剖析數列求和方法

[摘 要] 數列是高考必考內容，涉及多個知識點，要求考生掌握方法技巧、規律分析、運算推理和思路構建. 學生探究解題時應深入理解考點，總結方法策略，并積累解題經驗. 研究者通過分析一道考題，總結求解數列前n項和的方法.

[關鍵詞] 數列考題;通項公式;求和方法

問題綜述

數列是高中數學的重點知識，高考每年都有針對性的命題考查，涉及數列通項公式、數列前n項和，以及函數和不等式的結合. 數列問題解析對學生的方法技巧的要求較高，需要掌握常規數列求法，以及特殊情形下的放縮、拆解等技巧.

由于數列解析涉及大量運算，因此要求學生運算清晰，能運用簡算技巧推導和總結規律. 本文建議總結題型方法，結合實例加強練習，形成解決數列問題的策略.

示例探究

2023年全國高考甲卷理數第17題為數列壓軸題，考查數列的通項公式和前n項和的求法. 問題難度一般，但所涉及的知識和方法是數列內容的核心，具有較高的研究價值. 建議以該考題為例進行探究剖析，拓展總結解法.

1. 考題探究

（2023年全國高考甲卷理數第17題）已知數列{a}中，a=1，設S為{a}前n項和，2S=na.

（1）求{a}的通項公式;

（2）求數列

的前n項和T.

2. 過程解析

（1）對n進行分類討論，具體如下：

當n=1時，2a=a，即a=0;

當n=3時，2（1+a）=3a，即a=2;

當n≥2時，2S=（n-1）a，所以2（S-S）=na-（n-1）a=2a，化簡得（n-2）a=（n-1）a;

當n≥3時，==…==1，即a=n-1.

當n=1，2，3時都滿足上式，所以a=n-1（n∈N*）.

（2）因為=，所以T=1×

+2×

+3×

+…+n×

，T=1×

+2×

+…+（n-1）×

+n×

. 兩式相減可得T=

+

+

+…+

-n×

=-n×

=1-

1+

，即T=2-（2+n）

，n∈N*.

3. 命題剖析

上述考題考查數列的通項公式和前n項和，結合數列規律對核心條件進行剖析轉化是解題關鍵.

第（1）問：已知2S=na，求{a}的通項公式，實則是分析a與S的關系.

①數列{a}的前n項和S=a+a+…+a;②數列{a}的通項公式a=S

，n=1，

S

-S，n≥2.

已知S求a，可分三步：第一步，用a=S求出a;第二步，用n-1替換2S=na中的n，得到一個新的關系，再用a=S-S（n≥2）求出n≥2時a的表達式;第三步，檢驗n=1時a的表達式可否與n≥2時a的表達式合并.

第（2）問：求數列

的前n項和T. 由于數列

不屬于常規數列，故無法用公式法求解Tn. 剖析=，可知其項是等差數列{n}和等比數列

的對應項之積，故可用錯位相減法求解Tn.

方法探索

數列的前n項和的求解方法眾多，除錯位相減法外，常用的還有倒序相加法、裂項相消法、分組求和法和插入新數列混合求和法等. 探究學習要求學生深入理解解法，掌握構建過程，并結合問題特征進行求解.

1. 倒序相加法

倒序相加法：若某個數列的首末兩端等“距離”的兩項的和相等，則可用倒序相加法求這個數列的前n項和，如等差數列的前n項和就是用此法推導出來的.

倒序相加，顧名思義就是先“倒序”再“相加”，因此具體使用時分兩步：第一步，針對數列的前n項和，先正序書寫，即S=a+a+…+a，然后倒序書寫，即S=a+a+…+a;第二步，兩式相加，變形整理，求得S.

例1 已知函數y=f（x）滿足f（x）+f（1-x）=1，若數列{a}滿足a=f（0）+f

+f

+…+f

+f（1），則數列{a}的前20項和為______.

思路分析 根據題意可知f（x）+f（1-x）=1，變量“x”和“1-x”始終滿足 x+1-x=1. 又a=f（0）+f

+f

+…+f

+f（1），故可使用倒序相加法求解.

解答 正序書寫，即a=f（0）+f

+f

+…+f

+f（1）;倒序書寫，即a=f（1）+f

+f

+…+f

+f（0）. 兩式相加，即2a=[f（0）+f（1）]+

f

+f

+

f

+f

+…+

f

+f

+[f（0）+f（1）].

變形整理，得2a=1+1+1+…+1?2a=n+1?a=.

分析可知，{a}是首項為1，公差為的等差數列，其前20項和為=115.

方法點撥 采用倒序相加法求解，關鍵是挖掘數列關系式的特征. 使用時需要注意兩點：一是確保思路清晰，分兩步構建過程;二是變形整理時注意“相抵相消”，簡化運算.

2. 裂項相消法

裂項相消法：把某個數列的通項公式拆分成兩個式子之差，在求和時抵消中間的一些項，最終求得其和. 使用時先“裂項”再“相消”，故分兩步：第一步，裂項，即把數列的通項公式拆分成兩個式子之差;第二步，相消，即通過累加，抵消中間的一些項，再整理構“型”.

例2 已知等差數列{a}滿足a-a>0（n∈N*），且a+a+a=15，a，a，a成等比數列.

（1）求數列{a}的通項公式;

（2）若b=，求數列{b}的前n項和S.

思路分析 第（1）問：求數列{a}的通項公式，直接利用等比數列的性質即可完成;第（2）問：核心之問，需要結合第（1）問分析bn的特征，再確定具體的求和方法.

解答 （1）設等差數列{a}的公差為d，因為a，a，a成等比數列，所以（a+3d）2=（a+d）（a+7d），整理得（d-a）d=0. 又a-a>0，所以d>0，a=d. 而a+a+a=3a+12d=15，即15d=15，所以a=d=1. 所以a=n.

（2）因為a=n，所以b==. 該式具有明顯的可用裂項相消法求其前n項和的特征，但裂項是解題難點，裂項時要把握住“型”. 具體求解過程如下：

先用待定系數法裂項，即設b==k

-

. 然后通過通分，逆向求出k值，即k

-

=k·=k·=k·，與b=對比分析可得k=1.

后續裂項求和，得S=

-

+

-

+

-

+…+

-

+

-

+

-

=-1. 所以{b}的前n項和S=-1.

方法點撥 數列{b}的通項公式符合裂項的特征，屬于指數型. 裂項是解題難點，可用待定系數法加以檢驗.

對于指數型裂項求和問題，可細分為指數式在分子和指數式在分母兩種情形，其裂項方式如下：

①若指數式在分子，例如b==-，分母分別為n+1和n+2，分母大的寫前面，分母小的寫后面;

②若指數式在分母，例如b==-，分母分別為n·2n和（n+1）·2n+1，分母小的寫前面，分母大的寫后面.

3. 分組求和法

分組求和法：若某個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或其他可求和的數列的通項公式組成的，則可用分組求和法求該數列的前n項和. 分組求和法先“分別求和”，再“相加相減”，因此使用時同樣分兩步：第一步，將通項公式拆分成多個等差數列或等比數列的通項公式;第二步，分別求和后加減組合.

例3 已知數列{a}的前n項和為S=1-2a，且a=.

（1）求數列{a}的通項公式;

（2）b=log

a，n為奇數，

a，n為偶數（n∈N*），求數列{b}的前2n項和T2n.

思路分析 第（1）問：求數列{a}的通項公式，利用作差法即可完成;第（2）問：求數列{b}的前2n項和T2n，注意到數列{b}的奇偶通項不同，可考慮使用分組求和法.

解答 （1）在數列{a}中，已知S=1-2a，則S=1-2a. 兩式作差，可得S-S=（1-2a）-（1-2a），即a=a. 當n=1時，S=1-2a，即a=. 又a=a=，所以數列{a}是以為首項，為公比的等比數列. 所以a=·

=.

（2）由（1）問可知a=，所以{b}的通項公式b=n，n為奇數，

，n為偶數（n∈N*）. 所以T=（b+b+…+b）+（b+b+…+b）=（1+3+…+2n-1）+

++…+

=+=n2+-. 所以數列{b}的前2n項和T2n=n2+-.

方法點撥 求解時要注意到T2n為偶數項和，最后一項一定是偶數項;若求的是T，最后一項是奇數項還是偶數項，則需要分類討論.

分組求和法常用于兩種類型：

類型1：特殊數列，即數列通項公式是c=a±b的形式，其中a，b是等差數列或等比數列或其他可求和的數列的通項公式.

類型2：數列由奇、偶項組合而成，即數列通項公式是c=

a，n為奇數，

b，n為偶數的形式（an，bn同上述一樣）. 本例就屬于該種類型.

4. 插入新數列混合求和法

插入新數列混合求和法：若某個數列各項的關系不連續，插入新數列后可以轉化為關系連續的數列求和.

例4 已知數列{a}的前n項和S滿足S=1，S=4，S+S=2（S+1）.

（1）求{a}的通項公式;

（2）在a與a之間插入一項b，使a，b，a成等比數列，且公比為q（q>0），求數列{lnq}的前n項和T.

思路分析 第（1）問：求數列{a}的通項公式，解題關鍵是變形S+S=2（S+1），得到關系式a-a=2. 第（2）問：由題意可知（2n-1）q=2n+1?q=，兩邊同時取自然對數，得2lnq=ln，再分析其特征，明確求和方法.

解答 （1）數列{a}的前n項和S滿足S+S=2（S+1），則（S-S）-（S-S）=2，可得a-a=2. 又S=1，S=4，則a-a=S-2S=2. 所以{a}是首項為1，公差為2的等差數列，可得a=2n-1. 所以{a}的通項公式為a=2n-1.

（2）因為a，b，a成等比數列，且公比為q，所以an·q=an+1. 因為a=2n-1，所以（2n-1）q=2n+1，即q=. 因為q>0，則2lnq=ln，可得lnq=ln=[ln（2n+1）-ln（2n-1）]，化簡得T=lnq+lnq+…+lnq=[ln3-ln1+ln5-ln3+…+ln（2n+1）-ln（2n-1）]=ln（2n+1）. 所以數列{lnq}的前n項和為T=ln（2n+1）.

方法點撥 插入新數列混合求和法是一種特殊的數列重組方法，求解時需明確兩點：一是插入數列的位置，明確前后關系;二是重組數列的特征，可通過數列關系式整合變形來確定.

插入新數列的混合形式多樣，常見的有等比型、等差型和混合型，具體求解時可綜合解法，混合構建.

寫在最后

數列是高中數學的核心內容，涉及多種考查角度. 掌握其通項公式和求和技巧對解題至關重要. 建議將探究學習分為兩個階段進行指導：階段一，結合考題類型探索高考考向、重點知識和方法技巧;階段二，引導學生結合方法策略進行實例探索，強化應用.