基于“兩個過程”合理性思考的生成課堂

1 教學內容的基本認識

“數系的擴充和復數的概念”是新教材高中數學人教A版2019必修第二冊第七章復數第一節復數的概念的第一節課，具有基礎性作用，復數的引入是數系的又一次擴充，在保持實數系的運算律的前提下，沒有比復數系更大的數系，新教材中增加了“解一元二次方程”的內容，教學中可以非常自然地過渡到復數范圍內實系數一元二次方程的求根過程，有助于理解引入復數的必要性．通過查找文獻使學生體會到數系的擴充不僅是生產實踐的需要，也是數學學科自身發展的需要，從而讓學生積極主動地建構虛數的概念、復數的概念、復數的分類等，進而對本節課的知識掌握的更加牢固．

2019人教A版高中數學教材主編章建躍提出，在教學過程中，數學核心素養的滲透可以借助“兩個過程”的合理性，即數學知識發生發展過程的合理性和學生思維過程的合理性．數學知識發生發展過程的合理性，即可以將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學知識的發展歷程，體會數學的應用價值和文化內涵．本節課“數系的擴充和復數的概念”就是一個很好的契機，帶領學生從數學史的視角領會數系擴充的完整過程．學生思維過程的合理性，即注重數學與現實的聯系，注重與已有的知識相聯系，通過層層遞進的設問，引導學生積極參與思考，提高自身的數學素養．

2 教學方法的選8e75cdc6b166f227ee376b2be054b084dc03c0d84bed1913f20ea4f02b75c9a9擇

學生在初中已經學習過從有理數擴充到實數的過程與方法，同時高中生對互聯網比較熟悉，因此本節課可以利用學生已有的知識和經驗，設計系列的數學思維活動，讓學生分組合作，課前通過互聯網或者圖書館書籍去了解數系擴充的相關數學史，類比從有理數擴充到實數的過程與方法，一起去解開數系的擴充的奧秘，同時小組長在課堂分享交流，讓學生有參與感與收獲感，讓學生的思維從被動的“跟”到主動“尋”．但由于學生不太了解數系擴充的“規則”，而數系的擴充不只是數集的擴充，更包含它的運算律，在教學中，老師應當強調擴充后的數系與實數系中的運算協調一致，且保持運算律不變，體會數學的嚴謹性，讓學生對復數的認識更加真實清晰，了解數系擴充的規則．

3 課堂設計

3.1 朝花夕拾，再現歷史

課堂引入 請小組長結合組員一起收集的資料，來分享下數系擴充的過程．

小組 （1）古代計數的需要（如狩獵的個數），產生了自然數（圖1）；（2）刻畫相反意義（如欠債問題等），產生了整數（圖2）；（3）測量和等分問題（如三戶人家共同獵到一頭豬等），產生了有理數（圖3）；（4）解決度量正方體對角線（如直角邊為1的等腰直角三角形斜邊邊長），產生了實數（圖4，圖5）．

教師總結 數系發展的動力一方面是生產、生活的需要，解決生活的實際問題，另一方面也是數學本身發展的需要，如負數解決了在整數集中不夠減的矛盾，725510a6e5f075bbfcbdc064898c3eda109eebb7bc3cf5e832d90adc4258dd3d分數解決了在整數集中不能整除的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾，數系的每一次擴充解決了原有數集中某種運算不能解決的矛盾，同時也保留了原有的運算．

其實數系的擴充也并非總是一帆風順，如無理數的由來，公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯提出，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的，這一不可公度性與畢氏學派的“萬物皆為數”（指有理數）的認知相悖，這一發現動搖了畢達哥拉斯學派在學術界的統治地位，于是希伯索斯被畢氏門徒殘忍地投入海中淹死．希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的破綻，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派無視真理才是“無理”．人們為了紀念堅持真理，勇于獻身的希伯索斯，就把不可通約的量取名“無理數”．

設計意圖 讓小組交流發言，加強團隊合作意識、集思廣益，開闊學生的視野，增強學生的自信心和語言表達能力，激發學習興趣，同時也讓學生了解到數系擴充的詳細過程，既是生產、生活的需要，也是數學本身發展的需要，即數系的每次擴充的意義．數系發展的曲折性讓學生感受古人的智慧和對科學的奉獻精神，體會數學的理性精神．

教師可以提前引導學生去了解數的發展過程，例如提前查看教材第七章復數中提供的資料和書籍《虛數的故事》前2章，或是利用網絡資料，打開學生的思維，再現知識生成的思維軌跡，因為本節課內容相對簡單，課堂上可以讓學生分享自己所了解的數的發展過程，激發他們的學習興趣，讓他們體會豐富多彩的數學文化和數學家豐富的想象力、創造力和不屈不撓、精益求精的精神．

4.3 優化課堂教學，尊重學生思維過程的合理性思考

新課標提出“教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上”，不僅限于講授與練習，也包括引導學生閱讀自學、獨立思考、自主探索、合作交流．本節課可以充分發揮學生學習的主體地位，課前指導學生分小組通過閱讀書籍，利用網絡資料獲取信息，課堂分享數的發展過程，在后面的教學中，通過不斷設問、啟發式講解、互動式討論的授課方式，引導學生發現問題，并獨立思考和研究問題，鼓勵學生創造性地解決問題，同時教師對學生的自我學習過程也應給予必要的引導與幫助．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]．北京：人民教育出版社，2020

[2]王耀廷．數學史在高中數學統計與概率中的應用[J]．高考，2020，353（07）：180