指向深度學習的高中數學學歷案設計與思考

[摘 要] 學歷案充分體現了“以學生為主體，以教師為主導”的教學理念，其尊重學生個體特征和學習需求，關注學生的學習過程. 在高中數學教學中，應用學歷案開展教學，有利于深度學習真正發生. 文章以“雙曲線的標準方程”為例，通過學歷案引導學生思考，鼓勵學生交流，讓學生運用類比方法主動獲得知識，充分體會數學學習樂趣，切實提高數學學習能力和數學核心素養.

[關鍵詞] 學歷案;深度學習;數學學科核心素養

在高中數學教學中，不僅要讓學生掌握知識，更重要的是讓學生在學習數學和應用數學的過程中，發展獨立思考、自主學習的能力，培養可持續學習的關鍵能力和思維品質. 深度學習不僅是一種學習方法，更是一種學習理念，將深度學習引入數學課堂，可以幫助學生深度介入學習，發展高階思維. 與淺層學習相比，深度學習強調在理解的基礎上記憶，更加關注新知與舊知之間的內在聯系，有效地將零散的、孤立的數學知識聯系起來，這有利于學生加深對知識的理解，有利于學生構建知識體系和認知結構，有利于學生靈活運用所學知識解決問題. 深度學習堅持以學生為中心，為學生提供更多的獨立思考和自主探究的時間與空間，使得學生的“學”由被動接受變為主動建構，是一種有效的提升核心素養的學習方式.

學歷案是從“學會什么”出發，設計并展示如何學會的過程. 學歷案更加關注學生的學習經歷或過程，充分體現學生在學習過程中的主體性地位. 學生在學歷案的引導下可以逐漸形成自學、自查、自省的能力，可以很好地解決課程中出現的“虛假學習”和“游離學習”等問題，從而走上真學之路. 筆者以“雙曲線的標準方程”為例，談談如何利用學歷案促成深度學習.

教學分析

1. 課標要求

（1）理解雙曲線的定義;

（2）根據雙曲線的定義選擇合適的坐標系，建立和推導雙曲線的標準方程;

（3）掌握雙曲線方程中的a，b，c之間的關系;

（4）用待定系數法求雙曲線的標準方程.

2. 學習目標

（1）通過類比橢圓，了解雙曲線的定義，培養學生分析、歸納、推理能力;

（2）根據雙曲線的定義，建立和推導雙曲線的標準方程，培養學生數學建模和數學運算素養;

（3）掌握雙曲線的標準方程，并能根據已知條件求出雙曲線的標準方程;

（4）通過獨立思考和合作探究相結合的方式學習新知，并學會用代數方法研究幾何性質，提升數學能力與數學素養.

教學過程

1. 引入課題

問題1 我們主要學習了橢圓的哪些內容？是如何學習的？

問題2 如果將橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么動點軌跡會是什么？

設計意圖 引導學生回顧橢圓的相關知識，為接下來的類比探究活動的開展奠定基礎.

2. 動手操作

活動1 繪制雙曲線的右支.

操作步驟：（1）如圖1所示，拿出課前準備的拉鏈并拉開，將拉鏈左分支的一端固定在F處，在右分支上選擇一點（不能是端點）固定在F處，使得

MF-

MF=2a（常數2a>0）;（2）筆尖套住拉鏈滑頭M，向下拉動.

思考：隨著拉鏈的閉合或打開，筆尖畫出的圖形是什么？

活動2 繪制雙曲線的左支.

操作步驟：（1）如圖2所示，調整拉鏈的擺放位置，使得

MF-

MF=2a（常數2a>0）;（2）重復活動1的操作過程.

思考：此時筆尖畫出的圖形又是什么？

設計意圖 通過動手操作，直觀感知動點軌跡“雙曲線”的定義. 學生動手操作后，教師利用幾何畫板直觀展示雙曲線的形成過程，幫助學生積累感性素材，激發學生的學習興趣.

3. 定義探究

問題3 類比橢圓的定義，你能給出雙曲線的定義嗎？

問題4 定義中的常數2a能否大于或等于兩點間的距離？若2a=

F

F，動點軌跡是什么？若2a>

F

F，動點軌跡又是什么？

設計意圖 引導學生類比橢圓的定義，結合動手操作，歸納概括雙曲線的定義，培養學生抽象概括能力. 另外，得到雙曲線的定義后，引導學生思考2a=

F

F或2a>

F

F時，動點軌跡是什么. 一方面加深學生對雙曲線定義的理解，另一方面培養學生的想象能力.

4. 方程推導

問題5 結合橢圓標準方程的學習經驗，說一說用坐標法求動點軌跡方程的步驟是什么，你認為接下來我們應做什么？

問題6 你是如何選擇坐標系的？得到了什么方程？

問題7 你在推導雙曲線的標準方程時遇到的障礙是什么？你是如何克服的？

設計意圖 在推導雙曲線的標準方程前，學生掌握了橢圓的標準方程的推導方法，因此教師引導學生運用類比思想自主探究，從而培養學生的思維和實踐能力.

5. 小結歸納

問題8 焦點在x軸和y軸上的雙曲線的標準方程分別是什么？已知雙曲線的方程，如何判斷其焦點在哪個坐標軸上？

問題9 請完成表1.

設計意圖 通過對比，幫助學生構建知識結構，提高學生的歸納概括能力.

6. 知識應用

例1 根據以下條件求雙曲線的標準方程：

（1）a=4，經過點A

1，

;

（2）經過點P（6，-4），且與橢圓+=1有相同的焦點.

例2 已知方程ax2+by2=1，當a，b滿足什么條件時，該方程表示雙曲線？該方程能否表示其他曲線？如果可以，需要滿足什么條件？

設計意圖 通過應用進一步鞏固和加深學生對雙曲線的理解. 本環節，教師不要急于給出答案，而應鼓勵學生獨立求解. 這樣既能檢測學生對新知的掌握情況，又能讓學生發現自身的不足，從而提高學生運用知識解決問題的能力.

7. 學后反思

問題10 本節課主要學習了哪些內容？學會了什么方法或策略？在學習過程中你還有哪些問題？有不錯的經驗可以分享嗎？

設計意圖 通過創設問題引導學生梳理知識，并鼓勵學生提出自己的所思、所想，以此幫助學生構建完善的知識體系，提高數學能力和數學素養.

教學思考

在新課程背景下，發展學生的數學學科核心素養是課堂教學的一項基本任務. 核心素養的培養不能單純依賴于教師的傳授，而需要在課堂教學實踐中，經過探索、積累和感悟逐步達成. 在高中數學教學中，教師要注重引導學生參與知識生成、發展和應用等過程，以此落實數學學科核心素養，切實提升教學有效性. 學歷案注重學習經歷，應用學歷案進行教學既符合新課標的要求，又符合培養學生數學學科核心素養的需求. 因此，在教學中，教師應重視學歷案的設計與應用.

在教學中，經常聽到這樣的聲音：為什么講了這么多遍，學生還是不會？出現這種情況的原因，與教師的教學方式息息相關. 在高中數學教學中，仍有部分教師傾向于傳統的直接講授方式，導致學生在課堂上的主動參與度不高. 學生在表面上聽懂了課程內容，但由于缺乏獨立思考和自主探究的實踐經驗，他們對相關知識的理解和掌握往往停留在淺層次上. 這樣的教學方式不僅難以培養學生的深度思考能力，還使得他們在面對實際問題時難以靈活運用所學知識去解決. 而應用學歷案進行教學，能夠賦予學生更多參與課堂的機會與時間，從而實現深度學習，并提升學生發現、分析及解決問題的能力.

總之，教師要認真研究數學、教學和學生，從學生的已有知識和經驗出發，合理地設計和使用學歷案，以此充分調動學生參與課堂的積極性，誘發學生深度思考，提高學生的數學能力和數學素養.