合理優化課堂教學　促進學生全面提升

[摘 要] 促使學生積極主動地參與課堂教學，是提升數學課堂教學效率的一種有效措施. 在日常教學中，教師要認真研究學生，把準實際學情，明確教學目標，合理優化教學過程，確保每個學生都能參與其中，通過自主探究和合作交流，更深入地理解知識，提升學生的數學能力和數學素養.

[關鍵詞] 教學過程;數學能力;數學素養

在課堂上，不少學生主要通過教師講授獲取知識，往往不敢提問或不知如何提問，導致教學效率不高. 在高中數學教學中，教師應重視優化教學過程，通過創造有效的教學情境，激發學生主動參與課堂，引導他們用數學眼光觀察世界，用數學知識解決現實問題，從而促進學生的數學能力和數學素養全面提升[1]. 筆者以“余弦定理”教學為例，談談如何優化課堂教學，提升教學實效.

教學任務分析

1. 內容分析

余弦定理是解決斜三角形問題的重要定理之一，它既是初中所學的勾股定理的拓展，也是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體應用. 余弦定理在生產、生活中有著廣泛的應用.

2. 學情分析

學生在學習本課之前已經掌握了三角函數、向量和正弦定理等知識，具備研究三角形邊角關系的基礎. 但總體上，他們的數學應用意識、創新能力和自主探究意識較弱，這可能導致在推導過程中遇到困難. 因此，教師在鼓勵學生進行探究的同時，需要適時提供啟發和指導，幫助學生通過解決問題來理解知識，認識問題本質，并掌握數學研究方法，從而提高學生的自主探究能力.

3. 教學目標

（1）掌握余弦定理的兩種表示，結合平面向量知識證明余弦定理;

（2）知曉余弦定理和勾股定理之間的關系，熟練運用余弦定理及推論解三角形;

（3）通過觀察、推導、比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，體會數形結合、一般與特殊等數學思想方法的價值，提升數學抽象、邏輯推理等核心素養.

4. 教學重點和難點

（1）余弦定理及其推導過程;

（2）余弦定理的應用.

教學過程

1. 創設情境，引出問題

問題1 為了更好地促進經濟發展，某地區欲開鑿一條穿山隧道. 開鑿前，某施工隊需要制定測量方案和開鑿路徑，以確定隧道的長度. 結合所學的三角形知識，你能設計一個測量方案，以便測量出隧道的長度嗎？（假設山腳兩端標記為B，C，山腳所在平面為α.）

師生活動：問題給出后，學生積極思考，提出可以在平面α上構造一個直角三角形，即在平面α上選定一點A，使得AC⊥AB，這樣分別測量出AB，AC的長，再借用勾股定理，求出BC的長. 教師肯定了學生的方案，并提出問題：若∠BAC=60°，能否求出BC的長？若∠BAC=β呢？這樣通過有效追問，自然引發學生思考：已知一個三角形的兩邊及其夾角，能否求出第三邊的長？

設計意圖 以生活情境為背景，激發學生探索問題的興趣，提高學生發現、分析和解決問題的能力. 此環節，教師預留時間讓學生設計測量方案，引導學生用數學眼光看待現實問題，用數學知識解決現實問題，增強學生數學應用意識.

2. 合作探究，探索新知

問題2 在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若已知b，c和A，如何求a？（用b，c和A表示a）

師生活動：問題給出后，教師讓學生以小組為單位共同探究，然后展示結果. 教學片段如下：

生1：可以嘗試構造直角三角形，利用勾股定理求其邊長，但是這里需要對角A進行分類討論.

①若A是直角，則a2=b2+c2.

②如圖1所示，若A是銳角，過點C作CD⊥AB于D，則CD=bsinA，AD=bcosA，BD=c-bcosA，所以a2=（bsinA）2+（c-bcosA）2=b2+c2-2bccosA.

③如圖2所示，若A是鈍角，過點C作CD⊥AB于D，則CD=bsinA，AD=bcos（180°-A）=-bcosA，BD=c-bcosA，a2=（bsinA）2+（c-bcosA）2=b2+c2-2bccosA.

綜上所述，a2=b2+c2-2bccosA.

師：非常好，思路清晰，論證嚴謹，利用三角函數和勾股定理構建了數學模型.

設計意圖 學生從已有的知識和經驗出發，運用勾股定理，以及分類討論和化曲為直等數學策略，成功解決了問題. 這既能有效激發學生的學習興趣，又能提高學生的參與度.

問題3 根據以上探究，你能得到什么結論？

生（眾）：無論△ABC是何種形狀，總有a2=b2+c2-2bccosA.

問題4 在此基礎上，你還能得到什么結論？

師生活動：教師啟發學生求b，c，得到b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 在此基礎上，教師鼓勵學生用文字語言進行表述，從而引出余弦定理.

設計意圖 利用初中平面幾何知識，通過幾何法證明余弦定理，有效連接初高中數學內容，從而提升學生的自主探究能力.

問題5 觀察余弦定理的結構特征，能否利用其他方法進行證明？

師生活動：教師啟發學生利用向量法證明余弦定理（證明過程略）.

設計意圖 引導學生用向量法證明余弦定理，體會向量在解三角形中的應用，積累解題經驗，提升解決問題的能力.

問題6 利用余弦定理可以解決哪些三角形問題？

學生活動：學生通過觀察和思考，認為能解決已知兩邊和夾角的三角形問題. 在此基礎上，教師啟發學生變形余弦定理，推導出cosA=，由此發現余弦定理還可以解決已知三邊求各角的問題.

設計意圖 引導學生理解余弦定理的作用，掌握解三角形的幾種情況. 在此基礎上，引導學生變形和轉化余弦定理，幫助他們得到相關結論，為實際應用余弦定理奠定基礎.

問題7 在△ABC中，若C=90°，則c2=a2+b2. 若0°<C<90°，則a，b，c具有怎樣的關系？若90°<C<180°呢？

學生活動：深入剖析余弦定理，得到如下結論. 當0°<C<90°時，a2+b2>c2;當90°<C<180°時，a2+b2<c2;當C=90°時，a2+b2=c2.

設計意圖 將勾股定理與余弦定理聯系起來，幫助學生深化理解特殊與一般的關系.

3. 運用規律，深化新知

例題 在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知a=7，b=8，C是銳角，且sinC=，求B.（精確到1°）

師生活動：學生先獨立求解，隨后在教師的引導下共同完成例題. 求解過程如下：因為sinC=，且C是銳角，所以cosC==. 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=49+64-2×7×8×=9，所以c=3. 又cosB==-，利用計算器，可得B≈98°.

設計意圖 幫助學生深入理解余弦定理，體驗其應用，規范解題步驟，提升解題技巧.

變式題1：已知條件不變，試判斷△ABC的形狀.

變式題2：若去除“C是銳角”這一條件，試求c的值.

變式題3：將“sinC=”改為“cosC=”，求cosB.

師生活動：學生先獨立解題，然后小組互動討論，最后進行集中展示. 在此過程中，基礎薄弱的學生遇到難題時，教師應適時指導，幫助其找到解題關鍵.

設計意圖 通過變式訓練進一步檢測和鞏固學生對余弦定理的認識與應用，發散學生的數學思維，提高學生的數學應用能力.

問題8 回顧最初的問題情境，假設測得AB= km，AC=1 km，兩線的夾角為150°，試求BC的長.

學生活動：結合解題經驗，利用余弦定理順利地解決問題.

設計意圖 回顧課程開始時的情境，引導學生應用余弦定理解決實際問題，體驗余弦定理的應用價值.

4. 反思小結，升華認知

問題9 回顧本節課所學，概括所獲得的知識、思想和方法.

設計意圖 通過反思回顧，加深知識理解，構建思維體系和方法體系，培養反思歸納的習慣.

教學思考

1. 合理鏈接，激發學生探究欲

數學是一門邏輯嚴密的學科，已學知識通常是后續學習的基石. 教師作為課堂教學的組織者和啟發者，要從整體視角出發，通過創設問題，合理鏈接知識，引導學生利用已有知識分析和解決新問題，建構知識網絡體系，提高學生的數學應用能力[2].

例如，在本節課教學中，教師引導學生結合初中知識發現余弦定理，運用幾何法證明余弦定理，深化學生對余弦定理的理解.

2. 學以致用，提高學習主動性

學以致用是數學學習的核心，既是出發點也是落腳點. 教師在教學時應創建與學生生活相關的情境，幫助他們理解數學的實際應用，從而激發他們的學習興趣，提升他們的學習積極性.

例如，在本節課教學中，教師利用計算隧道長度的情境，讓學生理解解三角形的重要性，從而激發他們的學習積極性. 學生在掌握余弦定理后，應用它解決了實際問題，展示了余弦定理的應用價值.

總之，在高中數學教學中，教師應基于教學內容和學情創設問題情境，通過解決問題幫助學生理解和掌握知識，提升學生分析和解決問題的能力.

參考文獻：

[1] 張釗源. 談高中數學課堂“三會、四能”的培養[J]. 數學之友，2022（23）：7-9.

[2] 李彩婷. 合理優化教學過程 提高數學教學效率[J]. 課程教育研究（學法教法研究），2017（24）：130-131.