大觀念指引下的概念教學的實踐與思考

[摘 要] 數學概念是建構數學知識體系的核心，其在數學教學中的地位和價值是不言而喻的. 在概念教學中，教師應充分發揮大觀念持久性、可遷移性的優勢，創造機會讓學生經歷概念形成、發展與應用的過程，以此促進知識聯結與建構，培養學生可持續學習能力，提升學生的思維品質.

[關鍵詞] 概念教學;大觀念;思維品質

在概念教學中，教師可引導學生通過觀察、分析、探究和合作來體驗概念的形成、發展與應用，從而幫助學生積累數學活動經驗，提高學生的數學能力，發展學生的數學素養. 本文以“弧度制”的教學為例，探討大觀念指導下的概念教學方法.

教學設計

在弧度制的教學中，若教師僅介紹概念和換算方法，不引導學生理解概念的形成和演變，則會導致學生將其視為簡單的度量單位，不利于學生深入學習和應用. 弧度制是三角函數中的關鍵概念，它促進了幾何與代數的融合，方便了問題的解決. 教師可利用歷史背景，引導學生理解弧度制的起源和發展，以增強學生對弧度制的理解和教學效果.

1. 設置情境，提出問題

師：我們班男生誰最高？猜猜他有多高.

生1：1米85.

生2：187厘米.

師：同學們分別用米和厘米來度量身高，你們知道古代人是用什么來度量身高的嗎？

生齊聲答：尺.

師：很好，我們可以用米、尺等單位來度量長度. 那么，質量可以用什么單位來度量呢？

生3：噸、千克、斤、磅.

師：角可以用什么單位來度量呢？

生4：度、分、秒.

師：還有沒有其他單位可以用來度量角呢？（學生竊竊私語）

師：今天，我們一起來學習度量角的另一種單位制——弧度制.

師：結合學習角度制的經驗，你們認為研究弧度制應從何開始？（學生沉思）

生5：定義單位角.

師：說得很好，弧度制是如何定義單位角的呢？要解決這個問題還需要從角度制談起，古巴比倫人以圓為載體，給出了1°角的定義，即將圓周分成360等份，每一份圓弧所對的圓心角的大小就是1°.

設計意圖 從學生熟悉的長度和質量的度量單位談起，自然引出度量角的另一種單位制——弧度制. 在教學中，教師引導學生類比角度制，確定弧度制的研究方向.

2. 問題探究，提出概念

師：現以圓為載體，思考這樣一個問題：在圓中，什么量與圓心角的大小有關呢？

生齊聲答：半徑r和弧長l.

探究1 在角度制中，半徑r、弧長l和圓心角n°之間有著怎樣的關系呢？

生6：l=.

師：可以用r和l表示n嗎？

生7：n=.

師：繼續變形得n=·，由此你發現了什么？

生8：是大于0的常數，是實數，n與成正比關系.

師：非常棒的發現. 數學家歐拉以等分圓周為切入口，提出了弧度制，今天我們跟隨他的腳步一起來探索弧度制.

師：歐拉將圓周二等分、四等分，得到了表1所示的數據. 結合表1不難發現，是π，這樣的實數，顯然與角度制中的180°，90°有所不同，于是歐拉就用π來表示二分之一的圓所對的圓心角，用表示四分之一的圓所對的圓心角.

師：結合表1及自己的探究結果，你們認為可以如何定義單位角的大小呢？

生9：取等于r的弧長l，得=1，這樣定義單位角可使運算更簡潔.

設計意圖 教師引導學生結合已有知識將半徑、弧長、圓心角建立聯系，繼而讓學生理解用來度量角的大小的合理性. 在此基礎上，教師引導學生從“最簡”的角度出發，理解取等于r的弧長l去定義單位角的科學性.

3. 動手操作，形成概念

師：如何畫長度為r的弧長呢？（教師引導學生利用“化直為曲”的思想得到一段長度等于半徑長的圓弧，并動畫演示這一操作過程. ）

師：這段長度等于r的圓弧所對的圓心角有多大呢？如果讓你畫出1弧度的角和2弧度的角，你會嗎？

教師預留時間讓學生動手操作，使其直觀感知1弧度的角和2弧度的角的大小. 在此基礎上，教師再給出一些相關規定，如在不引起誤解的前提下，可以將1 rad，π rad分別寫成1，π.

設計意圖 通過動手操作讓學生直觀感知1弧度的角和2弧度的角的大小，引導學生抽象概括弧度制的定義.

4. 總結概括，深化概念

師：已知弧長l和半徑r，你能求出α的弧度數嗎？

師生活動：在教師的啟發和引導下，學生通過獨立思考、合作交流，最終確定用α=來表示α的弧度數.其中，若α為正角，則α=;若α為負角，則α=-.

探究2 弧度制和角度制都是度量角的單位，兩者是否可以相互轉化呢？（學生自主探究）

設計意圖 此環節，教師基于學生的認知體系，引導學生獨立思考、自主探究、合作交流，促進學生內化知識.

5. 精選練習，理解概念

例1 把下列弧度化為角度：

（1）;（2）4.5.

例2 把下列角度化為弧度：

（1）142°;（2）11°15′.

解題時，教師讓學生獨立思考，并展示規范的解題過程.

探究3 在弧度制下，如何表示弧長和扇形面積？

生10：由弧長公式l=得l=αr，由扇形面積公式S=得S=αr2.

師：很好，還可以用其他方法轉化嗎？

生11：由α=得l=αr，S=lr=αr2.

師：可見，弧度制下的弧長公式和扇形面積公式簡化了. 值得注意的是，在扇形面積公式中，α≤2π.

設計意圖 理解角度制和弧度制，掌握它們之間的轉化，認識它們的區別和聯系，以加深對這些概念的理解.

6. 溝通聯系，拓展概念

探究4 在弧度制下，建立角的集合與實數集R之間的一一對應的關系，猜一猜，建立這樣的對應關系有何深意呢？

設計意圖 引導學生關注蘊含其中的一一對應的關系，體驗弧度制的優越性，為后續學習三角函數打下堅實的基礎.

7. 課堂小結，優化認知

師：通過本節課的學習，你掌握了哪些知識？習得了哪些技巧？還有哪些疑問？

設計意圖 教師安排時間讓學生深入反思和回顧，總結所學知識，提煉關鍵方法，分享經驗，培養反思習慣，優化認知結構，提升數學素養.

教學反思

1. 大觀念促進知識理解，揭示概念本質

在弧度制的概念教學中，教師沒有直接給出定義，而是引導學生經歷概念形成和演變的過程，讓學生認清弧度制和角度制的實質就是劃分圓周. 在教學中，教師依托歷史事實，引導學生沿著古人的足跡探索弧度制，教會他們以發展的眼光審視世界，從而培養他們的創新意識.

2. 大觀念促進知識聯結，提升數學素養

在探究弧度制的過程中，教師基于學生的認知體系，引導他們回顧1°角的定義，并以等分圓周作為切入點，為新知的探索指明了方向. 教師結合教學實際設計探究性活動，引導學生經歷從具體到抽象、從特殊到一般的思維過程，以此培養學生的數學抽象思維能力，并讓學生深刻理解在大觀念框架下知識遷移的重要性.

3. 大觀念促進知識建構，提升思維品質

在本節課中，教師設計與教學實際相符的問題，引導學生在解決問題的過程中理解并深化概念，體驗弧度制的優勢，同時培養學生的數學抽象、邏輯分析和直觀想象能力. 教師還創造機會讓學生獨立思考、合作交流、相互評價，以此不斷完善探究過程，提高學生學習的積極性，促進學生思維能力的發展.

總之，在大觀念的引導下，課堂教學需減少套路化的應用，增加學生自主發現和探究的機會，引領學生深入概念的形成與演化，輔助學生構建系統性的知識結構，助力學生獲得持久且可遷移的學習經驗，進而提高其思維品質和數學素養.