素養在解析幾何中的考查分析：以2021年全國新高考Ⅰ卷第21題為例[J]. 中國數學教育，2022（24）：45-48.