經(jīng)歷過程　揭示本質(zhì)

[摘 要] 數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)從學(xué)生實(shí)際學(xué)情出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，通過深度學(xué)習(xí)揭示概念的本質(zhì)，拓展概念的內(nèi)涵，凸顯學(xué)科知識間的內(nèi)在聯(lián)系，從而遷移和再造知識，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)和核心，學(xué)生對概念的理解和掌握直接影響其應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根本所在. 在概念教學(xué)中，教師應(yīng)避免單純教授概念，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，凸顯數(shù)學(xué)邏輯和方法，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，提升教學(xué)有效性. 教師應(yīng)基于學(xué)生實(shí)際，合理創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、探索和交流，認(rèn)清概念的本質(zhì)，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 在教學(xué)“直線的斜率”時，筆者通過與學(xué)生的積極互動，共同探索了直線斜率概念的形成、發(fā)展和應(yīng)用，取得了顯著成效. 現(xiàn)與同行分享交流經(jīng)驗(yàn).

教材分析

1. 內(nèi)容分析

“直線的斜率”一課為高中解析幾何開篇，旨在介紹斜率的概念，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識解析幾何的核心. 本節(jié)課還肩負(fù)統(tǒng)領(lǐng)全局之責(zé)，旨在揭示解析幾何的本質(zhì). 解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，研究前需將幾何圖形“數(shù)量化”分析，是代數(shù)研究的前提. 在教學(xué)中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)量化”的過程，通過數(shù)形互化理解解析幾何的本質(zhì)，提升學(xué)習(xí)技能.

針對“直線的斜率”這一概念，當(dāng)直線的傾斜角為銳角時，直線的斜率可用坡度來刻畫，但當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時，直線的斜率是否也可以用坡度來刻畫呢？這部分內(nèi)容教材并沒有系統(tǒng)分析. 因此，教學(xué)中教師有必要引導(dǎo)學(xué)生明晰兩者的區(qū)別與聯(lián)系，繼而認(rèn)清問題的本質(zhì)，建構(gòu)完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）了解解析幾何的研究過程和方法;

（2）理解直線的傾斜角的概念;

（3）理解直線的斜率的概念;

（4）經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，抽象出求直線斜率的方法;

（5）理解直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系.

3. 教學(xué)重點(diǎn)

理解直線的斜率.

4. 教學(xué)難點(diǎn)

（1）理解直線斜率的形成過程;

（2）揭示解析幾何的本質(zhì).

教學(xué)過程

1. 問題導(dǎo)引，建構(gòu)知識框架

師：思考一下，在平面內(nèi)如何刻畫點(diǎn)的位置呢？

生1：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)來刻畫點(diǎn)的位置.

師：如何確定直線的位置呢？

生2：可以用兩個點(diǎn)來確定——兩點(diǎn)成線.

生3：也可以用一個點(diǎn)和一個方向來確定.

設(shè)計意圖 從學(xué)生熟悉的內(nèi)容出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度（如坐標(biāo)）來刻畫幾何圖形（如點(diǎn)、直線）.

師：x-y+1=0表示什么？

生4：二元一次方程.

師：還能表示什么呢？

生5：可以將x-y+1=0變形為y=x+1，它是一次函數(shù)，其圖象為一條直線.

設(shè)計意圖 通過開放性問題誘發(fā)學(xué)生體會直線與方程之間的對應(yīng)關(guān)系，感悟知識間的內(nèi)在聯(lián)系，繼而為后面用方程刻畫直線奠基.

師：直線是由無數(shù)個點(diǎn)組成的，那么直線x-y+1=0上的這些無數(shù)點(diǎn)具有怎樣的共性特征呢？

生6：這些點(diǎn)都在直線x-y+1=0上.

生7：直線x-y+1=0上點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為（x，x+1）.

師：很好，若從方程的視角去理解，又有何發(fā)現(xiàn)呢？

生8：（x，x+1）是二元一次方程x-y+1=0的解.

師：非常好. 我們可以用圖1來表示它們意義之間的對應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計意圖 從學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個視角尋找直線上點(diǎn)的共性特征，建立二元一次方程的解與直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系，并學(xué)會用代數(shù)方法研究幾何問題，提煉解析幾何思想.

2. 創(chuàng)設(shè)情境，切入問題核心

師：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），你能作出多少條直線？

生齊聲答：無數(shù)條.

師：在此基礎(chǔ)上，增加條件“與x軸的夾角為”，你又能作多少條直線？

生齊聲答：兩條.

師：若直線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），且在第一象限的部分與x軸的正方向的夾角為. 你能得幾條這樣的直線？

生齊聲答：一條.

設(shè)計意圖 通過具體操作，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注作直線的另外一種方法，即一個點(diǎn)和一個方向，逐漸切入本節(jié)課的核心問題——如何刻畫直線的方向.

師：在之前學(xué)習(xí)中，我們接觸過方位角，誰來說一說確定方位角需要幾個要素呢？

生9：三個，分別為：①一個基準(zhǔn);②旋轉(zhuǎn)方向;③角度.

師：角與方向存在怎樣的關(guān)系呢？

生齊聲答：一一對應(yīng)的關(guān)系.

師：請分別畫出經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），且在第一象限的部分與x軸的正方向的夾角為和的直線，并說說你的操作過程.

設(shè)計意圖 從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注一一對應(yīng)的關(guān)系，找到刻畫直線方向的量. 學(xué)生經(jīng)歷以上過程后，給出直線傾斜角的定義便水到渠成.

3. 挖掘經(jīng)驗(yàn)，逐漸形成概念

師：我用幾何畫板畫出了兩條直線（如圖2所示），觀察一下，兩條直線的傾斜程度一樣嗎？

生10：看上去兩條直線是平行的，傾斜程度應(yīng)該是一樣的.

師：看上去確實(shí)一樣，不過我剛剛用幾何畫板畫的直線的方程分別為y=x和y=0.99x-2. 現(xiàn)在你還認(rèn)為它們的傾斜程度一樣嗎？

生齊聲答：不一樣.

師：這說明了什么呢？

生11：判斷直線的傾斜程度不能僅憑圖象觀察，還要結(jié)合直線方程，從代數(shù)的角度進(jìn)行分析.

設(shè)計意圖 先給出圖形讓學(xué)生觀察，然后給出具體方程讓學(xué)生對比分析，使學(xué)生直觀感知“形”的不可靠和“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而激發(fā)學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問題的熱情，有助于提升學(xué)生的課堂參與度.

師：聯(lián)系生活實(shí)際思考一下，如何讓斜坡變得更“陡”呢？

生12：有兩種方案：一是增加鉛直高度;二是減小水平寬度.

師：坡度與寬度和高度存在怎樣的關(guān)系呢？

生13：坡度=.

師：在初中階段，我們學(xué)過坡度和坡角，兩者有何區(qū)別，又存在怎樣的關(guān)系呢？

生14：坡角表示的是一個角，而坡度為一個比值.

師：很好！如圖3所示，在直線上任取兩點(diǎn)P（x，y），Q（x，y），你能計算這條直線的“坡度”嗎？

生15：過點(diǎn)P，Q分別作x軸、y軸的垂線，相交于點(diǎn)H，則該直線的“坡度”為（x≠x）.

師：直線的“坡度”與直線的傾斜角α具有怎樣的關(guān)系？

生16：tanα=（x≠x）.

師：借助圖3我們研究了傾斜角為銳角時的直線的傾斜程度，若一條直線的傾斜角為鈍角，則它的傾斜程度又該如何研究呢？

生17：如圖4所示，構(gòu)造一個直角三角形PQH，則該直線的傾斜程度為 -=-=（x≠x）.

師：很好！當(dāng)傾斜角α∈

，π

時，tanα=（x≠x）是否成立呢？

生齊聲答：成立.

設(shè)計意圖 從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)影響坡度的要素，從而得到坡度與高度和寬度的關(guān)系式. 為了深化學(xué)生的理解，教師利用數(shù)形結(jié)合的方法引導(dǎo)學(xué)生研究當(dāng)直線的傾斜角α為銳角和鈍角時，直線的傾斜程度與傾斜角α的關(guān)系式，并明確無論α是銳角還是鈍角，tanα=（x≠x）都成立.

4. 深入剖析，感悟概念本質(zhì)

師：當(dāng)α∈

0，

∪

，π時，可以用來刻畫直線的傾斜程度，且tanα=. 分析至此，大家有沒有似曾相識的感覺？

生18：任意角的三角函數(shù)的定義.

師：回憶一下，當(dāng)時是如何將三角形放在直角坐標(biāo)系中的？角α的終邊有什么特征？

生齊聲答：角的終邊過原點(diǎn).

師：現(xiàn)在我們研究的直線不一定過原點(diǎn)，該怎么辦呢？

生19：平移.

師：你的理由是——？

生19：平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀、大小和方向.

師：很好，已知直線l′的傾斜角α的始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線l′上，且直線l′過P（x，y），Q（x，y），O（0，0）三點(diǎn)，此時的tanα為何值？

生20：tanα==.

師：與有何數(shù)量關(guān)系呢？

生21：根據(jù)合比性質(zhì)可知==.

師：綜上可知，無論傾斜角α是銳角還是鈍角，tanα=都可以刻畫直線的傾斜程度. 對于直線的傾斜程度，tanα=都滿足嗎？

生22：幾種特殊情況需要討論一下：當(dāng)α=0時，y=y，tanα==0，滿足;當(dāng)α=時，x=x，tanα不存在，也不存在，同樣滿足.

結(jié)合生22的說法，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析、完善，從而得出斜率的定義. 學(xué)生理解并掌握斜率的定義后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納斜率與傾斜角的關(guān)系，即當(dāng)α≠時，斜率k=tanα;當(dāng)α=時，斜率不存在.

設(shè)計意圖 通過舊知回顧，拉近了學(xué)生與新知的距離，淡化了邏輯推理的抽象性. 例如引導(dǎo)學(xué)生通過平移發(fā)現(xiàn)與和的數(shù)量關(guān)系，此時用來刻畫直線的傾斜程度更易于學(xué)生理解和接受. 接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生全面剖析tanα=的各種情況，揭示直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系. 這樣將“數(shù)”與“形”緊密相連，深入揭示了解析幾何的本質(zhì).

教學(xué)反思

教材雖說是濃縮的精華，但因限于篇幅而省略了思維過程，導(dǎo)致學(xué)生僅了解知識表象，未真正理解知識內(nèi)涵，常出現(xiàn)似懂非懂的情況. 為改善現(xiàn)狀，教師應(yīng)依據(jù)學(xué)情和教材內(nèi)容，選用合適的教學(xué)形式補(bǔ)充思維過程，幫助學(xué)生理清問題脈絡(luò)，優(yōu)化認(rèn)知體系. 例如，在教學(xué)中，若單一呈現(xiàn)斜率概念雖便于學(xué)生求解，但從單元和解析幾何教學(xué)來看，則難顯其價值，無法展示研究方法，從而影響學(xué)生的知識體系的構(gòu)建. 因此，在教學(xué)中，教師需要仔細(xì)研讀教材，并精心呈現(xiàn)教材中的思維過程. 這樣不僅有助于學(xué)生深刻地領(lǐng)悟教材的內(nèi)涵，還能引導(dǎo)學(xué)生自然而然地聯(lián)想并揭示概念的本質(zhì).

另外，在概念教學(xué)中，教師應(yīng)提倡深度學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地將已有知識、經(jīng)驗(yàn)和思想方法投入知識的遷移和構(gòu)建中來，有效打破學(xué)生被動學(xué)習(xí)的局面，提升學(xué)生的思維品質(zhì). 例如，在本節(jié)課教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將傾斜角與任意角的三角函數(shù)的定義聯(lián)系起來，不僅促進(jìn)學(xué)生理解和接受，而且凸顯知識間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學(xué)生內(nèi)化知識.

總之，教師要改變傳統(tǒng)的“照本宣科”的教學(xué)方式，應(yīng)深入研究教材和學(xué)生，關(guān)注知識間的內(nèi)在聯(lián)系，通過設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，揭示問題的本質(zhì)，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識的融會貫通.