問題引

[摘 要] 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調選擇合適的問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體. 在“方程的根和函數的零點”教學中，研究者通過創設合理的問題情境來揭露知識本質，讓學生充分感受數學學科的應用價值與文化價值，為發展學生的數學學科核心素養創造條件.

[關鍵詞] 問題情境;知識本質;數學學科核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）強調核心素養的培育是數學學科教學的主要目的[1]，課堂中創設豐富的問題情境可引發學生思考，讓學生從根本上掌握知識本質是教學主要任務. 在以核心素養為導向的當下，高中數學課堂教學基本實現了能力立意向素養立意的轉化，這就要求課堂教學不僅要關注學生對知識的掌握程度、技能的熟練程度，還強調如何讓學生基于問題情境構建模型，發展學力.

縱然新課標明確了數學學科核心素養的組成要素，并對其水平做了細致劃分，但在培育過程中各種能力與素養的發展往往交織在一起，這就需要教師擁有一雙敏銳的眼睛，捕捉提升學生數學學科核心素養的契機. 本文以“方程的根和函數的零點”教學為例，具體談談如何在問題的引領下，通過師生活動揭露知識本質，發展學生的數學學科核心素養.

教學分析

1. 學情分析

本節課前，學生已接觸初等函數，了解其圖象與性質. 現有認知水平使他們能探索基本運算，繪制函數的圖象，判斷函數的單調性與奇偶性.

2. 教學任務

借助教學培養學生用函數觀分析與處理問題的意識，即從函數零點個數的探索中，體會函數的性質對于探索零點個數的用處;通過對方程實數根、函數圖象和x軸交點的觀察，明晰什么是函數零點，基于函數零點附近函數值符號的變化現象，挖掘函數零點存在定理所具備的一些特征;引導學生深入體驗活動過程，構建學習經歷，培養數學抽象能力.

同時，在函數零點個數的探索過程中引導學生不斷梳理知識結構，培養邏輯清晰的思維習慣，提升邏輯推理能力;引導學生在探索函數圖象與x軸交點、方程實數根以及函數零點間的關系中獲得良好的數形結合能力，并基于整體視域建構方程、函數以及不等式間的關系網，完善知識結構，提升數學學科核心素養.

3. 教學流程

本節課的教學重點在于函數零點存在定理，以及借助函數性質探索函數零點問題. 其中關于函數零點個數的判斷為本節課的教學難點. 結合新課標要求、知識特點和學情分析，本節課教學遵循如下流程：①創設問題情境，引發學生從函數的視角來分析與處理問題，初步形成函數意識;②通過對函數圖象與x軸交點與方程實數根之間的關系的探索，提煉函數零點的定義;③通過對函數零點附近函數值符號的變化情況的探索，提煉函數零點存在定理;④分析函數零點個數及大致區間，感知如何借助函數性質來探索函數零點問題;⑤課堂小結，安排課后作業.

教學過程

1. 問題情境引出主題

問題1 方程lnx+2x=6存在幾個實數根？

師生活動：學生在獨立思考的基礎上，展開小組合作交流. 教師巡視觀察，并邀請兩名學生板演，圖象通過幾何畫板展示. 經探索，學生呈現兩個解題方法.

解法1 將原方程lnx+2x=6轉化成lnx=-2x+6，如圖1所示，在同一個直角坐標系內分別作函數g（x）=lnx與h（x）=-2x+6的圖象，觀察圖中的交點.

觀察發現，這兩個函數圖象的交點只有一個，由此可判斷方程lnx+2x=6有且僅有一個實數根.

解法2 如圖2所示，將函數f（x）=lnx+2x-6的圖象繪制出來，通過觀察函數圖象與x軸的交點情況，發現函數f（x）=lnx+2x-6與x軸僅有一個交點，由此判斷方程lnx+2x=6的實數根僅有一個.

設計意圖 利用簡潔明了的問題情境，引導學生用函數的觀點來分析與處理問題. 此題無法用常規的方法來解決，這就激發學生的認知矛盾與沖突，促使學生進入思考狀態. 在探索過程中，學生需結合數形結合思想分析函數性質與方程實數根之間的關系，由此揭露本節課教學的核心是：借助函數的性質探索方程的實數根，彰顯知識間的縱橫關聯情況，為幫助學生獲得結構化思維與函數應用意識奠定基礎.

2. 抽象函數的零點的概念

問題2 逐個分析表1中的方程的實數根和二次函數圖象與x軸交點的橫坐標之間的關系.

師：關于二次函數圖象與x軸交點橫坐標和方程實數根之間的關系，是否適用于一般函數？

生1：我認為這種規律適用于一般函數，可作為一般情形來推廣.

師：為了將這種關系展現出來，便于進一步借助函數的性質來探索方程的實數根，就涉及一個新的概念——函數的零點.

師生活動：具體從以下幾個方面探索函數零點相關內容. ①概念：對于一般函數y=f（x），把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點;②函數y=f（x）的零點即方程f（x）=0的實數根，亦可理解為函數y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標;③方程f（x）=0存在實數根（的個數）?函數y=f（x）的圖象與x軸有交點（的個數）?函數y=f（x）有零點（的個數）;④求方程f（x）=0的實數根，可理解為求函數y=f（x）的零點，亦可理解為求函數y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標;⑤關注“點”與“函數零點”的異同.

設計意圖 此問為抽象函數零點概念奠定基礎，師生積極互動進一步深化學生對函數零點的認識，具體問題的解決讓學生從真正意義上理解方程的實數根、函數的零點和函數圖象與x軸交點的橫坐標之間的關系，有效發展學生的數學抽象能力與數學概括能力.

3. 函數存在零點的判定方法的探索

問題3 已知x∈（k，k+1）（k為整數）是函數f（x）=lnx+2x-6的零點，那么k值是多少？

生2：選幾個簡單的特殊值代入計算，如f（2）=ln2-2<0，f（3）=ln3>0，f（2）·f（3）<0，易得x∈（2，3），由此確定k=2.

師：很好！思路清晰，方法也很簡便. 現在請大家對函數位于零點附近的自變量進行分析，思考函數值的符號情況.

生3：令g（x）=lnx，h（x）=-2x+6. 當x<x時，函數g（x）的圖象處于函數h（x）的下方，即f（x）=g（x）-h（x）<0;當x>x時，函數g（x）的圖象處于函數h（x）的上方，即f（x）=g（x）-h（x）>0. 由此可確定，當函數f（x）的零點處于x附近時，兩側自變量所對應的函數值必然異號.

設計意圖 此問意在引導學生自主獲得探尋函數存在零點的初步判定方法，為揭露函數零點的本質創造有利條件，也為學生后續深刻探究函數零點問題奠定基礎.

4. 函數性質的應用

問題4 如果函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，可否確定f（a）f（b）<0必然成立？

關于這個問題，學生自主探索并交流后，給出的結論是“不一定”. 具體原因為：例如函數f（x）=x2在區間（-1，1）內存在零點0，但f（-1）f（1）=1>0，與問題條件不符.

問題5 關于函數y=f（x），如果明確f（a）f（b）<0，那么函數y=f（x）在（a，b）內是不是必然存在零點？說明理由.

學生獨立思考與合作探索后，給出的結論同樣為“不一定”. 具體原因為：例如函數f（x）=-x2，x<0，

x2，x>0，雖然f（-1）f（1）=-1<0，但該函數在區間（-1，1）內沒有零點;同樣，函數f（x）=-x2，x<0

x2，x>0，

1，x=0，雖然f（-1）f（1）=-1<0，但該函數在區間（-1，1）內沒有零點.

隨著上述問題的解決，學生在教師的點撥下，由此及彼地提煉出函數零點存在定理：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有f（a）f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根[2].

設計意圖 上述兩個問題旨在讓學生感知函數零點所在區間，強調函數性質的作用，并增強學生對函數零點存在定理的應用意識.

5. 應用函數觀處理問題

問題6 函數f（x）=lnx+2x-6是不是只有一個零點？說明理由.

以函數性質為出發點進行分析：若函數y=f（x）是單調函數，則m=n?f（m）=f（n）. 由此可知，單調函數的零點最多只有一個. 同理，非單調函數的每一個單調區間內的零點最多也只有一個.

設計意圖 通過對函數零點個數的探索，有利于學生梳理邏輯思維，為培養學生的邏輯推理能力打下堅實基礎.

練習訓練 判定下列函數分別有幾個零點，并寫出零點所在的大致區間.

①g（x）=2x+x-2;

②h（x）=x2+ln（x2+3）-2.

關于第一個函數，教師引導學生從圖象、方程判別式等進行思考與分析，確定它的零點只有1個，且大致在區間（0，1）內;關于第二個函數，教師引導學生根據函數性質與零點存在定理進行分析，發現它的零點有2個，分別在區間（0，1）內與（-1，0）內.

設計意圖 引導學生通過解決實際問題，感知零點個數及其大致區間. 如此設計，一方面整理前述知識內容，另一方面引導學生理解函數的奇偶性與單調性等性質對探索其零點的重要性.

6. 總結提煉整理思路

在教師的指導下，學生通過自主總結與歸納，掌握探索函數零點個數及其所在區間的基本方法. 關于函數零點的判斷，可從如下幾方面展開分析：①先借助函數零點存在定理判斷函數有沒有零點，而后根據函數的單調性明確存在幾個零點;②探索非單調函數的零點個數，先明確其單調區間，再根據區間內的零點個數確定其所有零點.

設計意圖 課堂總結具有畫龍點睛之功效，學生回顧整節課的核心知識與研究方法，可進一步梳理知識架構，為形成結構化思維奠定基礎，也為促進綜合素養的發展做好鋪墊.

7. 作業設計

（1）判斷m發生改變時，函數f（x）=x2-1-m存在幾個零點，并寫出零點所在的大致區間.

（2）以作圖法探索下列函數在區間（-2，0）內的零點個數，再用代數法進行闡述：①f（x）=-x-ln（x+3）+;②f（x）=2x+x2-.

教學思考

在充分了解學情的基礎上，教師根據新課標要求與知識特點精心設計問題，不僅將知識本質暴露在學生面前，還能激活學生的思維，增強學生的探索能力與合作意識，促進學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理等素養的發展.

在本節課教學中，教師緊緊圍繞“零點”這條主線展開教學活動，引導學生通過自主探索與合作交流獲得相應的能力和素養，將“以生為本”教學理念落到實處. 教學過程由條理清晰的問題串聯而來，學生思維在問題臺階中逐步上升.

總之，以核心素養為導向的課堂教學需站到學生的角度來設計，確保每一個問題都能落在學生的最近發展區，這是激發學生潛能、提升學生學力的基礎，也是揭露知識本質、促進學生終身發展的關鍵.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 何方順. 例談函數的零點問題[J]. 基礎教育論壇，2012（10）：34-35.